例題講解例1．正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分別為棱BC、CC1、CD的中點(diǎn)，求證A1C⊥平面證法1．連AC、BD，由于A1C是正方體，故AC是A1C在平面∵AC⊥BD，∴A1C⊥BD又M、P，分別是BC、CD的中點(diǎn)，則MP∥BD，∴A1C⊥MP同理A1C⊥MNMP∩MN=M，∴A1C⊥平面MNP證法2．連A1C1，AC且AC∩PM=O，則ACC1∵M(jìn)、P分別是BC、CD中點(diǎn)，且ABCD是正方形，∴MP⊥AC，又MP⊥AA1，∴MP⊥平面ACC1A1，而MP平面∴平面MNP⊥平面ACC1A在矩形ACC1A1中，設(shè)A1A=a，則，，，∴，△A1AC∽△NCO，∠ONC=∠A1CA∴A1C⊥NO又平面MNP∩平面ACC1A1=NO∴A1C⊥平面MNP評(píng)述：證明直線和平面垂直，常用的是本題所使用的兩種方法，方法一是在平面內(nèi)尋找兩條相交直線與已知直線垂直而得證；方法二是先尋找過已知直線并和已知平面垂直的平面，再證明已知直線和兩個(gè)平面的交線垂直，前者可以簡(jiǎn)述為“要證線面垂直，先證線線垂直”，后者可簡(jiǎn)述為“先證面面垂直，再證線面垂直”．例2．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)．求證：平面PAC垂直于平面PBC．(1986年全國(guó)高考題)證法1．設(shè)⊙O所在平面為α，∵PA⊥α，BCα，∴PA⊥BC，又AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．證法2．(圖13)在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于D，在平面PBC中作DE∥CB于E，∵AB是直徑，∴AC⊥BC，又PA⊥平面α，∴BC⊥PC，∵DE∥BC，∴DE⊥PC，又AD⊥PC，∴∠ADE是二面角A－PC－B的平面角．∵BC⊥AD，∴DE⊥AD，∠ADE=90°，∴平面PAC⊥平面PBC．評(píng)述：有兩種辦法證明平面與平面垂直，(1)如證法1所示，證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線；(2)如證法2所示，證明兩個(gè)平面相交所成二面角等于90°．例3．如圖14，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥A1M．(1991年全國(guó)高考題三南卷)分析1：根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特點(diǎn)，可以通過計(jì)算解決問題．證法1：連結(jié)AC1，∵∠A1C1B1=90°∴B1C1⊥C1A1，又B1C1⊥CC1，C1A1∩CC∴B1C1⊥平面AC∴AC1是AB1在平面AC1的射影．在Rt△AC1A1和Rt△A1MC∵，，，∴，，∴，∴△AC1A1∽△A1MC1，∴∠1=∠2．在Rt△A1MC1中，∠1=∠2，∴∠A1DC1=90°，即A1M⊥AC根據(jù)三垂線定理得AB1⊥A1M分析2：借助于異面直線所成的角，也可以證明本題證法2：(圖16)作直三棱柱A1B1C1－A2B2C2使C1為連A1B2和B2M．∵AA1平行且等于B1B2，∴A1B2∥AB1，則∠MA1B2是異面直線AB1和A1M由題設(shè)知A1B1=2，，∴．又，，∴，B2C2=1，，∴．∴，△A1MB2是直角三角形，∠MA1B2=90