第8章剛體的基本運動

例題§8-１剛體的平行移動§8-2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動§8-3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度§8-4輪系的傳動比§8-5*以矢量表示角速度和角加速度以矢積表示點的速度和加速度1§8-１剛體的平行移動1定義剛體內(nèi)任一直線在運動過程中始終平行于初始位置稱為平移。23速度和加速度分布剛體平移→點的運動2運動方程3§8-2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動2運動方程轉(zhuǎn)軸：兩點連線轉(zhuǎn)角：單位弧度：（rad)1定義：剛體運動時，剛體上(或其擴展部分)兩點保持不動，稱為定軸轉(zhuǎn)動。43.角速度和角加速度角速度角加速度勻速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動5§8-3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度2速度3加速度1點的運動方程64速度與加速度分布圖7§8-４輪系的傳動比１、齒輪傳動①嚙合條件②傳動比8２、帶輪傳動9§8-5*以矢量表示角速度和角加速度以矢積表示點的速度和加速度1角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角加速度矢量102繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上M點的速度和加速度速度加速度M點切向加速度M點法向加速度11

蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為長l，度單位為m。當(dāng)蕩木擺動時鋼索的擺動規(guī)律為，其中t為時間，單位為s；轉(zhuǎn)角φ0的單位為rad，試求當(dāng)t=0和t=2s時，蕩木的中點M的速度和加速度。例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M12由于兩條鋼索O1A和O2B的長度相等，并且相互平行，于是蕩木AB在運動中始終平行于直線O1O2，故蕩木作平移。為求中點M的速度和加速度，只需求出A點（或B點）的速度和加速度即可。點A在圓弧上運動，圓弧的半徑為l。如以最低點O為起點，規(guī)定弧坐標(biāo)s向右為正，則A點的運動方程為將上式對時間求導(dǎo)，得A點的速度解：例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M13再求一次導(dǎo)，得A點的切向加速度代入t=0和t=2，就可求得這兩瞬時A點的速度和加速度，亦即點M在這兩瞬時的速度和加速度。計算結(jié)果列表如下：A點的法向加速度例題1

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例題OABO1O2φll（+）M00φ02（鉛直向上）0

（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)

14滑輪的半徑r=0.2m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A（如圖），已知滑輪繞軸O的轉(zhuǎn)動規(guī)律φ=0.15t3，其中t以s計，φ

以rad計，試求t=2s時輪緣上M點和物體A的速度和加速度。AOαωM例題2

剛體的基本運動

例題15首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求得它的角速度和角加速度代入t=2s，得輪緣上M點上在

t=2s時的速度為vMAOαωM解：例題1

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例題16AOαωM加速度的兩個分量vM總加速度aM

的大小和方向atanaMφ例題2

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例題17AOαωM

因為物體A與輪緣上M點的運動不同，前者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運動，因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細繩不能伸長，物體A與M點的速度大小相等，A的加速度與M點切向加速度的大小也相等，于是有vMatana它們的方向鉛直向下。vAaA例題2

剛體的基本運動

例題18已知如圖所示的擺繞固定水平軸O的轉(zhuǎn)動方程是，式中φ表示擺對鉛直線的偏角，φ0為最大偏角；T表示擺的周期。已知擺的重心C到軸O的距離為l，試求在初瞬時和經(jīng)過平衡位置(φ=0)時重心的速度和加速度。例題3

剛體的基本運動

例題CC0lC1Oφ0φ19CC0lC1Oφ0φ將轉(zhuǎn)動方程對時間求導(dǎo)，得擺的角速度和角加速度

以t=0代入上式，得擺在初瞬時的角速度和角加速度此時重心C0的速度和加速度分別為此瞬時C0點的總加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ減小的一邊。a0解：例題3

剛體的基本運動

例題20CC0lC1Oφ0φ此時重心C1的速度和加速度分別為此瞬時C0點的總加速度a1等于法向加速度方向指向轉(zhuǎn)軸O。得擺在初瞬時的角速度和角加速度每次經(jīng)過平衡位置φ=0的瞬時，即或av1a1=a1n因而代入例題3

剛體的基本運動

例題21sBAOMvR半徑R=20cm的滑輪可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，輪緣上繞有不能伸長的細繩，繩的另一端與滑輪固連，另一端則系有重物A，設(shè)物體A從位置B出發(fā)，以勻加速度a=4.9

m·s－2向下降落，初速v0=4m·s－1，求當(dāng)物體落下距離s=2m時輪緣上一點M

的速度和加速度。例題4

剛體的基本運動

例題22根據(jù)v2–v02=2as，得M點的速度M點的法向加速度M點的切向加速度

M點的總加速度解:sBAOMvR例題4

剛體的基本運動

例題23物體A和B以不可伸長的繩子分別繞在半徑RA=50cm和RB=30cm的滑輪上。已知重物A具有勻加速度aA=100cm·s－2，且初速度vA0=150cm·s－1，兩者都向上。試求：（1）滑輪在t=3s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)，（2）當(dāng)t=3s時重物B的速度和走過的路程，（3）當(dāng)t=0時滑輪邊緣上C點的加速度。ORARBABC例題5

剛體的基本運動

例題24滑輪邊緣上C點沿圓周的位移恒等于重物A的位移；C點的速度和切向加速度分別等于A點的速度和加速度的大小。故有可見滑輪的初角速度滑輪的角加速度等于常量，等于1.求滑輪在3s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。解：例題5

剛體的基本運動

例題ORARBCABDvC0vA0aCtaA25根據(jù)勻加速轉(zhuǎn)動的角速度和轉(zhuǎn)角公式，直接可得此時滑輪的轉(zhuǎn)角其中φ0是滑輪的初轉(zhuǎn)角，決定于參考平面的選擇；為了方便，可令φ0=0?；喸?s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)是（轉(zhuǎn)）例題5

剛體的基本運動

例題ORARBCABDvC0vA0aCtaA262.求當(dāng)t=3s時滑輪的角速度和走過的路程。重物B在3s內(nèi)所走過的路程從而求出這時B點的速度例題5

剛體的基本運動

例題ORARBCABDvC0vA0aCtaA27ORARB當(dāng)t=0時滑輪邊緣上C點的切向加速度和法向加速度分別為CABDvC0vA0aCtaA且aC

偏到CO的右側(cè)，如圖所示。故C點在t=0時的全加速度的大小，以及它和半徑的夾角分別等于aCnaβ3.求當(dāng)t=0時滑輪邊緣上C點的加速度。例題5

剛體的基本運動

例題28圖示為一對外嚙合的圓柱齒輪，分別繞固定軸O1和O2轉(zhuǎn)動，兩齒輪的節(jié)圓半徑分別為r1和r2，已知某瞬時主動輪Ⅰ的角速度為ω1

，角加速度為α1，試求該瞬時從動輪Ⅱ

的角速度ω2和角加速度α2

，為簡便起見，本例的ω1

，ω2

，α1

，α2都代表絕對值。例題6

剛體的基本運動

例題ⅠⅡO1O2M1M2ω1ω2α1α2r2r129ⅠⅡO1O2M1M2ω1ω2α1α2r2r1齒輪傳動可簡化為兩輪以節(jié)圓相切并在切點處無相對滑動，因而兩輪的嚙合點M1與M2恒具有相同的速度與切向加速度。即v1v2a2ta1t或因而從動輪的角速度和角加速度分別為顯然，ω2，α2的轉(zhuǎn)向分別與ω1

,

α1相反。傳動比為解：例題6

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例題30n1ⅣⅠⅡⅢ減速箱由四個齒輪構(gòu)成，如圖所示。齒輪Ⅱ和Ⅲ安裝在同一軸上，與軸一起轉(zhuǎn)動。各齒輪的齒數(shù)分別為z1=36，z2=112，z3=32和z4=128

，如主動軸Ⅰ的轉(zhuǎn)速n1=1450r﹒min－1，試求從動輪Ⅳ的轉(zhuǎn)速n4。例題7

剛體的基本運動

例題31解：用n1，n2

，n3和n4分別表示各齒輪的轉(zhuǎn)速，且有應(yīng)用齒輪的傳動比公式，得將兩式相乘，得因為n2=n3，于是從動輪Ⅰ到齒輪Ⅳ的傳動比為由圖可見，從動輪Ⅳ和主動輪Ⅰ的轉(zhuǎn)向相同。最后，求得從動輪Ⅳ的轉(zhuǎn)速為例題7

剛體的基本運動

例題n1ⅣⅠⅡⅢ32如圖a，b分別表示一對外嚙合和內(nèi)嚙合的圓柱齒輪。已知齒輪Ⅰ的角速度是ω1

，角加速度是α1，試求齒輪Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2

，齒輪Ⅰ和Ⅱ的節(jié)圓半徑分別是R1和R2，齒數(shù)分別是z1和z2。ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例題8

剛體的基本運動

例題33（b）設(shè)A，B是齒輪Ⅰ，Ⅱ節(jié)圓上相嚙合的點。但ⅠⅡO1O2（a）vAvBABvAvBABα1α2ω2ω1ω1ω2故得在這兩嚙合點間無相對滑動，因而它們具有相等的速度大小，同樣也具有相等的切向加速度。于是有解：例題8

剛體的基本運動

例題轉(zhuǎn)向分別如圖所示。ⅠⅡO1O234DⅤⅣⅢⅡⅠn1

圖中是帶式輸送機，已知主動輪Ⅰ的轉(zhuǎn)速n1是1200r﹒min－1，齒數(shù)z1=24，齒輪Ⅲ與Ⅳ用鏈條聯(lián)動，齒數(shù)分別是z3=15和z4=45。帶輪Ⅴ和齒輪Ⅳ相固連，直徑D等于46cm，如要求輸送帶的速度v大約等于2.4m·s－1

，求輪Ⅱ應(yīng)有的齒數(shù)z2。例題9

剛體的基本運動

例題35對于直接嚙合的齒輪或用齒條聯(lián)動的一對齒輪，轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比。以n

表示轉(zhuǎn)速，則：因而故解:輪Ⅳ的轉(zhuǎn)速為例題9

剛體的基本運動

例題DⅤⅣⅢⅡⅠn136ABrx自動積分機構(gòu)中的圓盤A以勻角速度轉(zhuǎn)動，依靠摩擦使輪B隨同轉(zhuǎn)動而無滑動；輪B的軸線與圓盤A的軸線垂直相交，距離x可按其一已知規(guī)律x=f(t)變化。(1)證明輪B的轉(zhuǎn)數(shù)與函數(shù)f(t)對于時間的積分成正比，因而機構(gòu)可以自動積分。(2)設(shè)x在5s鐘內(nèi)由5cm勻速地改變?yōu)?0cm，且ω0=8rad·s－1

，r=2.5cm，試計算輪B的轉(zhuǎn)數(shù)。

例題10

剛體的基本運動

例題37解:因為兩輪的接觸點具有公共切向加速度，v=ω0x=rω。其中為輪B角速度的大小，則輪B向左移動的速度為（10－