第四節(jié)全微分我們已經知道，二元函數對某個自變量的偏導數表示當其中一個自變量固定時，因變量對另一個自變量的變化率.根據一元函數微分學中增量與微分的關系，可得f(x+Ax,y)-f(x,y)-f(x,y)△xf(x,y+Ay)-f(x,y)?fy(x,y)Ay上面兩式左端分別稱為二元函數對x和對y的偏增量，而右端分別稱為二元函數對x和對y的偏微分.在實際問題中，有時需要研究多元函數中各個自變量都取得增量時因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問題.下面以二元函數為例進行討論.如果函數z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義，并設Pr(x+Ax,y+Ay)為這鄰域內的任意一點，則稱f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)為函數在點P對應于自變量增量Ax,Ay的全增量，記為Az，即Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y). (4.1)一般來說，計算全增量比較復雜.與一元函數的情形類似，我們也希望利用關于自變量增量Ax,Ay的線性函數來近似地代替函數的全增量Az，由此引入關于二元函數全微分的定義.分布圖示★偏增量與全增量★偏增量與全增量★全微分的定義★可微的必要條件★可微的必要條件★可微的充分條件★例4★例6TOC\o"1-5"\h\z★例1 ★例2 ★★例4★例6\o"CurrentDocument"★二元函數的線性化 ★例5★多元函數連續(xù)、可導、可微的關系★全微分在近似計算中的應用★絕對誤差與相對誤差 ★例7★內容小結 ★課堂練習★習題6-4內容要點一、微分的定義定義1如果函數z=f(x,y)在點(x,y)的全增量△z=f(X+AX,y+Ay)-f(x,y)可以表示為Az=AAx+BAy+o(p), (4.2)其中A,B不依賴于Ax,Ay而僅與x,y有關,p=v；(Ax)2+(Ay)2,則稱函數z=f(x,y)在點(x,y)可微分，AAx+BAy稱為函數z=f(x,y)在點(x,y)的全微分，記為dz,即dz=AAx+BAy. (4.3)若函數在區(qū)域D內各點處可微分，則稱這函數在D內可微分.二、 函數可微的條件定理1(必要條件)如果函數z=f(x,y)在點(x,y)處可微分，則該函數在點(x,y)的偏導數，竺■必存在，且z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分dxdyTOC\o"1-5"\h\z,dz dzdz=—Ax+—Ay. (4.4)dx dy我們知道，一元函數在某點可導是在該點可微的充分必要條件.但對于多元函數則不然.定理1的結論表明，二元函數的各偏導數存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.由此可見，對于多元函數而言，偏導數存在并不一定可微.因為函數的偏導數僅描述了函數在一點處沿坐標軸的變化率，而全微分描述了函數沿各個方向的變化情況.但如果對偏導數再加些條件，就可以保證函數的可微性.一般地，我們有：定理2(充分條件)如果函數z=f(x,y)的偏導數空■,*■在點(x,y)連續(xù)，則函數在該dxdy點處可微分.三、 微分的計算習慣上，常將自變量的增量Ax、Ay分別記為dx、dy，并分別稱為自變量的微分.這樣，函數z=f(x,y)的全微分就表為,az,3zdz=—dx+—dy. (4.5)ax ay上述關于二元函數全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數中去.例如，三元函數u=f(x,y,z)的全微分可表為au au audu=—dx+—dy+—dz. (4.6)ax ay az四、全微分在近似計算中的應用設二元函數z=f(x,y)在點P(X,y)的兩個偏導數f(x,y),f(x,y)連續(xù)，且IAX1,1AyI都較小時，則根據全微分定義，有即 Az-f(x,y)Ax+f(x,y)Ay.由Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)，即可得到二元函數的全微分近似計算公式f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay(4.7)例題選講例1(E01)求函數z=4xy3+5x2y6的全微分.解因為dz 』-小,6z_、 “、匚=4y3+10xy6, =12xy2+30x2y5,dz=(4y3+10xy6)dx+(12xy2+30x2y5)dy.例2(E02)計算函數z=xy在點(2,1)處的全微分.解因為f(x,y)=yxy-1,f(x,y)=xyInx,所以fx(2,1)=1,fy(2,1)=2ln2,從而所求全微分dz=dx+2In2dy.例3(E03)求函數u=x+siny+*的全微分.2解由6u—=1,6x6u 1y=—cos+zeyz,6u—=yeyz,6z故所求全微分du=dx+(cosy+ze)dy+ye夾dz.2 2 *

例4求函數"=有，的偏導數和全微分.TOC\o"1-5"\h\zdu y[ =y1?Xy'T= ?Xvcdx xdu z■yzInx—=xv'?z?y￡1?Inx=—' ?x-v'卷 ' ydudzdu-… Oudu=dx+dy一 dydx8“+—dz

dz=A'?—dx+z?+yz?InxInydzdzdu-… Oudu=dx+dy一 dydx8“+—dz

dz=A'?—dx+z?+yz?InxInydz7二元函數的線性化例5(E04)求函數f(x,y)= -xy+~y^+6在點(3,2)處的線性化。2解首先求和f在點(3,2)處的值：工y1/(3,2)=32—3?2+—2+6=11,

2TOC\o"1-5"\h\za 1/(3,2)=—(x2 +—y2+6)1 =(2x-y)I=4,x dx 2 (3.2) (3,2)a if(3,2)=—(x2-xy+—y2+6)1 =(-x+y)I=-1,y Qy 2 (3.2) (3.2)于是/?在點（3,2）處的線性化為￡(x,y)=f(X,y)+f(x,y)(x—X)+f(X,y)(J-J)00 x0 0 0 y0 0 0=11+4(x-3)-(y-2)=4x-y+1.例6(E05)計算(1.04)2.。2的近似值.解設函數/(x,y)=xy.x=1.y=2,Ax=0.04,Ay=0.02.f(1,2)=l,f(x,y)=yxl,f(兀y)="Inx,f(1,2)=2,/(1,2)=0,x y x y由二元函數全微分近似計算公式得(1.04)2.02a1+2X0.04+Ox0.02=1.08.例7測得矩形盒的邊長為75cm、60cm以及40cm,且可能的最大測量誤差為0.2cm,試用全微分估計利用這些測量值計算盒子體積時可能帶來的最大誤差.解以X、y、Z為邊長的矩形盒的體積為17=工興，心【avdvavdxdzdV=dx+dy+dz=yzdx+xzdy+xydz?dxdz由于已知|Axl<0.2,1Ayl<0.2,1&0.2,為了求體積的最大誤差，取辦=dy=dZ=0.2,再結合X=75,y=60,z=40,待Ay?dV