第十二章動能定理1.常力在直線運(yùn)動中的功:單位:J（焦耳）

1J=1N·m力的功——是力沿路程累積效應(yīng)的度量。力的功是代數(shù)量。時,正功；時,功為零；時,負(fù)功。12-1力的功元功2.變力在曲線運(yùn)動中的功:令：力在路程上的功：（自然形式）（矢量式）（直角坐標(biāo)式）1)、重力的功質(zhì)點(diǎn)系:由重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。3.常見力的功質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：2、彈性力的功k——彈簧剛度系數(shù)

(N/m)彈性力：彈性力的功：式中即彈性力的功只與彈簧在初始和末了位置的變形有關(guān)，與作用點(diǎn)路徑無關(guān)。3.定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功若常量從角轉(zhuǎn)動到角過程中力的功為：同樣適用于剛體上作用一力偶所作的功。當(dāng)質(zhì)心由，轉(zhuǎn)角由時，力系的功：平面運(yùn)動剛體上力系的功，等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。說明：1、對任何運(yùn)動的剛體，上述結(jié)論都適用；

2、C點(diǎn)為剛體上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論仍成立；

3、計算力系的主矢、主矩時，不作功的力可不考慮。4.平面運(yùn)動剛體上力系的功已知:均質(zhì)圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動,

f,初靜止。

求:

O走過S路程時力的功。

例12-1

F重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有力F作功，將力F向質(zhì)心簡化，得解：CFSPFNF已知:均質(zhì)圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動,

f,初靜止。

求:

O走過S路程時力的功。FS例：圖示彈簧原長l=100mm，剛性系數(shù)k=4.9KN/m,一端固定在點(diǎn)O，此點(diǎn)在半徑為R=100mm的圓周上。如彈簧的另一端由點(diǎn)B拉至點(diǎn)A和由點(diǎn)A拉至點(diǎn)D，AC垂直BC，OA和BD為直徑。分別計算彈簧力所作的功。COABD解：對于彈簧作功：（m）（m）（m）（m）2、質(zhì)點(diǎn)系的動能1、質(zhì)點(diǎn)的動能單位：J（焦耳）瞬時值,與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量。（1）平移剛體的動能即（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能即12-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能平面運(yùn)動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。速度瞬心：P（3）平面運(yùn)動剛體的動能上面結(jié)論也適用于剛體的任意運(yùn)動。等式兩邊分別乘，1、質(zhì)點(diǎn)的動能定理質(zhì)點(diǎn)動能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功?！|(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的某個過程中，質(zhì)點(diǎn)動能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功?！|(zhì)點(diǎn)動能定理的積分形式12-3動能定理2、質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系動能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。求和——質(zhì)點(diǎn)系動能定理微分形式質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動能改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和?！|(zhì)點(diǎn)系動能定理積分形式3、理想約束定義：約束力作功等于零的約束為理想約束。1）光滑固定面約束、滾動鉸支座、向心軸承、一端固定的繩索類約束——力與位移垂直2）固定鉸支座、固定端約束——位移為零3）光滑鉸鏈、剛體二力桿、不可伸長繩索類約束——約束反力成對出現(xiàn)，作功之和為零4）不計滾動摩阻時，純滾動（只滾不滑）的接觸點(diǎn)——無位移理想約束條件下，在動能定理中只計入主動力的功即可。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力作功之和不一定等于零。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力作功問題：1）相互吸引或排斥的質(zhì)點(diǎn)，兩力作功和不為零。2）當(dāng)力作用點(diǎn)有滑動摩擦?xí)r，滑動摩擦力與物體的相對位移相反，摩擦力作負(fù)功。剛體（特殊的質(zhì)點(diǎn)系）所有內(nèi)力作功的和等于零。

[例1]

已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動,初始靜止;θ,M為常力偶。求：輪心C走過路程S時的速度和加速度解：其中：式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)，已知：輪O的R1、m1,;均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動,初始靜止;θ,M為常力偶。求：輪心C走過路程S時的速度和加速度

[例2]

沖擊試驗(yàn)機(jī)m=18kg,l=840mm,桿重不計，在時靜止釋放，沖斷試件后擺至求：沖斷試件需用的能量沖斷試件需要的能量為解：設(shè)沖斷試件所損失的能量為WK沖擊韌度：衡量材料抵抗沖擊能力的指標(biāo)。由，得：1、功率：功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。單位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率:——單位時間力所作的功。12-4功率、功率方程、機(jī)械效率2、功率方程質(zhì)點(diǎn)系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和?；騼啥顺詃t——功率方程(P302)3、機(jī)械效率機(jī)械效率多級傳動系統(tǒng)表明機(jī)器對輸入功率的有效利用程度。是評定機(jī)器質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一。對于有n級傳動的系統(tǒng)，總效率等于各級效率的連乘積。(＜１)1.勢力場勢力場：力場：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。重力場、彈性力場、萬有引力場都是勢力場。場力的功只與力作用點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。質(zhì)點(diǎn)在勢力場中受到的場力稱為有勢力(保守力)。如重力、彈力等。12-5勢力場.勢能.機(jī)械能守恒定律2.勢能在勢力場中,質(zhì)點(diǎn)從位置M運(yùn)動到任選位置M0,有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在位置M相對于位置M0的勢能。M0作為基準(zhǔn)位置，勢能為零，稱為零勢能點(diǎn)。勢能具有相對性。（1）重力場中的勢能（2）彈性力場的勢能3.幾種常見的勢能取彈簧的自然位置為零勢能點(diǎn)，則有（3）萬有引力場中的勢能（零勢能點(diǎn)）取零勢能點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)f為引力常數(shù)質(zhì)點(diǎn)系的“零勢能位置”是各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢能點(diǎn)的一組位置。若質(zhì)點(diǎn)系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系在某位置的勢能——

質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其“零勢能位置”的運(yùn)動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和。[注]：質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動,有勢力功可通過勢能計算。zxyM1M2M0（零勢能點(diǎn)）有勢力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程的初始與終了位置的勢能的差。3.機(jī)械能守恒定律即：質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢力作用下運(yùn)動時，機(jī)械能守恒。此系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)。

機(jī)械能：系統(tǒng)的動能與勢能的代數(shù)和。如質(zhì)點(diǎn)系還受到非保守力的作用，則類系統(tǒng)稱非保守系統(tǒng)。非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的.三大普遍定理（微分形式和積分形式）注意：其中的速度和加速度均是絕對速度和絕對加速度。12-6普遍定理的綜合應(yīng)用動量、動量矩

動能矢量，有大小方向只有外力能可使之改變（內(nèi)力不可）約束力是外力時對之有影響。不與能量相互轉(zhuǎn)化應(yīng)用時不考慮能量的轉(zhuǎn)化與損失。當(dāng)外力主矢為零時，系統(tǒng)動量守恒。當(dāng)外力對定點(diǎn)O或質(zhì)心的主矩為零時系統(tǒng)對定點(diǎn)或者質(zhì)心的動量矩守恒。動量定理描述質(zhì)心的運(yùn)動變化。動量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點(diǎn)的運(yùn)動變化。非負(fù)的標(biāo)量，與方向無關(guān)內(nèi)力作功時可以改變動能理想約束不影響動能只有作功可改變動能可進(jìn)行能量轉(zhuǎn)化應(yīng)用時完全從功與能的觀點(diǎn)出發(fā)在保守系統(tǒng)中，機(jī)械能守恒。動能定理描述質(zhì)心運(yùn)動及相對質(zhì)心運(yùn)動中動能的變化。二類動力學(xué)基本問題第一類問題：已知運(yùn)動求力第二類問題：已知力求運(yùn)動三大動力學(xué)普遍定理動量定理動量矩定理動能定理質(zhì)心運(yùn)動定理)(1einiCFam=?=)e(iFtp?=dd（無初始條件）等效（對剛體系統(tǒng)）cvmp=多適合非定軸轉(zhuǎn)動的剛體系統(tǒng)。多用于求約束力（軸心處亦可）。多適合定軸轉(zhuǎn)動的剛體系統(tǒng)。多適合求速度和加速度。（出現(xiàn)彈簧）功率方程（有初始條件）三大運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程適應(yīng)于單個平面運(yùn)動剛體適應(yīng)于單個平動剛體（對單個剛體）適應(yīng)于單個定軸轉(zhuǎn)動剛體剛體平面運(yùn)動的微分方程四個運(yùn)動守恒定律質(zhì)心運(yùn)動守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒機(jī)械能守恒定律則常矢量若則常矢量若開始時速度投影等于零，則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)始終保持不變。若開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。若，則常矢量若，則常量質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律若，則=恒矢量若，則恒量1、動量的計算：2、動量矩的計算：a．平動剛體b．定軸轉(zhuǎn)動剛體c．平面運(yùn)動剛體四個重要物理量3、動能的計算：（P為速度瞬心）1．平動剛體2．定軸轉(zhuǎn)動剛體3．平面運(yùn)動剛體4、功的計算：

a．重力的功b．彈性力的功

c．作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功，力偶的功d．平面運(yùn)動剛體上力系的功e．摩擦力的功、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功、理想約束反力的功例2已知：塔輪質(zhì)量，大半徑，小半徑，對輪心C的回轉(zhuǎn)半徑，質(zhì)心在幾何中心C。小半徑上纏繞無重細(xì)繩，繩水平拉出后繞過無重滑輪B懸掛一質(zhì)量為的重物A。求：（1）若塔輪和水平地面間為純滾動，C點(diǎn)加速度，繩張力，摩擦力為多少；（2）純滾動條件；（3）若靜滑動摩擦因數(shù)為0.2，動滑動摩擦因數(shù)為0.18，繩張力為多少？CRBAPr解：（1）以整體為研究對象，動能定理其中：力的功注：本題在未知初始條件時，應(yīng)用了動能定理的積分形式。前提是只需求加速度。求：（1）若塔輪和水平地面間為