§8.3格的性質(zhì)8.3.1格的性質(zhì)8.3.2格的同態(tài)與同構(gòu)

8.3.1格的性質(zhì)定理8.3.1

設(shè)（L，≤）是一個(gè)格，a，b是L中任意元素，于是

a≤ba×b=aa⊕b=b證明：若a≤b，因?yàn)閍≤a，所以a是{a，b}的下界，故a≤a×b。而a×b是{a，b}的最大下界，所以a×b≤a。故a×b=a。

若a×b=a，由吸收律知a⊕b=(a×b)⊕b=b,由a⊕b的定義知，b是{a，b}的最小上界，顯然有a≤b。

若a⊕b=b，由a⊕b的定義知，b是{a，b}的最小上界，顯然有a≤b。

定理8.3.2

設(shè)（L，≤）是一個(gè)格，a，b，c是L中任意元素，如果b≤c，則有a×b≤a×ca⊕b≤a⊕c證明：

因?yàn)閎≤c，所以由定理8.3.1知

b×c=b又因?yàn)?a×b)×(a×c)=(a×a)×(b×c)=a×(b×c)=a×b再由定理8.3.1知：a×b≤a×c。同理可證得第二個(gè)不等式。定理8.3.3

設(shè)（L，≤）是一個(gè)格，a，b，c是L中任意元素。于是有

a⊕（b×c）

≤（a⊕b）×（a⊕c）

a×（b⊕c）≥（a×b）⊕（a×c）其中關(guān)系“≥”是關(guān)系“≤”的對(duì)偶關(guān)系。證明：因?yàn)閍≤a⊕b，a≤a⊕c，所以，由×的定義知

a≤（a⊕b）×（a⊕c）

（1）又因?yàn)閎×c≤b≤a⊕bb×c≤c≤a⊕c所以，再由×的定義知b×c≤（a⊕b）×（a⊕c）

（2）由⊕的定義及（1），（2）式知a⊕（b×c）≤（a⊕b）×（a⊕c）對(duì)偶地可證得另一不等式.Note:在一般格中，分配律不是總成立的，但上述分配不等式總是成立的。

因?yàn)閍2×（a1⊕a3）=a2

≠（a2×a1）⊕（a2×a3）=a3只有對(duì)特殊的格（分配格、模格）分配律才成立a2a301a1定理8.3.4設(shè)（L，≤）是一個(gè)格，a，b，c是L中任意元素，于是，

a≤ba⊕（b×c）≤b×（a⊕c）證明：

若a≤b，則由定理8.3.1知：a⊕b=b。由定理8.3.3知a⊕（b×c）≤（a⊕b）×（a⊕c）=b×（a⊕c）若a⊕（b×c）≤b×（a⊕c），則由⊕的定義知a⊕（b×c）≥a由×的定義知b×（a⊕c）≤b故a≤b。

8.3.2格的同態(tài)與同構(gòu)定義.

設(shè)(L,×,⊕)和(S,∧,∨)是兩個(gè)格，L到S內(nèi)的映射g稱為(L,×,⊕)到(S,∧,∨)的格同態(tài)映射，如果對(duì)任意a，b∈L，都有

g（a×b）=g（a）∧g（b）

g（a⊕b）=g（a）∨g（b）.定義.格L到L內(nèi)的同態(tài)映射稱為格的自同態(tài)映射。定義.若g是L到S上的同態(tài)映射,且是一對(duì)一的，則稱g是格同構(gòu)映射,并稱格L與格S是同構(gòu)的。此時(shí)，對(duì)任意x∈L，任意y∈S，有

g-1(g(х))=х，g(g-1(y))=y。

同態(tài)映射例例.

設(shè)S={a,b},ρ(S)={,{a},,{a,b}}，則（ρ（S），∩，∪）是一個(gè)格。設(shè)L={0，1}，規(guī)定0≤1，∧，∨分別是集合L中兩個(gè)元素在≤下的最大下界，最小上界運(yùn)算，則（L，∧，∨）是一個(gè)格。規(guī)定映射g為：g（{a}）=1，g（{a，b}）=1，g（）=0，g（）=0。則顯然g是ρ（S）到L上的映射.往證g是同態(tài)映射。首先證對(duì)任意A,B∈ρ(s)，g（A∩B）=g（A）∧g（B）。若a∈A∩B，則a∈A，a∈B，故

g(A∩B)=1,g(A)∧g(B)=1∧1=1。若aA∩B，則

g(A∩B)=0,g(A)∧g(B)=綜上，g（A∩B）

=g（A）

∧g（B）。

再證對(duì)任意A,B∈ρ(s)，g(A∪B)=g(A)∨g(B)若a∈A∪B，則g(A∪B)=1，g(A)∨g(B)=若aA∪B，則aA，aB，故

g(A∪B)=0，g(A)∨g(B)=0∨0=0。綜上，g（A∪B）=g（A）∨g（B）。因此，g是ρ(s)到L上的同態(tài)映射。自同態(tài)映射例

例.設(shè)S={a,b},ρ(S)={,{a},,{a,b}}，則(ρ(S)，∩，∪）是一個(gè)格。規(guī)定映射g為：g()=g({a})=，g()=g({a，b})=。顯然,g為ρ(S)到ρ(S)內(nèi)的映射。往證g是同態(tài)映射。不難驗(yàn)證對(duì)任意A,B∈ρ(S),有:若b∈A∪B,則g(A∪B)=g(A)∪g(B)=；若bA∪B，則g(A∪B)=g(A)∪g(B)=。若b∈A∩B，則g(A∩B)=g(A)∩g(B)=；若bA∩B，則g(A∩B)=g(A)∩g(B)=。

故(A∪B)=g(A)∪g(B),g(A∩B)=g(A)∩g(B)。g為格（ρ（S），∩，∪）的自同態(tài)映射。

同構(gòu)映射例例.

設(shè)S={a,b,c},ρ(S)={,{a},,{c},{a,b},{b,c},{a,b,c}},則(ρ(S),∩,∪)是一個(gè)格。（S30，×，⊕）是一個(gè)格,×、⊕分別是求兩個(gè)正整數(shù)的最高公因、最小公倍。規(guī)定映射g為：→1,{a}→2,→3,{c}→5,{a,b}→6,{a,c}→10,{b,c}→15,{a,b,c}→30。則顯然g為ρ(S)到S30上的1-1映射。不難驗(yàn)證對(duì)任意A,B∈ρ（S），有：g(A∪B)=g(A)⊕g(B),g(A∩B)=g(A)×g(B)。因此，g為ρ(S)到S30上的同構(gòu)映射.格的同態(tài)映射一定是保序映射定理8.3.5

設(shè)(L,×,⊕)和(S,∧,∨)是兩個(gè)格。集合L上對(duì)應(yīng)于運(yùn)算×，⊕的部分序?yàn)椤躄，集合S上對(duì)應(yīng)于運(yùn)算∧，∨的部分序?yàn)椤躶。如果g是L到S內(nèi)的同態(tài)映射，則g是保序映射，亦即，對(duì)任意a，b∈L，若a≤Lb，則g（a）≤sg（b）。證明：由a≤b,知a×b=a，故g(a×b)=g(a),而g（a×b）=g（a）∧g（b）

=g（a）

故g（a）≤sg（b）

例子例同態(tài)具有保序性，但其逆不一定成立，保序映射不一定是同態(tài)的。下面給出3個(gè)格L1,L2L3。定義映射1,2和3：1：L1L2,1(a)=1(b)=1(c)=a1,1(d)=d1.2：L1L2,2(b)=2(c)=2(d)=d1,2(a)=a1.3：L1L3,3(a)=a2,3(b)=b2,3(c)=c2,3(d)=d2.dd1d2bcb2

aa1a2

L1L2L3c2例子可以看出這3個(gè)映射都是保序的，但都不是同態(tài)的。因?yàn)?(bc)=1(d)=d1,1(b)1(c)=a1

a1=a1,2(bc)=2(a)=a1,2(b)2(c)=d1

d1=d1,3(bc)=3(d)=d2,3(b)3(c)=b2c2==c2,定理8.3.6

設(shè)(L,×,⊕)是一個(gè)格，g是此格的自同態(tài)映射，于是g(L)是(L，×，⊕)的代數(shù)子格。證明：任取a′,b′∈g(L),則必有a,b∈L,使

a′=g（a），b′=g（b）因?yàn)間是格（L，×，⊕）的自同態(tài)映射，所以

a′×b′=g(a)×g(b)=g(a×b)∈g(L)，

a′⊕b′=g(a)⊕g(b)=g(a⊕b)∈g(L)。即在運(yùn)算×，⊕下，g（L）是封閉的。故（g（L），

×，⊕）是（L，×，⊕）的代數(shù)子格。

定理8.3.7

設(shè)(L,×,⊕）,(S,∧,∨)是兩個(gè)格，若g是L到S上的同構(gòu)映射，則g的逆映射g-1是S到L上的同構(gòu)映射。證明：顯然g-1是S到L上的一對(duì)一映射。下面證明g-1是S到L上的同態(tài)映射。任取a′,b′∈S,令g-1(a′)=a,g-1(b′)=b。于是g（a）=a′，g（b）=b′。g-1(a′∧b′)=g-1(g(a)∧g(b))=g-1(g(a×b))=a×b=g-1(a′)×g-1(b′)。g-1(a′∨b′)=g-1(g(a)∨g(b))=g-1(g(a⊕b))

=a⊕b=g-1（a′）⊕g-1（b′）。故g-1是S到L上的同構(gòu)映射。

推論若格（L，×，⊕）和格（S，∧，∨）同構(gòu)，g是其同構(gòu)映射，則對(duì)L中任意兩個(gè)元素a，b，有a≤Lbg（a）≤sg（b）其中≤L，≤S分別是集合L，S上對(duì)應(yīng)于運(yùn)算×，∧的部分序關(guān)系。

n維格

設(shè)L={0，1}，規(guī)定0≤1。于是，（L，≤）是格。令（L，∧，∨）是與之等價(jià)的代數(shù)格。令Ln={(a1，…，an)∣ai∈L，i=1，…，n}規(guī)定：(a1,…,an)≤n(

b1,…,bn

)ai≤bi(i=1,…,n)不難證明：(Ln，≤n)是一個(gè)格，通常稱為n維格。令與(Ln，≤n)等價(jià)的代數(shù)格為(Ln,×,⊕)，對(duì)Ln中任意兩個(gè)元素(a1,…,an)，(b1,…,bn)，顯然有(a1,…,an)×(b1,…,bn)=(a1∧b1,…,an∧bn)(a1,…,an)⊕(b1,…,bn)=(a1∨b1,…,an∨bn)。

例.

設(shè)S是含n個(gè)元素的集合，ρ(s)是S的冪集合，則格（ρ(s)，）與格（Ln，≤n）同構(gòu)。證明：令S={s1，…，sn}。令g是ρ(s)