上海市蘭田中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.中華人民共和國(guó)國(guó)旗是五星紅旗，旗面左上方綴著的五顆黃色五角星，四顆小五角星環(huán)拱于大星之右，象征中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命人民大團(tuán)結(jié)和人民對(duì)黨的衷心擁護(hù)．五角星可通過(guò)正五邊形連接對(duì)角線得到，且它具有一些優(yōu)美的特征，如．現(xiàn)在正五邊形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正五邊形內(nèi)部的概率為（

）A． B． C． D．參考答案：D2.有5盆菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花不同的擺放種數(shù)是A．12

B．24

C．36

D．48參考答案：B略3.若實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值是

（

）A．18

B．6

C．2

D．2參考答案：B4.方程所表示的曲線的對(duì)稱性是 （

） A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱 C．關(guān)于直線對(duì)稱

D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱參考答案：C5.已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是A、（1,10）

B、（5,6）

C、（10,12）

D、（20,24）參考答案：C略6.已知函數(shù)，若，其中，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】首先由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍在（0,1），再用基本不等式求解即可．【詳解】根據(jù)題意不防設(shè)，則由，得，即，所以．因?yàn)椋裕源鸢笧镃【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)、基本不等式，綜合性比較強(qiáng)．7.已知數(shù)列，，且，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.在集合中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，在區(qū)間[1，]和[2，4]分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B9.已知全集，集合,，則BA.

B.C.

D.參考答案：A略10.設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D題目中表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選D。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2﹣x．給出如下結(jié)論：①對(duì)任意m∈Z，有f（2m）=0；②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k+1）”；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；分析法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】①根據(jù)定義可求出f（2）=0，再逐步遞推f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0；②分區(qū)間分別討論，得出在定義域內(nèi)函數(shù)的值域；③根據(jù)②的結(jié)論x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，再判斷是否存在n值；④由②的結(jié)論x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x顯然可得結(jié)論．【解答】解：∵x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2kx）=2kf（x）．①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正確；②設(shè)x∈（2，4]時(shí)，則x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]時(shí)，則x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…一般地當(dāng)x∈（2m，2m+1），則∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，從而f（x）∈[0，+∞），故正確；③由②知當(dāng)x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假設(shè)存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，∴2n=10不成立，故錯(cuò)誤；④由②知當(dāng)x∈（2k，2k+1）時(shí)，f（x）=2k+1﹣x單調(diào)遞減，為減函數(shù)，∴若（a，b）?（2k，2k+1）”，則“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”，故正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】考查了分段函數(shù)和抽象函數(shù)的理解，要弄清題意．12.的最小正周期是＿＿＿＿。參考答案：略13.若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：【答案解析】解析：因?yàn)?，所以，得，所?得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【思路點(diǎn)撥】一般遇到不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行解答，本題通過(guò)替換后可看成關(guān)于xy的一次式恒成立問(wèn)題.14.某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為

cm.參考答案：

185

本題考查了求解線性回歸方程以及利用所求的方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，難度中等。

根據(jù)題中所提供的信息，可知父親與兒子的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)可列表如下：父親的身高(x)173170176兒子的身高(y)170176182

因?yàn)樗?，所以回歸直線方程為，從而可預(yù)測(cè)他孫子的身高為182+3=185（cm）。15.在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c,,則△ABC面積的最大值為

．參考答案：316.如圖，A，B是半徑為1的圓O上兩點(diǎn)，且∠AOB＝．若點(diǎn)C是圓O上任意一點(diǎn)，則?的取值范圍為

．參考答案：17.已知，是方程的根，則=

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M、N兩點(diǎn).（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，，求a的值.參考答案：(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為.(2)【分析】(1)由極坐標(biāo)與普通方程互化，參數(shù)方程與普通方程互化直接求解即可；（2）將直線的參數(shù)方程代入，由韋達(dá)定理結(jié)合t的幾何意義即可求解【詳解】（1）由，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，由直線的參數(shù)方程得直線的普通方程為.（2）將直線的參數(shù)方程代入，化簡(jiǎn)并整理，得.因?yàn)橹本€與曲線分別交于、兩點(diǎn)，所以，解得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，，又因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，且在直線上，所以，解得，此時(shí)滿足，故.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與普通方程互化，參數(shù)方程與普通方程互化，直線參數(shù)方程，t的幾何意義，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19.（本小題滿分12分）已知三棱錐中，AP⊥PC，AC⊥BC，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且△為正三角形．

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）若，，求點(diǎn)到平面的距離。參考答案：（Ⅰ）證明：證明：如圖4，∵△PMB為正三角形，且D為PB的中點(diǎn)，∴MD⊥P

B．又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，∴MD//AP，∴AP⊥P

B．又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，∴BC⊥平面APC（Ⅱ）解：記點(diǎn)B到平面MDC的距離為h，則有．∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，，，∴．又，．在中，，又，，，即點(diǎn)B到平面MDC的距離為。略20.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3．（1）設(shè)a=1，求函數(shù)f（x）的極值；（2）若，且當(dāng)x∈[1，4a]時(shí)，|f′（x）|≤12a恒成立，試確定a的取值范圍．參考答案：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=3x2﹣6x﹣9．令f′（x）=0，解得x1=﹣1，x2=3．列表討論f（x），f′（x）的變化情況：所以，f（x）的極大值是f（﹣1）=6，極小值是f（3）=﹣26．（2）f′（x）=3x2﹣6ax﹣9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對(duì)稱．若，則f′（x）在[1，4a]上是增函數(shù)，從而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3﹣6a﹣9a2，最大值是f′（4a）=15a2．由|f′（x）|≤12a，得﹣12a≤3x2﹣6ax﹣9a2≤12a，于是有（1）=3﹣6a﹣9a2≥﹣12a，且f′（4a）=15a2≤12a．由f′（1）≥﹣12a得﹣≤a≤1，由f′（4a）≤12a得所以，即．若a＞1，則∵|f′（a）|=15a2＞12a．故當(dāng)x∈[1，4a]時(shí)|f′（x）|≤12a不恒成立．所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范圍是略21.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角C的大?。唬?）若△ABC的面積為，，求的值.參考答案：（1）（2）【分析】（1）利用兩角和的余弦公式及內(nèi)角和定理得，由二倍角公式得，進(jìn)而求得C;（2）利用面積公式得，結(jié)合余弦定理得，則可求【詳解】（1）∵，∴，，.∵，故，，.（2）由的面積為，，知，∴，由余弦定理知，故，，解得.【點(diǎn)睛】主要考查兩角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．22.某小店每天以每份5元的價(jià)格從食品廠購(gòu)進(jìn)若干份食品，然后以每份10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的食品還可以每份1元的價(jià)格退回食品廠處理.(Ⅰ)若小店一天購(gòu)進(jìn)16份，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：份，n∈N）的函數(shù)解析式；(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量（單位：份），整理得下表：日需求量14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)小店一天購(gòu)進(jìn)16份這種食品，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(ii)以小店當(dāng)天利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你認(rèn)為一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)食品1