數(shù)學(xué)A（理）§5.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第五章平面向量基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，

一對實數(shù)λ1、λ2，使a＝

.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組

.不共線有且只有λ1e1＋λ2e2基底2.平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝

.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝

，||＝

.3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?

.(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.(

)(2)在△ABC中,向量

的夾角為∠ABC.(

)(3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(

)××√思考辨析

返回√××題號答案解析1234BD1(－3，－5)

Enter解析題型一平面向量基本定理

的應(yīng)用解析答案思維升華解析答案思維升華題型一平面向量基本定理

的應(yīng)用解析答案思維升華題型一平面向量基本定理

的應(yīng)用D(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算.解析答案思維升華題型一平面向量基本定理

的應(yīng)用解析答案思維升華解析答案思維升華解析答案思維升華(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.解析答案思維升華跟蹤訓(xùn)練1

已知△ABC中，點D在BC邊上，且

＝

則r＋s的值是(

)題型二平面向量的坐標(biāo)運算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).設(shè)

＝a，

＝b，

＝c，且

＝3c，

＝－2b，(1)求3a＋b－3c；解析思維升華題型二平面向量的坐標(biāo)運算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).設(shè)

＝a，

＝b，

＝c，且

＝3c，

＝－2b，(1)求3a＋b－3c；解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).解析思維升華題型二平面向量的坐標(biāo)運算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).設(shè)

＝a，

＝b，

＝c，且

＝3c，

＝－2b，(1)求3a＋b－3c；解析思維升華向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.例2

(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；解析思維升華(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，例2

(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；解析思維升華向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.解析思維升華例2

(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；解析思維升華例2

(3)求M、N的坐標(biāo)及向量

的坐標(biāo).例2

(3)求M、N的坐標(biāo)及向量

的坐標(biāo).解析思維升華例2

(3)求M、N的坐標(biāo)及向量

的坐標(biāo).解析思維升華向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.例2

(3)求M、N的坐標(biāo)及向量

的坐標(biāo).解析思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量

等于(

)A.(－2，－1) B.(－2,1)C.(－1,0) D.(－1,2)D

2題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3

(1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝________.解析答案思維升華題型三向量共線的坐標(biāo)表示由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)即m＝－4.從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).解析答案例3

(1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝__________.思維升華題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3

(1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝__________.由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)即m＝－4.從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).解析答案(－4，－8)思維升華題型三向量共線的坐標(biāo)表示(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.解析答案例3

(1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝__________.(－4，－8)思維升華

解析答案思維升華

解析答案思維升華

解析答案思維升華

(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.解析答案思維升華

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為________.解析

∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則

＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，

＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，答案

(2,4)(2)△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________.解析因為p∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，答案

60°易錯警示系列7忽視平面向量基本定理的條件致誤典例：(12分)已知設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？易錯分析規(guī)范解答溫馨提醒易錯警示系列7忽視平面向量基本定理的條件致誤典例：(12分)已知設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？本題利用向量共線的充要條件列出等式后，易忽視平面向量基本定理的使用條件，出現(xiàn)漏解，漏掉了當(dāng)a，b共線時，t可為任意實數(shù)這個解.易錯分析溫馨提醒規(guī)范解答易錯警示系列7忽視平面向量基本定理的條件致誤典例：(12分)已知設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？易錯分析溫馨提醒3分

規(guī)范解答易錯警示系列7忽視平面向量基本定理的條件致誤典例：(12分)已知設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.①若a，b共線，則t可為任意實數(shù)；易錯分析溫馨提醒5分

規(guī)范解答易錯警示系列7忽視平面向量基本定理的條件致誤典例：(12分)已知設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？易錯分析溫馨提醒12分

10分

規(guī)范解答易錯警示系列7忽視平面向量基本定理的條件致誤典例：(12分)已知設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？平面向量基本定理是平面向量知識體系的基石，在解題中有至關(guān)重要的作用，在使用時一定要注意兩個基向量不共線這一條件.易錯分析解析溫馨提醒返回方法與技巧1.平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運算法則是運算的關(guān)鍵.方法與技巧2.平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)兩向量平行的充要條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是a＝λb，這與x1y2－x2y1＝0在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同.(2)三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求由三點組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定.失誤與防范1.要區(qū)分點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況.

返回3.使用平面向量基本定理時一定要注意兩個基向量不共線.234567891012345678910123456789101答案

A34567891012B3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4).若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于(

)解析

∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，24567891013B23567891014∴M為△ABC的重心.連接AM并延長交BC于D，則D為BC的中點.235678910142346789101523467891015答案

A234578910166.若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則

的值為________.234568910177.已知向量

＝(1，－3)，

＝(2，－1)，

＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是________.解析若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量

不共線.∵

＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.k≠1234569101781234567810199.已知A(1,1)