案例分析ARMA模型與ARIMA模型建模建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關(guān)系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測YN計算樣本相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)模型識別基本原則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型定階的困難因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的或仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)，與都會衰減至零值附近作小值波動？當(dāng)或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？

樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布BarlettQuenouille模型定階經(jīng)驗方法95％的置信區(qū)間模型定階的經(jīng)驗方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標(biāo)準差范圍，而后幾乎95％的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。參數(shù)估計待估參數(shù)個未知參數(shù)常用估計方法矩估計極大似然估計最小二乘估計矩估計原理樣本自相關(guān)系數(shù)估計總體自相關(guān)系數(shù)樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差對矩估計的評價優(yōu)點估計思想簡單直觀不需要假設(shè)總體分布計算量?。ǖ碗A模型場合）缺點信息浪費嚴重只用到了p+q個樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計精度差通常矩估計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值

極大似然估估計原理在極大似然然準則下，，認為樣本本來自使該該樣本出現(xiàn)現(xiàn)概率最大大的總體。。因此未知知參數(shù)的極極大似然估估計就是使使得似然函函數(shù)（即聯(lián)聯(lián)合密度函函數(shù)）達到到最大的參參數(shù)值似然方程由于和和都都不是的的顯式式表達式。。因而似然然方程組實實際上是由由p+q+1個超越方程程構(gòu)成，通通常需要經(jīng)經(jīng)過復(fù)雜的的迭代算法法才能求出出未知參數(shù)數(shù)的極大似似然估計值值對極大似然然估計的評評價優(yōu)點極大似然估估計充分應(yīng)應(yīng)用了每一一個觀察值值所提供的的信息，因因而它的估估計精度高高同時還具有有估計的一一致性、漸漸近正態(tài)性性和漸近有有效性等許許多優(yōu)良的的統(tǒng)計性質(zhì)質(zhì)缺點需要假定總總體分布最小二乘估估計原理使殘差平方方和達到最最小的那組組參數(shù)值即即為最小二二乘估計值值條件最小二二乘估計實際中最常常用的參數(shù)數(shù)估計方法法假設(shè)條件殘差平方和和方程解法迭代法對最小二乘乘估計的評評價優(yōu)點最小二乘估計充分應(yīng)應(yīng)用了每一一個觀察值值所提供的的信息，因因而它的估估計精度高高條件最小二二乘估計方方法使用率率最高缺點需要假定總總體分布模型檢驗?zāi)Ｐ偷娘@著著性檢驗整個模型對對信息的提提取是否充充分參數(shù)的顯著著性檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是是否最簡模型的顯著著性檢驗?zāi)康臋z驗?zāi)Ｐ偷牡挠行裕▽π畔⒌牡奶崛∈欠穹癯浞郑z驗對象殘差序列判定原則一個好的擬擬合模型應(yīng)應(yīng)該能夠提提取觀察值值序列中幾幾乎所有的的樣本相關(guān)關(guān)信息，即即殘差序列列應(yīng)該為白白噪聲序列列反之，如果果殘差序列列為非白噪噪聲序列，，那就意味味著殘差序序列中還殘殘留著相關(guān)關(guān)信息未被被提取，這這就說明擬擬合模型不不夠有效假設(shè)條件原假設(shè)：殘殘差序列為為白噪聲序序列備擇假設(shè)：：殘差序列列為非白噪噪聲序列檢驗統(tǒng)計量量LB統(tǒng)計量量參數(shù)顯著性性檢驗?zāi)康臋z驗每一個個未知參數(shù)數(shù)是否顯著著非零。刪刪除不顯著著參數(shù)使模模型結(jié)構(gòu)最最精簡假設(shè)條件檢驗統(tǒng)計量量例2.5續(xù)續(xù)選擇合適的的模型ARMA擬合1950年——1998年北京市城城鄉(xiāng)居民定定期儲蓄比比例序列。。序列自相關(guān)關(guān)圖序列偏自相相關(guān)圖擬合模型識識別自相關(guān)圖顯顯示延遲3階之后，自自相關(guān)系數(shù)數(shù)全部衰減減到2倍標(biāo)準差范范圍內(nèi)波動動，這表明明序列明顯顯地短期相相關(guān)。但序序列由顯著著非零的相相關(guān)系數(shù)衰衰減為小值值波動的過過程相當(dāng)連連續(xù)，相當(dāng)當(dāng)緩慢，該該自相關(guān)系系數(shù)可視為為不截尾偏自相關(guān)圖圖顯示除了了延遲1階的偏自相相關(guān)系數(shù)顯顯著大于2倍標(biāo)準差之之外，其它它的偏自相相關(guān)系數(shù)都都在2倍標(biāo)準差范范圍內(nèi)作小小值隨機波波動，而且且由非零相相關(guān)系數(shù)衰衰減為小值值波動的過過程非常突突然，所以以該偏自相相關(guān)系數(shù)可可視為一階階截尾所以可以考考慮擬合模模型為AR(1)例2.5續(xù)續(xù)確定1950年——1998年北京市城城鄉(xiāng)居民定定期儲蓄比比例序列擬擬合模型的的口徑擬合模型：：AR(1)估計方法：：極大似然然估計模型口徑例2.5續(xù)續(xù)檢驗1950年——1998年北京市城城鄉(xiāng)居民定定期儲蓄比比例序列擬擬合模型的的顯著性殘差白噪聲聲序列檢驗驗結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值檢驗結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361例2.5續(xù)續(xù)檢驗1950年——1998年北京市城城鄉(xiāng)居民定定期儲蓄比比例序列極極大似然估估計模型的的參數(shù)是否否顯著參數(shù)檢驗結(jié)結(jié)果檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值46.12<0.0001顯著6.72<0.0001顯著例2.5:北京市城鄉(xiāng)鄉(xiāng)居民定期期儲蓄比例例序列擬合合與預(yù)測圖圖例3.8美國科羅拉拉多州某一一加油站連連續(xù)57天的OVERSHORT序列序列自相關(guān)關(guān)圖序列偏自相相關(guān)圖擬合模型識識別自相關(guān)圖顯顯示除了延延遲1階的自相關(guān)關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準差范范圍之外，，其它階數(shù)數(shù)的自相關(guān)關(guān)系數(shù)都在在2倍標(biāo)準差差范圍內(nèi)內(nèi)波動。。根據(jù)這這個特點點可以判判斷該序序列具有有短期相相關(guān)性，，進一步步確定序序列平穩(wěn)穩(wěn)。同時時，可以以認為該該序列自自相關(guān)系系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)顯顯示出典典型非截截尾的性性質(zhì)。綜合該序序列自相相關(guān)系數(shù)數(shù)和偏自自相關(guān)系系數(shù)的性性質(zhì)，為為擬合模模型定階階為MA(1)例3.8確定美國國科羅拉拉多州某某一加油油站連續(xù)續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合合模型的的口徑擬合模型型：MA(1)估計方法法：條件件最小二二乘估計計模型口徑徑例3.8:對OVERSHORTS序列的擬擬合模型型進行檢檢驗殘差白噪噪聲檢驗驗參數(shù)顯著著性檢驗驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值－3.75<0.0004顯著10.60<0.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論63.150.6772模型顯著有效129.050.6171例3.8:OVERSHORTS序列序列擬合合與預(yù)測測圖例3.91880-1985全全球氣表表平均溫溫度改變變值差分分序列序列自相相關(guān)圖序列偏自自相關(guān)圖圖擬合模型型識別自相關(guān)系系數(shù)顯示示出不截截尾的性性質(zhì)偏自相關(guān)關(guān)系數(shù)也也顯示出出不截尾尾的性質(zhì)質(zhì)綜合該序序列自相相關(guān)系數(shù)數(shù)和偏自自相關(guān)系系數(shù)的性性質(zhì)，可可以嘗試試使用ARMA(1,1)模型擬合合該序列列例3.9確定1880-1985全球球氣表平平均溫度度改變值值差分序序列擬合合模型的的口徑擬合模型型：ARMA(1,1)估計方法法：條件件最小二二乘估計計模型口徑徑例3.9:對1880-1985全球氣氣表平均均溫度改改變值差差分序列列擬合模模型進行行檢驗殘差白噪噪聲檢驗驗參數(shù)顯著著性檢驗驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論16.34<0.0001顯著3.50.0007顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論65.280.2595模型顯著有效1210.300.4247例3.9:全球氣表表平均溫溫度改變變值預(yù)測測模型優(yōu)化化問題提出出當(dāng)一個擬擬合模型型通過了了檢驗，，說明在在一定的的置信水水平下，，該模型型能有效效地擬合合觀察值值序列的的波動，，但這種種有效模模型并不不是唯一一的。優(yōu)化的目目的選擇相對對最優(yōu)模模型例3.13:擬擬合某一一化學(xué)序序列序列自相相關(guān)圖序列偏自自相關(guān)圖圖擬合模型型一根據(jù)自相相關(guān)系數(shù)數(shù)2階截截尾，擬擬合MA(2)模型參數(shù)估計計模型檢驗驗?zāi)Ｐ惋@著著有效三參數(shù)均均顯著擬合模型型二根據(jù)偏自自相關(guān)系系數(shù)1階階截尾，，擬合MA(1)模型參數(shù)估計計模型檢驗驗?zāi)Ｐ惋@著著有效兩參數(shù)均均顯著問題同一個序序列可以以構(gòu)造兩兩個擬合合模型，，兩個模模型都顯顯著有效效，那么么到底該該選擇哪哪個模型型用于統(tǒng)統(tǒng)計推斷斷呢？解決辦法法確定適當(dāng)當(dāng)?shù)谋容^較準則，，構(gòu)造適適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)統(tǒng)計量，，確定相相對最優(yōu)優(yōu)例3.13續(xù)用AIC準則和SBC準則評判判例3.13中兩個擬擬合模型型的相對對優(yōu)劣結(jié)果AR(1)優(yōu)于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866ARIMA模型型建模步步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型例5.6對1952年——1988年中國農(nóng)農(nóng)業(yè)實際際國民收收入指數(shù)數(shù)序列建建模一階差分分序列時時序圖一階差分分序列自自相關(guān)圖圖一階差分分后序列列白噪聲聲檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344擬合ARMA模模