第五章三角函數(shù)§5.2三角函數(shù)的概念5.2.1三角函數(shù)的概念(一）探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，

角的概念推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義明顯不再適用，如何對三角函數(shù)重新定義，這一節(jié)我們就來一起研究這個問題.探究點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義思考1如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，試求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.思考2如圖，銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在α終邊上任取一點(diǎn)P(a，b)，它與原點(diǎn)的距離為r，作PM⊥x軸，你能根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα嗎？思考3

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.銳角α的終邊與單位圓交于P(x，y)點(diǎn)，則有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx探究點(diǎn)二任意角三角函數(shù)的概念

yyxx

思考2對于確定的角α，這三個比值是否會隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？答

由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)值是一個比值，即一個實(shí)數(shù)，它的大小只與角α的終邊位置有關(guān)，即與角有關(guān)，與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).思考3

在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

(3)當(dāng)α是銳角時，此定義與初中定義相同；當(dāng)α不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P(x，y)，從而就必然能夠最終計算出三角函數(shù)值.

解

在直角坐標(biāo)系中，

∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)，需要確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時，應(yīng)分類討論.跟蹤訓(xùn)練1已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝

則y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8探究點(diǎn)三三角函數(shù)值在各象限的符號

三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示：記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.例2判斷下列各式的符號：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.∴sin3>0，cos4<0.反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶.跟蹤訓(xùn)練2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是(

)A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角∴角θ為第三或第四象限角.C當(dāng)堂測·查疑缺12341.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cosα等于(

)D12342.如果角α的終邊過點(diǎn)P(2sin30°，－2cos30°)，則cosα的值等于(

)A1234D呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.三角函數(shù)值是比值，是一個實(shí)數(shù)，這個實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置確定