58/58專(zhuān)題14復(fù)數(shù)、推理與證明一、選擇題:(2012年高考北京卷理科3)設(shè)a，b∈R,“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件(2012年高考浙江卷理科2)已知i是虛數(shù)單位，則＝（）A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i【答案】D【解析】＝＝＝1＋2i．(2012年高考廣東卷理科1)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=（）A6+5iB6-5iC-6+5iD-6-5i【答案】C【解析】因?yàn)?SKIPIF1<0=6SKIPIF1<0，故選C.【考點(diǎn)定位】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬容易題.(2012年高考山東卷理科1)若復(fù)數(shù)x滿(mǎn)足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位)，則z為（）A3+5iB3-5iC-3+5iD-3-5i(2012年高考遼寧卷理科2)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（）(A)SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，故選A【考點(diǎn)定位】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，屬于容易題。復(fù)數(shù)的運(yùn)算要做到細(xì)心準(zhǔn)確。(2012年高考福建卷理科1)若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則等于（）A．B．C．D．(2012年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科3)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的四個(gè)命題：其中的真命題為（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的虛部為SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2012年高考江西卷理科6)觀(guān)察下列各式：則（）A．28B．76C．123D．199(2012年高考安徽卷理科1)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0（） SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.(2012年高考天津卷理科1)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】B【解析】===.【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算.(2012年高考湖北卷理科1)方程SKIPIF1<0+6x+13=0的一個(gè)根是()A-3+2iB3+2iC-2+3iD2+3i(2012年高考上海卷理科15)若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的實(shí)系數(shù)方程SKIPIF1<0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的根的特點(diǎn)SKIPIF1<0也是該方程的另一個(gè)根，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案選擇B.【考點(diǎn)定位】本題主要考查實(shí)系數(shù)方程的根的問(wèn)題及其性質(zhì)、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，屬于中檔題，注重對(duì)基本知識(shí)和基本技巧的考查，復(fù)習(xí)時(shí)要特別注意.(2012年高考陜西卷理科3)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是虛數(shù)單位，則“SKIPIF1<0”是“復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為純虛數(shù)”的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件(2012年高考上海卷理科18)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．25B．50C(2012年高考四川卷理科2)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【考點(diǎn)定位】突出考查知識(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0，不需采用分母實(shí)數(shù)化等常規(guī)方法，分子直接展開(kāi)就可以.(2012年高考全國(guó)卷理科12)正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿直線(xiàn)向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角。當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（）A．16B．14C(2012年高考全國(guó)卷理科1)復(fù)數(shù)（）A．B．C．D．【答案】C【解析】SKIPIF1<0，選C.【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則。通過(guò)利用除法運(yùn)算來(lái)求解.二、填空題:1.（2012年高考江蘇卷3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（i為虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0的值為．2.(2012年高考上海卷理科1)計(jì)算：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位）.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.【考點(diǎn)定位】本題著重考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，首先，將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母實(shí)數(shù)化即可.3.(2012年高考湖北卷理科13)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22，,11,3443,94249等。顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33…，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，…，191,202，…，999.則（Ⅰ）4位回文數(shù)有______個(gè)；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文數(shù)有______個(gè)。4.(2012年高考福建卷理科14)數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則___________。5.(2012年高考湖南卷理科12)已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0(i為虛數(shù)單位)，則|z|=_____.【答案】10【解析】SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【考點(diǎn)定位】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模.把復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的SKIPIF1<0形式，利用SKIPIF1<0求得.6.(2012年高考湖南卷理科16)設(shè)N=2n（n∈N*，n≥2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號(hào)為1,2，…，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前SKIPIF1<0和后SKIPIF1<0個(gè)位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱(chēng)為C變換，將P1分成兩段，每段SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到SKIPIF1<0；當(dāng)2≤i≤n-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置.（1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第___個(gè)位置；（2）當(dāng)N=2n（n≥8）時(shí)，x173位于P4中的第___個(gè)位置.7.(2012年高考陜西卷理科11)觀(guān)察下列不等式，，……照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為．三、解答題:1．(2012年高考北京卷理科20)（本小題共13分）設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿(mǎn)足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于，且所有數(shù)的和為零.記為所有這樣的數(shù)表組成的集合.對(duì)于，記為的第行各數(shù)之和（），為的第列各數(shù)之和（）；記為，，…，，，，…，中的最小值.（1）對(duì)如下數(shù)表，求的值；（2）設(shè)數(shù)表形如求的最大值；（3）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的，求的最大值.2．（2012年高考江蘇卷23）（本小題滿(mǎn)分10分）設(shè)集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0為同時(shí)滿(mǎn)足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：①SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的解析式（用n表示）．3.(2012年高考湖北卷理科22)(本小題滿(mǎn)分14分)（I）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r為有理數(shù)，且0<r<1.求f（x）的最小值；（II）試用（I）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)，若b1+b2=1，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2（III）請(qǐng)將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題。注：當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí)，有求道公式(xα）r=αxα-14．(2012年高考上海卷理科23)（4+6+8=18分）對(duì)于數(shù)集SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義向量集SKIPIF1<0，若對(duì)任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則稱(chēng)SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0．例如SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)），求有窮數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.5.(2012年高考安徽卷理科21)（本小題滿(mǎn)分13分）數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0（=1\*ROMANI）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是SKIPIF1<0（=2\*ROMANII）求SKIPIF1<0的取值范圍，使數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列。6.(2012年高考四川卷理科22)(本小題滿(mǎn)分14分) 已知SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0為自然數(shù)，拋物線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸正半軸相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為該拋物線(xiàn)在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線(xiàn)在SKIPIF1<0軸上的截距。（Ⅰ）用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（Ⅱ）求對(duì)所有SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值；（Ⅲ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，并說(shuō)明理由.、7.(2012年高考湖南卷理科19)（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……若a1=1，a2=5，且對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意SKIPIF1<0，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.8.(2012年高考陜西卷理科18)（本小題滿(mǎn)分12分）（Ⅰ）如圖，證明命題“SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的一條直線(xiàn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外的一條直線(xiàn)（SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0），SKIPIF1<0是直線(xiàn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”為真；（Ⅱ）寫(xiě)出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需證明）9.(2012年高考全國(guó)卷理科22)（本小題滿(mǎn)分12分）（注意：在試卷上作答無(wú)效）函數(shù).定義數(shù)列如下：是過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.10.(2012年高考重慶卷理科21)（本小題滿(mǎn)分12分，（I）小問(wèn)5分，（II）小問(wèn)7分。）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，其中。（I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件。2011年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編一、選擇題:1.(2011年高考山東卷理科2)復(fù)數(shù)z=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4.(2011年高考浙江卷理科2)把復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)記作SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，則SKIPIF1<0=（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0故選A5．(2011年高考廣東卷理科1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+i)z=2，其中i為虛數(shù)單位，則Z=（）A．1+iB．1-iC．2+2iD．2-2i【解析】B.由題得SKIPIF1<0所以選B.6.(2011年高考遼寧卷理科1)a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0，則a=（）（A）2（B）SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)1答案：B解析：SKIPIF1<0,a>0,故a=SKIPIF1<0.7.(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科1)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)是（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0;解析：C，因?yàn)镾KIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以，共軛復(fù)數(shù)為SKIPIF1<0，選C點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，先化簡(jiǎn)后寫(xiě)出共軛復(fù)數(shù)即可。8.(2011年高考江西卷理科1)若SKIPIF1<0，則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以復(fù)數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0,選D.9.(2011年高考江西卷理科7)觀(guān)察下列各式：SKIPIF1<0=3125，SKIPIF1<0=15625，SKIPIF1<0=78125，…，則SKIPIF1<0的末四位數(shù)字為A．3125B．5625C．0625【答案】D【解析】觀(guān)察發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)是奇數(shù)的,結(jié)果后三位數(shù)字為125,故排除B、C選項(xiàng);而SKIPIF1<0,故A也不正確,所以選D.10．(2011年高考江西卷理科10)如右圖，一個(gè)直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．那么，當(dāng)小圓這樣滾過(guò)大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是12．(2011年高考湖北卷理科1)i為虛數(shù)單位，則SKIPIF1<0=A.－i B.－1 C.i D.1答案：A 解析：因?yàn)镾KIPIF1<0,故SKIPIF1<0所以選A.13．(2011年高考陜西卷理科7)設(shè)集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0為（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】C【解析】：由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選C14.(2011年高考重慶卷理科1)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（A）SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0解析：選B.SKIPIF1<0。二、填空題:1.(2011年高考山東卷理科15)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,觀(guān)察:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】觀(guān)察知:四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以歸納出分母為SKIPIF1<0的分母為SKIPIF1<0,故當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐標(biāo)系中，如果SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是整數(shù)，就稱(chēng)點(diǎn)SKIPIF1<0為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_____________（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）.①存在這樣的直線(xiàn)，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)②如果SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是無(wú)理數(shù)，則直線(xiàn)SKIPIF1<0不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)③直線(xiàn)SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)④直線(xiàn)SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是有理數(shù)⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線(xiàn)【答案】①③⑤【命題意圖】本題考查直線(xiàn)方程，考查邏輯推理能力.難度較大.【解析】①正確，令SKIPIF1<0滿(mǎn)足①；②錯(cuò)誤，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過(guò)整點(diǎn)（－1,0）；③正確，設(shè)SKIPIF1<0是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，若此直線(xiàn)過(guò)兩個(gè)整點(diǎn)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0也在直線(xiàn)SKIPIF1<0上，通過(guò)這種方法可以得到直線(xiàn)SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，通過(guò)上下平移SKIPIF1<0得對(duì)于SKIPIF1<0也成立；④錯(cuò)誤，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是有理數(shù)時(shí)，令SKIPIF1<0顯然不過(guò)任何整點(diǎn)；⑤正確.如：直線(xiàn)SKIPIF1<0恰過(guò)一個(gè)整點(diǎn)【解題指導(dǎo)】：這類(lèi)不定項(xiàng)多選題類(lèi)型，難度非常大，必須每一個(gè)選項(xiàng)都有足夠的把握確定其正誤，解題時(shí)須耐心細(xì)致。3.(2011年高考湖北卷理科15)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：n=1n=2n=3n=4由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）答案：21，43解析：根據(jù)著色方案可知，n=6時(shí)，若有3個(gè)黑色正方形則有3種，有2個(gè)黑色正方形有4+3+2+1+1=11種，有1個(gè)黑色正方形有6種；有0個(gè)黑色正方形有1種，所以共有3+11+6+1=21種.n=6時(shí)，當(dāng)至少有2個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，畫(huà)出圖形可分為：①有2個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共23種，②有3個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共12種，③有4個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共5種，④有5個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共2種，⑤有6個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共1種.故共有23+12+5+2+1=43種.4．(2011年高考陜西卷理科13)觀(guān)察下列等式照此規(guī)律，第SKIPIF1<0個(gè)等式為【答案】SKIPIF1<0【解析】：第SKIPIF1<0個(gè)等式是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差1，項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，即SKIPIF1<0SKIPIF1<03、(2011年高考安徽卷江蘇3)設(shè)復(fù)數(shù)i滿(mǎn)足SKIPIF1<0（i是虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0的實(shí)部是_________【答案】1【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的實(shí)部是1.三、解答題:1．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的虛部為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)，求SKIPIF1<0。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0………………（4分）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，………………（12分）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0………………（12分）（19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小題滿(mǎn)分12分）（Ⅰ）設(shè)SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0，（Ⅱ）SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0.【命題意圖】：本題考查不等式的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)換底公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)式恒定變形能力和推理論證能力。【證明】：(Ⅰ)由于SKIPIF1<0，所以要證明：SKIPIF1<0只要證明：SKIPIF1<0只要證明：SKIPIF1<0只要證明：SKIPIF1<0只要證明：SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，上式顯然成立，所以原命題成立。2.(2011年高考天津卷理科20)（本小題滿(mǎn)分14分）已知數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（Ⅲ）設(shè)SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0．【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法.（Ⅰ）解:由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0當(dāng)n=1時(shí),SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0;當(dāng)n=2時(shí),SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.當(dāng)n=3時(shí),SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.（Ⅱ）證明:對(duì)任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,①SKIPIF1<0,②SKIPIF1<0,③②-③得SKIPIF1<0④,將④代入①,可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得SKIPIF1<0，于是，對(duì)任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0將以上各式相加，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0對(duì)于n=1，不等式顯然成立.所以，對(duì)任意SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.(2011年高考湖南卷理科16)對(duì)于SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0為上述表示中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)（例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.答案：SKIPIF1<02;SKIPIF1<010934.(2011年高考湖南卷理科22)（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0求函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；SKIPIF1<0設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0證明：存在常數(shù)SKIPIF1<0使得對(duì)于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個(gè)零點(diǎn)，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)由零點(diǎn)，因此SKIPIF1<0至少有兩個(gè)零點(diǎn).解法1SKIPIF1<0記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有零點(diǎn).所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，而SKIPIF1<0則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，SKIPIF1<0有且只有兩個(gè)零點(diǎn).解法2由SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，SKIPIF1<0有且只有兩個(gè)零點(diǎn).SKIPIF1<0記SKIPIF1<0的正零點(diǎn)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.由此猜測(cè)：SKIPIF1<0.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0顯然成立，②假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0因此，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立故對(duì)任意的SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立5.(2011年高考廣東卷理科20)設(shè)SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0,求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0 令SKIPIF1<0， 當(dāng)SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 ①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)， SKIPIF1<0 ②當(dāng)SKIPIF1<0 SKIPIF1<0（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，（欲證SKIPIF1<0） SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0， SKIPIF1<0 當(dāng)SKIPIF1<0 綜上所述SKIPIF1<06．(2011年高考廣東卷理科21)（本小題滿(mǎn)分14分）【解析】解：（1）證明：切線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 當(dāng)SKIPIF1<0 當(dāng)SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的方程分別為SKIPIF1<0 求得SKIPIF1<0的坐標(biāo)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0 1）先證：SKIPIF1<0 （SKIPIF1<0）設(shè)SKIPIF1<0 當(dāng)SKIPIF1<0 當(dāng)SKIPIF1<0 （SKIPIF1<0）設(shè)SKIPIF1<0 當(dāng)SKIPIF1<0 注意到SKIPIF1<0 2）次證：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）已知SKIPIF1<0利用（1）有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）設(shè)SKIPIF1<0，斷言必有SKIPIF1<0 若不然，SKIPIF1<0令Y是SKIPIF1<0上線(xiàn)段SKIPIF1<0上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)的集合， 由已證的等價(jià)式1）SKIPIF1<0再由（1）得SKIPIF1<0，矛盾。 故必有SKIPIF1<0再由等價(jià)式1），SKIPIF1<0 綜上，SKIPIF1<0（3）求得SKIPIF1<0的交點(diǎn)SKIPIF1<0 而SKIPIF1<0是Ｌ的切點(diǎn)為SKIPIF1<0的切線(xiàn)，且與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0， 由（１）SKIPIF1<0線(xiàn)段Q1Q2，有SKIPIF1<0 當(dāng)SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 在（0，2）上，令SKIPIF1<0 由于SKIPIF1<0 SKIPIF1<0在[0，2]上取得最大值SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 故SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0, 故SKIPIF1<07.(2011年高考湖北卷理科21)（本小題滿(mǎn)分14分）(Ⅰ)已知函數(shù)SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值；(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0均為正數(shù)，證明：（1）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.解析：（Ⅰ）SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)是減函數(shù)；故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得最大值SKIPIF1<0（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，求和得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）①先證SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,于是由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.②再證SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是由（1）得SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0綜合①②，（2）得證.8.(2011年高考全國(guó)卷理科20)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（Ⅰ）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0【解析】：（Ⅰ）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，前項(xiàng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】：（Ⅰ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0（Ⅱ）法一：第SKIPIF1<0次抽取時(shí)概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由（Ⅰ），當(dāng)SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0故SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0即SKIPIF1<0。故SKIPIF1<0法二：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是上凸函數(shù)，于是SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0綜上：SKIPIF1<010．(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿(mǎn)分10分）設(shè)整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中的點(diǎn)，其中SKIPIF1<0（1）記SKIPIF1<0為滿(mǎn)足SKIPIF1<0的點(diǎn)SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)，求SKIPIF1<0；（2）記SKIPIF1<0為滿(mǎn)足SKIPIF1<0是整數(shù)的點(diǎn)SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)，求SKIPIF1<0SKIPIF1<011．(2011年高考北京卷理科20)（本小題共13分） 若數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為SKIPIF1<0數(shù)列，記SKIPIF1<0=SKIPIF1<0． （Ⅰ）寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0〉0的SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0； （Ⅱ）若SKIPIF1<0，n=2000，證明：E數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列的充要條件是SKIPIF1<0=2011； （Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0=0？如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的E數(shù)列SKIPIF1<0；如果不存在，說(shuō)明理由?！璦2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故SKIPIF1<0是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證。 （Ⅲ）令SKIPIF1<0 因?yàn)镾KIPIF1<0 …… SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0為偶數(shù),所以要使SKIPIF1<0為偶數(shù),即4整除SKIPIF1<0.當(dāng)2010年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編——復(fù)數(shù)（2010浙江理數(shù)）（5）對(duì)任意復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0解析：可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)檢查，A項(xiàng)，SKIPIF1<0，故A錯(cuò)，B項(xiàng)，SKIPIF1<0，故B錯(cuò)，C項(xiàng)，SKIPIF1<0，故C錯(cuò)，D項(xiàng)正確。本題主要考察了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及其幾何意義，屬中檔題（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（1）復(fù)數(shù)（A）（B）（C）（D）（2010遼寧理數(shù)）(2)設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，則（A）SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0【答案】A【命題立意】本題考查了復(fù)數(shù)相等的概念及有關(guān)運(yùn)算，考查了同學(xué)們的計(jì)算能力?！窘馕觥坑蒘KIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選A。（2010江西理數(shù)）1.已知（x+i）（1-i）=y，則實(shí)數(shù)x，y分別為（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算?？刹捎谜归_(kāi)計(jì)算的方法，得SKIPIF1<0，沒(méi)有虛部，x=1,y=2.（2010四川理數(shù)）（1）i是虛數(shù)單位，計(jì)算i＋i2＋i3＝（A）－1（B）1（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0解析：由復(fù)數(shù)性質(zhì)知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1答案：A（2010天津理數(shù)）（1）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【答案】A【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，屬于容易題。進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要份子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，同時(shí)將i2改為-1.SKIPIF1<0SKIPIF1<0【溫馨提示】近幾年天津卷每年都有一道關(guān)于復(fù)數(shù)基本運(yùn)算的小題，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，不要失分哦。（2010廣東理數(shù)）2.若復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=3-i，則z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2iD.32.A．SKIPIF1<0（2010全國(guó)卷1理數(shù)）(1)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0(A)i(B)SKIPIF1<0(C)12-13SKIPIF1<0(D)12+13SKIPIF1<0（2010山東理數(shù)）(2)已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0（a,b∈R），其中i為虛數(shù)單位，則a+b=(A)-1(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以由復(fù)數(shù)相等的意義知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<01,故選B.【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)相等的意義、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬保分題。1.（2010安徽理數(shù)）1、SKIPIF1<0是虛數(shù)單位，SKIPIF1<0A、SKIPIF1<0 B、SKIPIF1<0 C、SKIPIF1<0 D、SKIPIF1<01.B【解析】SKIPIF1<0，選B.【規(guī)律總結(jié)】SKIPIF1<0為分式形式的復(fù)數(shù)問(wèn)題，化簡(jiǎn)時(shí)通常分子與分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，然后利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，結(jié)合SKIPIF1<0得結(jié)論.2.（2010福建理數(shù)）（2010湖北理數(shù)）1．若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)Z，則表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的點(diǎn)是A．EB.FC.GD.H1．【答案】D【解析】觀(guān)察圖形可知SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)H（2，－1），故D正確.2010年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編——復(fù)數(shù)（2010重慶理數(shù)）（11）已知復(fù)數(shù)z=1+I，則SKIPIF1<0=____________.解析：SKIPIF1<0（2010北京理數(shù)）（9）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為。答案：（-1,1）（2010江蘇卷）2、設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為_(kāi)_____▲_____.[解析]考查復(fù)數(shù)運(yùn)算、模的性質(zhì)。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i與3+2i的模相等，z的模為2。（2010湖北理數(shù)）1．若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)Z，則表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的點(diǎn)是A．EB.FC.GD.H1．【答案】D【解析】觀(guān)察圖形可知SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)H（2，－1），故D正確.2009年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編——復(fù)數(shù)一、選擇題2.（2009廣東卷理）設(shè)SKIPIF1<0是復(fù)數(shù)，SKIPIF1<0表示滿(mǎn)足SKIPIF1<0的最小正整數(shù)SKIPIF1<0，則對(duì)虛數(shù)單位SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A.8B.6【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則最小正整數(shù)SKIPIF1<0為4，選C.3.（2009浙江卷理）設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虛數(shù)單位），則SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0答案：D【解析】對(duì)于SKIPIF1<05.（2009北京卷理）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限6.(2009山東卷理)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0等于（）.A．SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】:SKIPIF1<0,故選C.答案:C【命題立意】:本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子、分母需要同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，把分母變?yōu)閷?shí)數(shù)，將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟM(jìn)行運(yùn)算.8.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）已知SKIPIF1<0=2+i,則復(fù)數(shù)z=（B）（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：SKIPIF1<0故選B。9.（2009安徽卷理）i是虛數(shù)單位，若SKIPIF1<0，則乘積SKIPIF1<0的值是（