【考綱下載】1.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用．2．理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)．3．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a＞0，且a≠1).第8講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)第一頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第一頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第一頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第一頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。(1)定義：一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于n，就是ab＝n，那么數(shù)b叫做以

的對數(shù)，記作

，a叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)．(2)性質(zhì)①

沒有對數(shù)；②loga1＝

；③logaa＝

.提示：指數(shù)式與對數(shù)式的互化：ab＝n?b＝logan(a>0且a≠1，n>0)．a(chǎn)為底nlogan＝b零與負(fù)數(shù)011．對數(shù)第二頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第二頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第二頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第二頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。2．積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算法則如果a>0，a≠1，m>0，n>0有：(1)loga(mn)＝

；(2)loga＝

；(3)logamn＝

．提示：在進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算時，一要注意運(yùn)算法則的正確使用，二要注意各運(yùn)算法則成立的條件．logam＋loganlogam－logannlogam(n∈r)3．對數(shù)的換底公式及對數(shù)恒等式(1)alogan＝

(對數(shù)恒等式)；(2)logaan＝

；(3)

(換底公式)．nn第三頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第三頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第三頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第三頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。4．對數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)；它是指數(shù)函數(shù)

y＝ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)．提示：對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別，還應(yīng)注意對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制(a>0，且a≠1)．第四頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第四頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第四頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第四頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。5．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【思考】

在同一坐標(biāo)系中，對數(shù)函數(shù)的圖象位置和底數(shù)大小有怎樣的關(guān)系？答案：在第一象限，圖象從左到右，相應(yīng)的底數(shù)由小變大，在第四象限，圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由大變小．第五頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第五頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第五頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第五頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，則x＝10；④若e＝lnx，則x＝e2.其中正確的是(

)

a．①③

b．②④

c．①②

d．③④答案：c1．以下四個結(jié)論：2．函數(shù)y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)a，則a點(diǎn)坐標(biāo)是(

)a. b. c．(1,0)d．(0,1)解析：當(dāng)3x－2＝1即x＝1時，y＝loga1＝0，即a(1,0)．答案：c第六頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第六頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第六頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第六頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。3．函數(shù)y＝

的定義域是(

)a．(3，＋∞)b．[3，＋∞)c．(4，＋∞)d．[4，＋∞)解析：由

，得

∴x≥4.答案：d4．計算：

＋2log23－log2

＝________.解析：原式＝2＋log29－log2＝2＋log2＝2＋log28＝2＋3＝5.答案：5第七頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第七頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第七頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第七頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。在解決對數(shù)運(yùn)算時，應(yīng)注意以下事項(xiàng)：1．對數(shù)的底數(shù)不統(tǒng)一時，考慮利用換底公式先統(tǒng)一底數(shù)再運(yùn)算．2．積、商、冪的對數(shù)往往化作對數(shù)的和、差、積形式；而對數(shù)的 和、差、積形式又往往化為積、商、冪的對數(shù)．3．運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則時，要注意各字母的取值范圍，同時不要 把積商冪的對數(shù)與對數(shù)的積商冪混淆起來．

第八頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第八頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第八頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第八頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。(1)2(lg)2＋lg·lg5＋

；(2)設(shè)4a＝5b＝m，且＝1，求m的值．思維點(diǎn)撥：靈活利用對數(shù)公式及對數(shù)換底公式求解．【例1】

求值：解：(1)原式＝lg(2lg＋lg5)＋＝lg(lg2＋lg5)＋1－lg＝lg＋1－lg＝1.(2)由題意，a＝log4m＝

，b＝log5m＝

∴

＝logm4＋2logm5＝logm100＝1，∴m＝100.第九頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第九頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第九頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第九頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。變式1：(1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(2)已知2x＝5y＝10z，求證：解：(1)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋lg25＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.(2)證明：令2x＝5y＝10z＝t(t>0)，則x＝log2t，y＝log5t，z＝lgt，從而＝logt2，＝logt5，＝logt10，于是＝logt2＋logt5＝logt10＝，故第十頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。求對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性時，應(yīng)重視利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的圖象解決．【例2】

已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如下圖 示，則a，b滿足的關(guān)系是(

)

a．0<a－1<b<1 b．0<b<a－1<1 c．0<b－1<a<1 d．0<a－1<b－1<1第十一頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十一頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十一頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十一頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。解析：由圖象知，函數(shù)在r上單調(diào)遞增，∴a>1.又當(dāng)x＝0時，－1<y<0，即－1<logab<0，∴

<b<1，∴0<<b<1.答案：a第十二頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十二頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十二頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十二頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。解：由x－x2>0得0<x<1，所以函數(shù)y＝loga(x－x2)的定義域是(0,1)．因?yàn)?<x－x2＝－

，所以，當(dāng)a>1時，loga(x－x2)≤loga，函數(shù)y＝loga(x－x2)的值域?yàn)?/p>

.變式2：求函數(shù)y＝loga(x－x2)(a>1)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間．令u＝x－x2(0<x<1)，因?yàn)閡＝x－x2在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，由對數(shù)函數(shù)y＝logau的單調(diào)性，可得：當(dāng)a>1時，函數(shù)y＝loga(x－x2)在

上是增函數(shù)，在

上是減函數(shù)．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

，遞增區(qū)間是

. 第十三頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十三頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十三頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十三頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。1.研究形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性時，首先必須考慮它的定義域．2．當(dāng)?shù)讛?shù)是字母a時，必須對a分a>1或0<a<1兩種情況討論．【例3】

已知f(x)＝loga(ax2－x)(a>0，且a≠1)，在區(qū)間[2,4]

上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第十四頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十四頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十四頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十四頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。解：設(shè)t＝ax2－x＝a，若f(t)＝logat在[2,4]上是增函數(shù)．∴a>1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞)．第十五頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十五頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十五頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十五頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。變式3：已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y 取最大值時x的值．解：∵f(x)的定義域?yàn)閇1,9]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域由得1≤x≤3，∴定義域?yàn)閇1,3]．y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋(2＋log3x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6.第十六頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十六頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十六頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十六頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。令t＝log3x(1≤x≤3)，則0≤t≤1，則y＝t2＋6t＋6(0≤t≤1)，當(dāng)t∈[0,1]時，y是t的增函數(shù)，∴當(dāng)t＝1時，ymax＝12＋6×1＋6＝13，此時，log3x＝1，得x＝3，∴當(dāng)x＝3時，y取得最大值13.第十七頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十七頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十七頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十七頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分?！痉椒ㄒ?guī)律】1．在對數(shù)運(yùn)算中，要充分注意利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡，若出現(xiàn)不同的“底”，應(yīng)利用換底公式換成相同的“底”．2．比較大小是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常見題型，在比較時，若底數(shù)相同，則直接比較真數(shù)大??；若底數(shù)不同，常常間接比較．間接比較時，可首先將它們與0比較，分出正負(fù)；正數(shù)常與1比較分出大于1還是小于1，然后各類數(shù)中再兩兩比較．3．解決對數(shù)函數(shù)問題時，易忘記考慮真數(shù)大于0，所以要先求定義域．當(dāng)?shù)讛?shù)是字母時，要分底數(shù)大于1，底數(shù)大于0且小于1討論.第十八頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十八頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十八分。第十八頁，編輯于星期四：八點(diǎn)三十五分。第十八頁，編輯于星期四：十九點(diǎn)三十九分。(2009·天津卷)設(shè)a＝ ，b＝

，c＝0.3，則(

)a．a(chǎn)<b<c

b．a(chǎn)<c<b

c．b<c<a

d．b<a<c

解析：由題意，得a＝＝－log32<0，b＝>＝1，c＝>0，且c<1，所以a<c<b.答案：b【高考真題】【規(guī)范解答】第十九頁，編輯于星期四：點(diǎn)三十七分。第十九頁，編輯于星期四：一點(diǎn)三十