三個(gè)教授（一個(gè)物理學(xué)家、一個(gè)化學(xué)家和一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家）被召到院長(zhǎng)辦公室，他們剛剛坐定就發(fā)現(xiàn)一個(gè)廢紙簍著火了。

物理學(xué)家說：“我知道怎么辦，把材料溫度降至可燃溫度以下，火自然就滅了?！?/p>

化學(xué)家不同意，“不對(duì)，必須先切斷氧氣的供應(yīng)，缺少了反應(yīng)物，火才會(huì)滅?！?/p>

正當(dāng)物理學(xué)家和化學(xué)家爭(zhēng)論不休的時(shí)候，他們驚訝得發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)家跑來跑去得點(diǎn)燃一個(gè)又一個(gè)廢紙簍?！澳阍诟墒裁矗?！”

統(tǒng)計(jì)學(xué)家答道：“我正在做抽樣檢驗(yàn)！”

統(tǒng)計(jì)笑話之一－－統(tǒng)計(jì)學(xué)家在一所大學(xué)的操場(chǎng)上，政治學(xué)教授、哲學(xué)教授和語(yǔ)言學(xué)教授圍著一根旗桿。

統(tǒng)計(jì)學(xué)教授走過來，問：“先生們?cè)诿κ裁矗俊?/p>

“我們需要這旗桿的高度，正在討論用什么手段得到它?！闭螌W(xué)教授說。

“瞧我的！”統(tǒng)計(jì)學(xué)教授說著，彎下腰抱緊旗桿使勁一拔，把旗桿拔出后，放倒在地，拿出卷尺量了量，“正好五米五”說完便把旗桿插回原地，走了。

“這人！”語(yǔ)言學(xué)教授望著他離去的背影輕蔑地說，“我們要的是高度，他卻給了我們長(zhǎng)度，瞎添亂！”

統(tǒng)計(jì)笑話之二－－統(tǒng)計(jì)學(xué)教授甲、乙兩個(gè)班的統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)173108119882880377527711792090298538873781275218230743951461137122953174407457314892376328541966921584248933744277778166925953482439188117862686358244829791876275936824572序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)序號(hào)成績(jī)1869461792256933752641079189026893496383117719862779357947412732098287436885581385216429853794693148122923067387177115642391318439558691675248732824095請(qǐng)對(duì)兩個(gè)班的成績(jī)進(jìn)行對(duì)比分析，你會(huì)從哪幾個(gè)方面著手？?jī)砂喑煽?jī)的對(duì)比分析指標(biāo)數(shù)值平均79.66667標(biāo)準(zhǔn)誤差1.378405中位數(shù)80眾數(shù)82標(biāo)準(zhǔn)差9.246621方差85.5峰度1.31565偏度-0.70131最小值51最大值96求和3585觀測(cè)數(shù)45指標(biāo)數(shù)值平均79標(biāo)準(zhǔn)誤差1.923872中位數(shù)80眾數(shù)64標(biāo)準(zhǔn)差12.16763方差148.0513峰度0.037583偏度-0.62146最小值46最大值98求和3160觀測(cè)數(shù)40甲班成績(jī)的描述性指標(biāo)乙班成績(jī)的描述性指標(biāo)第三章變量分布特征的描述一、集中趨勢(shì)的描述二、離中趨勢(shì)的描述三、分布形狀的描述學(xué)習(xí)要求①理解變量分布三大特征即集中趨勢(shì)、離中趨勢(shì)和分布形狀的的含義；②理解平均指標(biāo)、離散指標(biāo)和形狀指標(biāo)的意義與作用；③熟練掌握各種平均數(shù)的計(jì)算方法并加以正確的應(yīng)用，科學(xué)理解加權(quán)平均數(shù)中權(quán)數(shù)的意義，正確認(rèn)識(shí)算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)之間的應(yīng)用關(guān)系，以及算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系；④熟練掌握各種離散指標(biāo)的計(jì)算方法并加以正確的應(yīng)用，尤其是要深刻理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差和離散系數(shù)的內(nèi)涵；⑤了解偏度系數(shù)和峰度系數(shù)的計(jì)算方法并加以正確的應(yīng)用，尤其是要了解動(dòng)差的含義。

變量分布特征集中趨勢(shì)

(位置)離中趨勢(shì)

(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）數(shù)據(jù)分布的測(cè)度峰度偏度數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)變異系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差四分位差極差位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述集中趨勢(shì)

亦稱為趨中性，是指變量分布以某一數(shù)值為中心的傾向，一般用平均指標(biāo)來表示。一、集中趨勢(shì)與平均指標(biāo)平均指標(biāo)主要用來表明變量值在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。其數(shù)值表現(xiàn)平均數(shù)。平均指標(biāo)的種類從總體各單位變量值中抽象出具有一般水平的量，這個(gè)量是根據(jù)各個(gè)單位的具體標(biāo)志值計(jì)算出來的，有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)等形式。數(shù)值平均數(shù)1、反映時(shí)間不同，分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)平均數(shù)。2、取得集中趨勢(shì)代表值方法的不同，可分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。先將總體各單位的變量值按一定順序排列，然后取某一位置的變量值來反映總體各單位的一般水平。位置平均數(shù)有眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)等形式。位置平均數(shù)平均指標(biāo)分類示意圖平均指標(biāo)動(dòng)態(tài)平均數(shù)靜態(tài)平均數(shù)發(fā)展水平平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)四分位數(shù)簡(jiǎn)單加權(quán)發(fā)展速度平均數(shù)平均指標(biāo)的作用（1）通過反映變量分布的一般水平，幫助人們對(duì)研究現(xiàn)象的一般數(shù)量特征有一個(gè)客觀認(rèn)識(shí)。(成績(jī)、收入水平)（2）利用平均指標(biāo)可以對(duì)不同空間的發(fā)展水平進(jìn)行比較，反映總體水平上存在的差距。（3）利用平均指標(biāo)可以對(duì)某一現(xiàn)象總體在不同時(shí)間上的發(fā)展水平進(jìn)行比較，以說明這種現(xiàn)象發(fā)展變化的趨勢(shì)或規(guī)律性。（4）利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系或進(jìn)行數(shù)量上的推算。(銷售額與流通費(fèi)用率)（5）平均指標(biāo)還可以作為研究和評(píng)價(jià)事物的一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考。（成績(jī)、經(jīng)濟(jì)水平）二、數(shù)值(計(jì)算)平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單加權(quán)（一）算術(shù)平均數(shù)概念：算術(shù)平均數(shù)一般就稱為平均數(shù)（mean）。其定義是：觀察值的總和除以觀察值個(gè)數(shù)的商。計(jì)算公式為：

在實(shí)際工作中，由于所掌握的統(tǒng)計(jì)資料的不同，利用上述公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可分為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)兩種。

1.簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)（SimpleArithmeticMean）

2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（WeightedArithmeticMean）

1.簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的公式根據(jù)未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)計(jì)算的均值。設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,x3,…xn.則簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式如下：

例子:據(jù)南方人才服務(wù)中心調(diào)查，從事IT行業(yè)的從業(yè)人員年薪在40000-55000元之間，表中的數(shù)據(jù)是IT從業(yè)人員年薪的一個(gè)樣本：

491004860049950488004720049900513505460049300512005100049400514005180049600534004870050300490004980048900486505130051900要求：計(jì)算IT從業(yè)人員的平均年薪。24名IT從業(yè)人員年薪資料表2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

根據(jù)分組整理的數(shù)據(jù)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式：

式中：f代表各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)。例子：設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)f(人)

60以下

1060–70

1970–80

5080–90

36

90–100

27100–110

14110以上

8合計(jì)

164組中值X(千克)Xf5555065

1235

75

3750

85

3060

95

2565105

1470115

920合計(jì)

13550（1）算術(shù)平均數(shù)的大小，不僅取決于研究對(duì)象的變量值(x)，而且受各變量值重復(fù)出現(xiàn)的頻數(shù)（f）或頻率（f／∑f）大小的影響，頻數(shù)或頻率較大，該組數(shù)據(jù)的大小對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響就大，反之則小。

（2）權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式問題：絕對(duì)權(quán)數(shù)與相對(duì)權(quán)數(shù)注意事項(xiàng)按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)ff/∑f

60以下

55

100.06

3.360–70

65

190.12

7.870–80

75

500.30

22.580–90

85

360.22

18.7

90–100

95

270.16

15.2

100–110105

140.09

9.45110以上115

80.05

5.75合計(jì)-1641.00

82.7例子：不同的權(quán)數(shù)形式

(1)各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。(2)各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小。

(3)兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量代數(shù)和的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的代數(shù)和。

(4)兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量乘積的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的乘積。3.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)4.算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)1、可用于推算總體標(biāo)志總量。2、代表性強(qiáng)。3、可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。4、在抽樣中具有良好的穩(wěn)定性和可靠性。缺點(diǎn)1、當(dāng)總體中個(gè)別單位標(biāo)志值特別大或特別小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致算術(shù)平均數(shù)偏大或偏小。2、當(dāng)組距數(shù)列有開口組時(shí)，組中值有較大假定性。（二）調(diào)和平均數(shù)算術(shù)題：一輛小車以每小時(shí)80公里的速度從山下開到山頂，又以每小時(shí)100公里的速度沿原路返回到山下，問：該車的平均速度。80km/h100km/h鏈接例子：F1賽車時(shí)，A車手第一圈時(shí)速300公里，第二圈時(shí)速340公里，B車手第一圈時(shí)速320公里，第二圈時(shí)速318。請(qǐng)問：只賽兩圈誰獲勝？問題的解答：

速度=距離/時(shí)間，故平均速度=總距離/總時(shí)間。這一計(jì)算方式被定義為“調(diào)和平均數(shù)”(H）。變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱為倒數(shù)平均數(shù)推廣：如果該車山下——山頂來回開，n次的速度分別為x1,x2,x3,…,xn，則平均速度就成為：1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)（1）作為算術(shù)平均的變形例1：三種不同等級(jí)的青菜，每公斤單價(jià)分別為2元、4元、5元。每種等級(jí)各買1元，則均價(jià)是多少？例2：某人在30元/股、50元/股、100元/股的三個(gè)不同價(jià)位各買進(jìn)“貴州茅臺(tái)”股票6000元，則所持該股票的均價(jià)是多少？例1等價(jià)于：三種等級(jí)的青菜單價(jià)分別為2元/公斤、4元/公斤、5元/公斤，分別購(gòu)買0.5公斤、0.25公斤、0.2公斤，要求計(jì)算平均價(jià)格。等價(jià)的計(jì)算方式是：例2等價(jià)于：A股票30元/股時(shí)買了200股，50元/股時(shí)買了120股，100元/股時(shí)買了60股。要求計(jì)算股票均價(jià)。等價(jià)的計(jì)算方式是：顯然，此二例資料形式改變一下，就成為加權(quán)算術(shù)平均公式?？梢娝阈g(shù)平均與調(diào)和平均在此時(shí)是等價(jià)的。（2）作為獨(dú)立公式運(yùn)用在統(tǒng)計(jì)綜合評(píng)價(jià)領(lǐng)域，調(diào)和平均是一種獨(dú)立的合成方法。在計(jì)算一些變量值的平均值時(shí)，如果不考慮變量值本身的物理含義，調(diào)和平均與算術(shù)平均、對(duì)數(shù)平均、海倫平均、平方平均、幾何平均一樣，是獨(dú)立的平均數(shù)公式。例1：計(jì)算1與2的調(diào)和平均。例2：編制價(jià)格總指數(shù)時(shí)，代表品1的價(jià)格指數(shù)是110%，代表品2的價(jià)格指數(shù)是105%，則可用兩者的調(diào)和平均值作為這一小類的價(jià)格指數(shù)。例3：甲員工的“德”、“才”、“能”測(cè)量分值分別是90分、86分、84分；乙員工的“德”、“才”、“能”測(cè)量分值分別為84分、98分、78分。要求采用簡(jiǎn)單調(diào)和平均方法計(jì)算并比較甲、乙兩人的綜合素質(zhì)。此三例只是“規(guī)定”采用簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。因而不能“變形”為算術(shù)平均，此三例的算術(shù)平均結(jié)果將會(huì)不同：分別為1.5，107.5%，甲=乙（86.67）2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)例：法拉利隊(duì)的車王邁克爾·舒馬赫在2004年9月初的一次試車中（F2004），以每小時(shí)320公里的速度開了52圈，以每小時(shí)345公里的速度開了35圈，而隊(duì)友巴里切羅以每小時(shí)322公里的速度開了45圈，以每小時(shí)337公里的速度開了42圈，求兩人各自的平均車速。例2：三種不同等級(jí)的青菜分別買5元、6元、10元，每公斤單價(jià)分別為2元、4元、5元，則平均價(jià)格是多少？（1）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的基本公式

（2）加權(quán)調(diào)和平均公式的應(yīng)用——作為算術(shù)平均的變形當(dāng)mi=xifi

時(shí)，有：表

兩公司員工工資情況表月工資

(元)A公司B公司80048000400001000700004000016003200040000合計(jì)150000120000要求計(jì)算兩公司的平均工資。解答：在這里，平均工資作為“單位標(biāo)志平均數(shù)”仍然必須是標(biāo)志總量（工資總額）與單位總數(shù)（員工總數(shù)）之比。我們計(jì)算A公司的平均工資，得到：

對(duì)于B公司，固然也可以采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式來計(jì)算其平均工資：然而在這里，由于各組的權(quán)數(shù)（工資總額）相同，實(shí)際上并沒有真正起到加權(quán)的作用。我們采用簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)的公式來計(jì)算，可以得到完全相同的結(jié)果，而計(jì)算過程卻大大簡(jiǎn)化了：(3)加權(quán)調(diào)和平均公式應(yīng)該注意的幾個(gè)問題第一,與加權(quán)算術(shù)平均公式類似,加權(quán)調(diào)和平均公式的權(quán)數(shù)也有兩種類型:絕對(duì)權(quán)重與比重權(quán)重,相應(yīng)就有兩種不同形式的加權(quán)方式.調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)不是“次數(shù)”而是各組的標(biāo)志值。絕對(duì)權(quán)重比重權(quán)重第二，計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均值時(shí)，同樣需要注意選擇合適的x，以及合適的權(quán)重m.

應(yīng)該以組平均作為x，若無，則用組中值近似代表。權(quán)重m應(yīng)該是具有實(shí)際意義的“各組標(biāo)志總量”。第三，調(diào)和平均與算術(shù)平均的正確選擇問題

作為算術(shù)平均數(shù)變形，調(diào)和平均數(shù)主要用于“平均數(shù)的平均”與“相對(duì)數(shù)的平均”計(jì)算之中。如果掌握了變量值，以及該變量的分子資料時(shí)，需要通過基本數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)出分母數(shù)值，此時(shí)即為“加權(quán)調(diào)和平均”。這是以分母為權(quán)重的加權(quán)算術(shù)平均這是以分子為權(quán)重的加權(quán)調(diào)和平均第四，簡(jiǎn)單調(diào)和平均與加權(quán)調(diào)和平均的關(guān)系簡(jiǎn)單調(diào)和平均是加權(quán)調(diào)和平均的一個(gè)特例,當(dāng)權(quán)數(shù)全部相等時(shí)，即：M1=m2=m3=…=mn1．調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。2．只要有一個(gè)變量值為零，就不能計(jì)算調(diào)和平均數(shù)。3．當(dāng)組距數(shù)列有開口組時(shí)，其組中值即使按相鄰組距計(jì)算了，假定性也很大，這時(shí)，調(diào)和平均數(shù)的代表性就很不可靠。4．調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用的范圍較小。

第五，調(diào)和平均的特點(diǎn)3.由相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)（1）由相對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)例1：設(shè)有某行業(yè)150個(gè)企業(yè)的有關(guān)產(chǎn)值和利潤(rùn)資料如表所示，計(jì)算該行業(yè)一、二季度的平均產(chǎn)值利潤(rùn)率。產(chǎn)值利潤(rùn)率(％)一季度二季度企業(yè)數(shù)(個(gè))實(shí)際產(chǎn)值(萬元)企業(yè)數(shù)(個(gè))實(shí)際利潤(rùn)(萬元)5－103057005071010－20702050080351420－305022500202250合

計(jì)150487001506474計(jì)算第一季度的平均產(chǎn)值利潤(rùn)率，應(yīng)該采用實(shí)際產(chǎn)值加權(quán)，進(jìn)行算術(shù)平均，即有：而計(jì)算第二季度的平均產(chǎn)值利潤(rùn)率，則應(yīng)該采用實(shí)際利潤(rùn)加權(quán)，即有：產(chǎn)值計(jì)劃完成程度％）組中值（％）X企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）M計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）M/X80～9085268080090～10095323752500100～110105101806017200110～120115350604400合計(jì)-182617524900例2：計(jì)算下表企業(yè)的平均計(jì)劃完成程度（2）由平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)例3：某車間各班組工人的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率和實(shí)際工時(shí)數(shù)據(jù)如表所示，要求計(jì)算車間平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率（件/工時(shí)）實(shí)際工時(shí)（小時(shí)）123412162028200320300190合計(jì)1000分析：我們掌握的資料是平均數(shù)的母項(xiàng)數(shù)值即實(shí)際工時(shí)數(shù)，因而應(yīng)該以實(shí)際工時(shí)數(shù)為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的形式來計(jì)算平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。平均勞動(dòng)生產(chǎn)率（件/工時(shí)）實(shí)際工時(shí)實(shí)際產(chǎn)品總量（件）班組1234121620282003203001902400512060005320合計(jì)101018840車間平均勞動(dòng)生產(chǎn)率（件/工時(shí)）

==解答：（三）幾何平均數(shù)（GeometricMean）幾何平均數(shù)也稱幾何均值，它是n個(gè)變量值乘積的n次方根。適用對(duì)象：現(xiàn)象的總比率是若干項(xiàng)變量的乘積，或現(xiàn)象的總發(fā)展速度是各時(shí)期發(fā)展速度的連乘積時(shí)，計(jì)算平均比率或平均發(fā)展速度。1.簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)

（SimpleGeometricMean）

直接將n項(xiàng)變量連乘，對(duì)其連乘積開n次方根所得的平均數(shù)即為簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)。計(jì)算公式為：例1：某企業(yè)的一條生產(chǎn)流水線有四道工序,每一道工序完成的產(chǎn)品都要作一次質(zhì)量檢查,只有合格的中間件才進(jìn)入下一道工序。工序C工序A工序B工序D合格率98%合格率97%合格率94%合格率95%請(qǐng)問：平均合格率=？適用于連續(xù)作業(yè)的情況：所謂平均“合格率”，是指每一道工序合格率是相同的。這也就是說，如果記“平均合格率為G，則只有”四道工序全部合格的產(chǎn)品才是合格的，因而，有以下等式：解答：例2:據(jù)網(wǎng)上報(bào)到，成都溫江的蘭花節(jié)（2006年2月27日）上，一盆蘭花賣價(jià)是1100萬元，這背后是迅速壯大的10萬戶成都養(yǎng)蘭、炒蘭戶，不少人是在借高利貸炒蘭，圖謀暴利。紅荷黃金海岸龍女彩蝶設(shè)某炒蘭投資者從朋友處借得一筆高利貸，以季度為結(jié)算單位，每個(gè)季度生成的利息到期自動(dòng)轉(zhuǎn)為本金，一年連本帶利付清。各季利率根據(jù)蘭花價(jià)格變化適當(dāng)調(diào)整。實(shí)際一年下來，第一季度的利率是3%，第二季度的利率是3.2%，第三季度的利率是3.6%，第四季度的利率是2.8%。問：平均利率是多少？

解答：本題需要注意的是，不能夠直接對(duì)利率進(jìn)行幾何平均，而應(yīng)該通過連本帶利計(jì)算，即若借款總額為L(zhǎng)萬元，則一年之后的付款額（本息和）為：如果平均利率為G，則應(yīng)該有：

2.加權(quán)幾何平均數(shù)

（WeightedGeometricMean）

與算術(shù)平均數(shù)一樣，當(dāng)資料中的某些變量值重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，相應(yīng)地，簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)就變成了加權(quán)幾何平均數(shù)。計(jì)算公式為：式中：fi代表各個(gè)變量值出現(xiàn)的次數(shù)。

即20年的平均年利率為114.14%-1=14.14%例3：已知一筆貸款第1年的利率為5%,接下來3年利率為8%,再接下來的11年利率為15%,最后5年的利率為18%,試計(jì)算20年的平均利率。1．幾何平均數(shù)受極端值的影響較算術(shù)平均數(shù)小。2．如果變量值有負(fù)值，計(jì)算出的幾何平均數(shù)就會(huì)成為負(fù)數(shù)或虛數(shù)。3．它僅適用于具有等比或近似等比關(guān)系的數(shù)據(jù)。4．幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)是各變量值對(duì)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。幾何平均數(shù)特點(diǎn)幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系冪平均函數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)易受極端值影響;2.調(diào)和平均數(shù)也受極端值影響,但受極小值影響較大;3.幾何平均數(shù)受極端值影響較小。

對(duì)同一資料來說:幾何平均數(shù)大于調(diào)和平均數(shù)而小于算術(shù)平均數(shù)，即有：數(shù)字12345幾何平均數(shù)2.61算術(shù)平均數(shù)3調(diào)和平均數(shù)2.19一般來說：在對(duì)某一企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)集體中的五名成員的“綜合素質(zhì)”進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)，假設(shè)指標(biāo)體系由兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成：“德子系統(tǒng)”和“才子系統(tǒng)”，經(jīng)過匯總，得到五位領(lǐng)導(dǎo)成員德、才的評(píng)價(jià)當(dāng)量值（百分制），結(jié)果如下表所示。假設(shè)“德”、“才”兩方面是等權(quán)的。分別用不同平均方法來比較這五名領(lǐng)導(dǎo)。被評(píng)價(jià)者“德”總得分“才”總得分甲乙丙丁戊808488941008076726660算術(shù)平均名次8080808080

并列調(diào)和平均名次8079.8079.2077.5575.0012345幾何平均名次8079.9079.6078.7777.46

12345平方平均名次8080.1080.4081.2282.46

54321例子：結(jié)論：(1)算術(shù)平均是一種“取長(zhǎng)補(bǔ)短式的平均”（折衷型平均）;(2)幾何平均是一種“懲罰落后式的平均”，體現(xiàn)了“鼓勵(lì)均衡發(fā)展”的評(píng)價(jià)要求（懲罰型平均）；調(diào)和平均是一種比幾何平均懲罰力度更強(qiáng)的“懲罰型平均”(3)平方平均是一種“抓大放小式的平均”，體現(xiàn)了“鼓勵(lì)搞突出抓重點(diǎn)”的評(píng)價(jià)原則（激勵(lì)型平均）。實(shí)踐中可以根據(jù)“獎(jiǎng)罰程度”的不同要求而靈活選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膋值。(4)上述性質(zhì)是針對(duì)“平均值越大越好”的情形。對(duì)于平均值越小越好的現(xiàn)象，上述結(jié)論相反。某公司所屬三個(gè)企業(yè)有關(guān)生產(chǎn)資料如下：（1）若三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，試計(jì)算平均合格率（2）若三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)不同的產(chǎn)品，試計(jì)算平均合格率（3）若三個(gè)企業(yè)為流水作業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，試計(jì)算平均合格率企業(yè)合格率（%）產(chǎn)品產(chǎn)量（件）實(shí)際消耗工時(shí)（工時(shí)）甲96100500乙95200450丙98300400思考題：三、位置平均數(shù)位置平均數(shù)，就是根據(jù)總體中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的代表值，它對(duì)于整個(gè)總體來說，具有非常直觀的代表性，因此，常用來反映分布的集中趨勢(shì)。常用的眾數(shù)、中位數(shù)。（一）中位數(shù)與分位數(shù)1.中位數(shù)（Median）的含義中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來，形成一個(gè)數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù)就是中位數(shù)。中位數(shù)用Me表示。Me50%50%在一個(gè)等差數(shù)列或一個(gè)正態(tài)分布數(shù)列中，中位數(shù)就等于算術(shù)平均數(shù)。2.中位數(shù)的計(jì)算確定中位數(shù)，必須將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，最好是編制出變量數(shù)列。這里有兩種情況：A.對(duì)于未分組的原始資料，首先必須將標(biāo)志值按大小排序。設(shè)排序的結(jié)果為：491004860049950488004720049900513505460049300512005100049400514005180049600534004870050300490004980048900486505130051900例1:24名IT從業(yè)人員年薪資料表如下所示，計(jì)算該24名IT人員的中位數(shù)排序得：中位數(shù)的位置在（24+1）/2=12.5，中位數(shù)在第12個(gè)數(shù)值（49800）和第13個(gè)數(shù)值（49900）之間，即

Me=(49800+49900)/2=49850(元)。例2:某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表零件數(shù)(個(gè))頻數(shù)(人)零件數(shù)(個(gè))頻數(shù)(人)零件數(shù)(個(gè))頻數(shù)(人)107108110112113114115117118121211133119120121122123124125126127121443223128129130131133134135137139211122112B.由分組資料確定中位數(shù)（１）由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)，直接按的公式求出中位數(shù)所在組的位置，計(jì)算累計(jì)次數(shù)確定中位數(shù)所在的組，組值即是中位數(shù)。

（２）由組距數(shù)列確定中位數(shù)。應(yīng)先按的公式求出中位數(shù)所在組的位置，然后再按下限公式或上限公式確定中位數(shù)。Sm–1-－中位數(shù)所在組以下的累計(jì)次數(shù)。Sm+1-－中位數(shù)所在組以上的累計(jì)次數(shù)。

例3:某企業(yè)50名工人加工零件中位數(shù)計(jì)算表,計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)按零件數(shù)分組(個(gè))頻數(shù)(人)向上累計(jì)(人)向下累計(jì)(人)105～1103350110～1155847115～12081642120～125143034125～1301040201301404504Sm-1Sm+1A．中位數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值，不受分布數(shù)列的極大或極小值影響，從而在一定程度上提高了中位數(shù)對(duì)分布數(shù)列的代表性。B．有些離散型變量的單項(xiàng)式數(shù)列，當(dāng)次數(shù)分布偏態(tài)時(shí)，中位數(shù)的代表性會(huì)受到影響。C．缺乏敏感性。

中位數(shù)特點(diǎn)2.分位數(shù)分位數(shù)是將變量的數(shù)值按大小順序排列并等分為若干部分后，處于等分點(diǎn)位置的數(shù)值。常用的分位數(shù)有四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)根據(jù)中位數(shù)的原理，你能寫出四分位數(shù)的公式嗎？（二）眾數(shù)（Mode）1.眾數(shù)的含義眾數(shù)是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)標(biāo)志值。用Mo表示。它主要用于定類（品質(zhì)標(biāo)志）數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，當(dāng)然也適用于作為定序（品質(zhì)標(biāo)志）數(shù)據(jù)以及定距和定比（數(shù)量標(biāo)志）數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度值。眾數(shù)也不受數(shù)列中極端變量值的影響，它可反映總體各單位某一標(biāo)志值的集中趨勢(shì)。2.眾數(shù)的計(jì)算(眾數(shù)的不唯一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):

10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):

659855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):

252828364242某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—例:根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(要點(diǎn)及計(jì)算公式)A.眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)D.該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布B.

相鄰兩組的頻數(shù)相等時(shí)，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)MoC.相鄰兩組的頻數(shù)不相等時(shí)，眾數(shù)采用下列近似公式計(jì)算MoMo組距數(shù)列確定眾數(shù)的方法下限公式上限公式式中：

L——眾數(shù)所在組下限；U——眾數(shù)所在組上限；Δ1——眾數(shù)所在組次數(shù)與其下限的鄰組次數(shù)之差；Δ2——眾數(shù)所在組次數(shù)與其上限的鄰組次數(shù)之差；d——眾數(shù)所在組組距。

例子根據(jù)下表的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)。按零件數(shù)分組(個(gè))頻數(shù)(人)向上累計(jì)(人)向下累計(jì)(人)105～1103350110～1155847115～12081642120～125143034125～1301040201301404504解：從上表的數(shù)據(jù)可以看出，最大的頻數(shù)值是14，即眾數(shù)組為120--125這一組，根據(jù)眾數(shù)計(jì)算公式）得50名工人日加工零件的眾數(shù)為：眾數(shù)特點(diǎn)

1．眾數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值，它不受分布數(shù)列的極大或極小值的影響，從而增強(qiáng)了眾數(shù)對(duì)分布數(shù)列的代表性。2．眾數(shù)是一種位置平均數(shù)，是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，因而在實(shí)際工作中有時(shí)有它特殊的用途。諸如，要說明一個(gè)企業(yè)中工人最普遍的技術(shù)等級(jí)，說明消費(fèi)者需要的內(nèi)衣、鞋襪、帽子等最普遍的號(hào)碼，說明農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)上某種農(nóng)副產(chǎn)品最普遍的成交價(jià)格等，都需要利用眾數(shù)。3．從分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢(shì)點(diǎn)的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值即為眾數(shù)。當(dāng)然，如果數(shù)據(jù)的分布沒有明顯的集中趨勢(shì)或最高峰點(diǎn)，眾數(shù)也可能不存在；如果有兩個(gè)最高峰點(diǎn)，也可以有兩個(gè)眾數(shù)。只有在總體單位比較多，而且又明顯地集中于某個(gè)變量值時(shí)，計(jì)算眾數(shù)才有意義。

4．如果與眾數(shù)組相比鄰的上下兩組的次數(shù)相等則眾數(shù)組的組中值就是眾數(shù)值；如果與眾數(shù)組比鄰的上一組的次數(shù)較多，而下一組的次數(shù)較少，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)會(huì)偏向該組下限；如果與眾數(shù)組比鄰的上一組的次數(shù)較少，而下一組的次數(shù)較多，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)會(huì)偏向該組上限。（三）中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系在對(duì)稱分布（即正態(tài)）時(shí)在右偏時(shí)在左偏時(shí)適度偏態(tài)時(shí)眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的距離約為中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)距離的3倍！中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系在次數(shù)分布完全對(duì)稱時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是同一數(shù)值；在次數(shù)分布非對(duì)稱時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)不再是同一數(shù)值了，而具有相對(duì)固定的關(guān)系。在尾巴拖在右邊的正偏態(tài)（或右偏態(tài)）分布中，眾數(shù)最小，中位數(shù)適中，算術(shù)平均數(shù)最大；在尾巴拖在左邊的負(fù)偏態(tài)（或左偏態(tài)）分布中，眾數(shù)最大，中位數(shù)適中，算術(shù)平均數(shù)最小，見后圖。

左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系例子：某城市抽樣調(diào)查資料如表所示,如何計(jì)算算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？年收入水平組中值居民戶數(shù)向上累計(jì)向下累計(jì)8000以下7000181810008000-100009000749298210000-150001250018027290815000-200001750024051272820000-250002250026077248825000-300002750014091222830000-3500032500539658835000-4000037500269913540000以上42500910009合計(jì)1000解答：算術(shù)平均數(shù)＝（7000＊18＋9000＊74＋…＋37500＊26＋42500＊9）/1000＝20022中位數(shù)=15000+(500-272)/240*5000=19750或者=20000-(500-488)/240*5000=19750眾數(shù)=20000+(260-240)/[(260-240)+(260-40)]*5000

=20714或者=25000-(260-140)/[(260-240)+(260-40)]*5000

=20714常用的幾種平均數(shù)概念計(jì)算公式特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：①容易理解，便于計(jì)算②靈敏度高③穩(wěn)定性好④

缺點(diǎn)：①易受極值影響②在偏斜分布和U形分布中，不具有代表性1.算術(shù)平均數(shù)標(biāo)志總量與總體單位總數(shù)的比值 簡(jiǎn)單：加權(quán)：常用的幾種平均數(shù)概念 計(jì)算公式 特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：①靈敏度高②在某種不能計(jì)算的條件下，可以代替

缺點(diǎn)：①不易理解②易受極值影響③有“0”值時(shí)不能計(jì)算

2.調(diào)和平均數(shù)標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)簡(jiǎn)單：加權(quán)：常用的幾種平均數(shù)概念 計(jì)算公式 特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：靈敏度高②受極值影響?、圻m宜于各比率之積為總比率的變量求平均缺點(diǎn):①有“0”或負(fù)值時(shí)不能計(jì)算②偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列只能用正根3.幾何平均數(shù)（

）幾個(gè)變量值連乘積的幾次根簡(jiǎn)單：加權(quán)：常用的幾種平均數(shù)概念 計(jì)算公式 特點(diǎn) 4.中位數(shù)（Me）標(biāo)志值由小到大順序排列，居中間位置的標(biāo)志值。屬于位置平均數(shù) 上限公式：下限公式：優(yōu)點(diǎn)：①容易理解，②不受極值影響③適宜于開口組資料和些不能用數(shù)字測(cè)定的事物缺點(diǎn)：①靈敏度和計(jì)算功能差②間斷數(shù)Me常用的幾種平均數(shù)概念 計(jì)算公式 特點(diǎn) 5.眾數(shù)（Mo）分配數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。屬于位置平均數(shù) 上限公式：下限公式：優(yōu)點(diǎn)：①容易理解，②不受極值影響缺點(diǎn)：①靈敏度和計(jì)算功能差②穩(wěn)定性差③具有不唯一性集中趨勢(shì)下的離散程度平均數(shù)反映出集中趨勢(shì)，除集中趨勢(shì)外，變量值顯然還有偏離中心值的離散趨勢(shì)。如何衡量離散程度？離中趨勢(shì)

(分散程度)第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述一、離中趨勢(shì)和離散指標(biāo)離中趨勢(shì)，就是變量分布中各變量值背離中心值的傾向。如果說集中趨勢(shì)是總體或變量分布同質(zhì)性的體現(xiàn)，那么離中趨勢(shì)就是總體或變量分布變異性的體現(xiàn)。離散指標(biāo)就是反映變量值變動(dòng)范圍和差異程度的指標(biāo)，即反映變量分布中各變量值遠(yuǎn)離中心值或代表值程度的指標(biāo)，亦稱為變異指標(biāo)或標(biāo)志變動(dòng)度指標(biāo)。

離散指標(biāo)的種類及作用

用離散指標(biāo)衡量和比較平均指標(biāo)的代表性。用離散指標(biāo)反映經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的均衡性、穩(wěn)定性和節(jié)奏性。離散指標(biāo)為統(tǒng)計(jì)推斷提供依據(jù)。離散指標(biāo)是衡量平均指標(biāo)代表性的尺度。一般來講，數(shù)據(jù)分布越分散，變異指標(biāo)越大，平均指標(biāo)的代表性越?。粩?shù)據(jù)分布越集中，變異指標(biāo)越小，平均指標(biāo)的代表性越大。常用的變異指標(biāo)有：全距（極差）、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)。

二、離散指標(biāo)的測(cè)度（一）全距（Range）全距（R）也稱為極差，是指總體各單位的兩個(gè)極端標(biāo)志值之差，即：

R＝最大標(biāo)志值－最小標(biāo)志值

特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)）（1）簡(jiǎn)明；（2）只反映變異范圍；（3）只受兩個(gè)數(shù)值影響；最容易受極端值影響。沒有反映中間數(shù)值的影響，沒有反映分布情況。第一組：60，70，80，90，100第二組：78，79，80，81，82很明顯，兩個(gè)小組的考試成績(jī)平均分都是80分，但是哪一組的分?jǐn)?shù)比較集中呢？如果用全距指標(biāo)來衡量，則有

R甲＝100－60＝40（分）

R乙＝82－78＝4（分）這說明第一組資料的標(biāo)志變動(dòng)度或離中趨勢(shì)遠(yuǎn)大于第二組資料的標(biāo)志變動(dòng)度。例1:有兩個(gè)學(xué)習(xí)小組的統(tǒng)計(jì)學(xué)開始成績(jī)分別為：四分位差是四分位數(shù)中第一個(gè)四分位數(shù)與第三個(gè)四分位數(shù)之差，也稱為內(nèi)距或四分間距，通常用表示，即：（二）四分位差四分位差Q=第三個(gè)四分位數(shù)Q3—第一個(gè)四分位數(shù)Q1優(yōu)缺：計(jì)算簡(jiǎn)單，意義清楚，反映現(xiàn)象的差異程度較粗略和不全面，實(shí)用價(jià)值較小。異眾比率是分布數(shù)列中非眾數(shù)組的頻數(shù)與總頻數(shù)之比，通常用來表示，即：

（三）異眾比率（四）平均差（MeanDeviation）

平均差是總體各單位標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。特點(diǎn)（1）反映了全部標(biāo)志值的變動(dòng)情況；（2）受平均數(shù)水平高低、計(jì)量單位（不同性質(zhì)的現(xiàn)象）影響；（3）取絕對(duì)值的方法消除離差正負(fù)號(hào)，不便于代數(shù)處理。

平均差的計(jì)算

在資料未分組的情況下，平均差的計(jì)算公式為：

平均差系數(shù)計(jì)算公式：

在資料已分組的情況下，要用加權(quán)平均差公式：

例子：某廠按月收入水平分組的組距數(shù)列如下表中前兩列，計(jì)算平均差。合計(jì)180––––55800

3700職工工資（元）職工人數(shù)（f）組中值（x）

xf

x－

250-270152603900-50750270-290252807000-30750290-3103530010500-10350310-330653202080010650330-3504034013600301200合計(jì)180－55800－3700解：根據(jù)公式列表計(jì)算，得到A.D=

由于平均差采用了離差的絕對(duì)值，不便于運(yùn)算，這樣使其應(yīng)用受到了很大限制。（五）方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)度數(shù)據(jù)變異程度的最重要、最常用的指標(biāo)。方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的平均數(shù)，通常以σ2表示。標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方差，一般用σ表示。方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算也分為簡(jiǎn)單平均法和加權(quán)平均法，另外，對(duì)于總體數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)，公式略有不同。

設(shè)總體方差為，對(duì)于未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)，方差的計(jì)算公式為：對(duì)于分過組的數(shù)據(jù)，方差的計(jì)算公式為：1.總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：

（二）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（了解）設(shè)樣本方差為，根據(jù)未分組數(shù)據(jù)和分組數(shù)據(jù)計(jì)算樣本方差的公式分別為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：（二）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（了解）根據(jù)未分組數(shù)據(jù)和分組數(shù)據(jù)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差的公式分別為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：

根據(jù)該行業(yè)通用法則：如果一個(gè)樣本中的14個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的方差大于0.005，則該機(jī)器必須關(guān)閉待修。問此時(shí)的機(jī)器是否必須關(guān)閉？

例1：考察一臺(tái)機(jī)器的生產(chǎn)能力，利用抽樣程序來檢驗(yàn)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品質(zhì)量，假設(shè)搜集的數(shù)據(jù)如下：解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，計(jì)算因此，該機(jī)器工作正常。例2:以下是江蘇省和浙江省2005年年?duì)I業(yè)收入最大的前15個(gè)企業(yè),試用標(biāo)準(zhǔn)差來比較兩省企業(yè)收入的穩(wěn)定程度。江蘇前15名營(yíng)業(yè)收入(萬元)浙江前15名營(yíng)業(yè)收入(萬元)江蘇沙鋼集團(tuán)有限公司3112365浙江物產(chǎn)集團(tuán)3476937熊貓電子集團(tuán)2804390浙江省興合集團(tuán)2261710南京鋼鐵集團(tuán)2788062浙江冶金集團(tuán)2159445江蘇華西集團(tuán)公司2603864廣廈控股創(chuàng)業(yè)投資有限公司2137266蘇寧電器集團(tuán)2246465萬向集團(tuán)2092908太平洋建設(shè)集團(tuán)2122634浙江省能源集團(tuán)有限公司1838372南京斯威特集團(tuán)有限公司1960673橫店集團(tuán)1429810春蘭集團(tuán)1706942雅戈?duì)柤瘓F(tuán)1397123徐州工程機(jī)械集團(tuán)有限公司1700551浙江省建設(shè)投資集團(tuán)1383451華芳集團(tuán)有限公司1691373正泰集團(tuán)1196121江蘇悅達(dá)集團(tuán)1538658寧波電子信息集團(tuán)1194889江蘇國(guó)泰國(guó)際集團(tuán)有限公司1206262杭州娃哈哈集團(tuán)1144323江蘇永鋼集團(tuán)有限公司1166189德力西集團(tuán)1076741江蘇交通控股有限公司1118380奧克斯集團(tuán)1034198躍進(jìn)汽車集團(tuán)1113675華立集團(tuán)1033388江蘇省:

=1925365.533(萬元)

=667382.6891(萬元)浙江省=1657112.133(萬元)

=675072.0375(萬元)從標(biāo)準(zhǔn)差看江蘇企業(yè)比浙江省企業(yè)的營(yíng)業(yè)收入穩(wěn)定解答：例3：試?yán)梅纸M資料計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差職工工資（元）職工人數(shù)（f）組中值（x）

250-270152603900-5037500270-290252807000-3022500290-3103530010500-103500310-3306532020800106500330-35040340136003036000合計(jì)180－55800106000先計(jì)算平均數(shù)：

=55800/180=310標(biāo)準(zhǔn)差

=（10600/180）^0.5=24.27(元）營(yíng)業(yè)收入（億元）企業(yè)個(gè)數(shù)（江蘇）(浙江)10-20487520-30262430-4040-5050-6060-7070-8080-9090-100100以上15166878988163111810合計(jì)

144154例4:以下是江蘇省和浙江省2004年年?duì)I業(yè)收入超過10億元企業(yè),試用標(biāo)準(zhǔn)差來比較兩省營(yíng)業(yè)收入超過10億元企業(yè)收入的穩(wěn)定程度。江蘇:先計(jì)算平均數(shù)：=43.26(億元)

標(biāo)準(zhǔn)差

=31.52(億元)浙江:=32.98(億元)=26.07(億元)解答：在實(shí)際計(jì)算方差時(shí),可以采用另一種較為簡(jiǎn)便的方法:方差和標(biāo)準(zhǔn)差也是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，它反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與其均值相比平均相差的數(shù)值，因此它能準(zhǔn)確地反映出數(shù)據(jù)的離散程度。1、σ與R的關(guān)系2、σ與A.D.的關(guān)系

經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)分布數(shù)列接近于正態(tài)分布時(shí)，R和σ之間存在以下經(jīng)驗(yàn)公式：R為4至6個(gè)σ:當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較少時(shí)，R≈4σ

當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，R≈6σ

對(duì)同一資料，所求的平均差一般比標(biāo)準(zhǔn)差要小，即A.D.≤σ標(biāo)準(zhǔn)差與全距、平均差的關(guān)系（六）離散系數(shù)對(duì)于平均水平不同或計(jì)量單位不同的不同組別的變量值，是不能直接用上述離散程度的測(cè)度值直接進(jìn)行比較的。為了消除變量值水平高低和計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)。人均年收入收入標(biāo)準(zhǔn)差甲城市6000150乙城市12000180離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來計(jì)算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。計(jì)算公式為：Vσ和Vs分別表示總體離散系數(shù)和樣本離散系數(shù)。

離散系數(shù)要是用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)的離散程度進(jìn)行比較，離散系數(shù)大的說明該組數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明該組數(shù)據(jù)的離散程度也就小。

【例1】

：甲乙兩個(gè)城市的居民年收入情況表中前三欄的數(shù)據(jù)來看,乙城市不僅人均年收入兩倍于甲城市,而且收入的差距也似乎顯著于甲城市。但通過計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)可以看出:乙城市的實(shí)際收入差距相對(duì)于它的平均收入來說,比甲城市要低的多。或者說,以居民對(duì)收入收入差距所承受的壓力而言,甲城市要比乙城市高得多.人均年收入收入標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)甲城市60001502.5乙城市120001801.5例2：江蘇企業(yè)江蘇企業(yè)的經(jīng)營(yíng)收入比浙江企業(yè)穩(wěn)定浙江企業(yè)【例子】某班級(jí)兩個(gè)寢室同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤硭?，?jì)算并說明哪個(gè)寢室同學(xué)的考試成績(jī)分布更均勻。有兩個(gè)寢室同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)數(shù)據(jù)學(xué)生編號(hào)A寢室學(xué)生成績(jī)x1B寢室學(xué)生成績(jī)x212345679590828075606093929086706456

反映平均成績(jī)的代表性，可以計(jì)算變異指標(biāo)，進(jìn)行對(duì)比。上例中，可以用三個(gè)指標(biāo)來反映。1、計(jì)算全距A寢室，成績(jī)的全距=95-60=35分B寢室，全距=93-56=37分則B寢室同學(xué)的成績(jī)變異程度大于A寢室。2、計(jì)算平均差或平均差系數(shù)A寢室：平均成績(jī)=77.4平均差=10.7平均差系數(shù)=13.8%B寢室：平均成績(jī)=78.7平均差=13.2平均差系數(shù)=16.8%則B寢室同學(xué)的成績(jī)變異程度大于A寢室。結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，v1<v2，說明A寢室同學(xué)的成績(jī)分布比B寢室均勻。3、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)注意：實(shí)際中直接計(jì)算“標(biāo)準(zhǔn)差”和“標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)”，因?yàn)檫@兩個(gè)指標(biāo)最常用且準(zhǔn)確?！纠印?/p>

常用的幾種標(biāo)志變異指標(biāo)概念 計(jì)算 特點(diǎn) 數(shù)列中最大值與最小值之差1．極差（R）R=最大值-最小值優(yōu)點(diǎn)：容易理解，計(jì)算方便缺點(diǎn)：不能反映全部數(shù)據(jù)分布狀況2．平均差（A、D）各標(biāo)志值與均值離差絕對(duì)值的算術(shù)平均 簡(jiǎn)單：加權(quán)：優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況缺點(diǎn)：取絕對(duì)值，數(shù)字上不盡合理 概念 計(jì)算 特點(diǎn) 各標(biāo)志值與均值離差平方的平均。方差的平方根（取正根）3．方差（σ2）和標(biāo)準(zhǔn)差(σ) 優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況，數(shù)字上合理。缺點(diǎn)：受計(jì)量單位和平均水平影響，不便于比較4．標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（Vσ） 標(biāo)準(zhǔn)差與均值之商，是無量綱的系數(shù) 簡(jiǎn)單：加權(quán)：優(yōu)點(diǎn)：適宜不同數(shù)據(jù)集的比較缺點(diǎn)：對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變化反應(yīng)不靈敏 方差（σ2）和標(biāo)準(zhǔn)差（σ）是應(yīng)用最廣的標(biāo)志變異指標(biāo)是非標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

是非標(biāo)志又稱交替標(biāo)志，它是用“是”“否”或“有”“無”來表示的。由于是非標(biāo)志只有兩個(gè)標(biāo)志表現(xiàn)，使得研究問題大為簡(jiǎn)化。常用1表示具有某種標(biāo)志表現(xiàn)，其單位數(shù)用N1表示，用0表示不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)，其單位數(shù)用N0表示，全部總體單位數(shù)用N表示。這兩部分單位數(shù)(N1和N0)在總體單位數(shù)(N)中所占的比例,即“是”或“非”的單位數(shù)在全體單位數(shù)中所占比例，稱為“成數(shù)”，分別記為p和q?？傮w中具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)的成數(shù)p＝N1／N總體中不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)q＝N0／N

是非標(biāo)志是非標(biāo)志的算術(shù)平均數(shù)為:是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差為:是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：例1：某批產(chǎn)品共500件，其中合格品480件，不合格品20件，要求計(jì)算成數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。

P=480/500=96%Q=20/500=4%

標(biāo)準(zhǔn)差：(0.96*0.04）^0.5=0.196標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：0.196/0.96＝20.41％是非標(biāo)志是非標(biāo)志的均值為p(對(duì)于“是”而言)是非標(biāo)志的方差為p(1-p)=pq。是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志例子：對(duì)某企業(yè)甲乙兩工人當(dāng)日產(chǎn)品中各抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查，資料如下：?jiǎn)挝唬╩m）零件數(shù)（件）甲工人乙工人9.6以下9.6-9.89.8-10.010.0-10.210.2-10.41233112232合計(jì)1010要求：試比較甲乙兩工人誰生產(chǎn)的零件質(zhì)量較穩(wěn)定。解答：

∴甲工人的零件質(zhì)量比較穩(wěn)定單位（mm）零件數(shù)（件）組中值xxf1xf2甲工人f1乙工人f29.6以下

119.59.59.50.17640.21169.6-9.8229.719.419.40.09680.13529.8-10.0329.929.719.80.00120.007210.0-10.23310.130.330.30.09720.058810.2-10.41210.310.320.60.14440.2312合

計(jì)1010--99.299.60.5160.644第三節(jié)分布形狀的描述一、分布形狀和形狀指標(biāo)形狀指標(biāo)就是反映變量分布具體形狀，即左右是否對(duì)稱、偏斜程度與陡峭程度如何的指標(biāo)。對(duì)稱性陡峭性反映變量分布偏斜程度的指標(biāo)，稱