北京豐臺(tái)區(qū)豐臺(tái)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)滿足，則有

A.最小值和最大值1

B.最小值和最大值1

B.最小值和最大值

D.最小值1參考答案：B2.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺．當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)．用s1，s2分別表示烏龜和兔子所行的路程(t為時(shí)間)，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由題意得的始終是勻速增長，開始時(shí)，的增長比較快，但中間有一段時(shí)間停止增長，在最后一段時(shí)間里，的增長又較快，但的值沒有超過的值，由此得到結(jié)論．【詳解】由題意可得的始終是勻速增長，開始時(shí)，的增長比較快，但中間有一段時(shí)間停止增長，在最后一段時(shí)間里，的增長又較快，但的值沒有超過的值，結(jié)合所給的圖象可知，B選項(xiàng)適合，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象的識(shí)別與應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意判斷關(guān)于的函數(shù)的性質(zhì)及其圖象的特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3.若函數(shù)滿足：，則的最小值為(

)

A.

B.

C.

D.12.參考答案：4.投擲兩粒骰子,得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m、n,則復(fù)數(shù)(m+ni)(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為()A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.已知，則下列正確的是

A．奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)

B．偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)

C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)

D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)參考答案：A6.命題使的否定是

參考答案：略7.已知直線m、n及平面α、β，則下列命題正確的是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系．【分析】A：由條件可得：α∥β或者α與β相交．B：根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系可得：n∥α或者n?α．C：由特征條件可得：m∥β或者m?β．D：根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系可得：m⊥n．【解答】解：A：若m∥α，n∥β，則α∥β或者α與β相交，所以A錯(cuò)誤．B：若m∥α，m∥n，則根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系可得：n∥α或者n?α，所以B錯(cuò)誤．C：若m⊥α，α⊥β，則有m∥β或者m?β，所以C錯(cuò)誤．D：若m⊥α，n∥α，則根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系可得：m⊥n，所以D正確．故選D．8.若PQ是圓x2＋y2＝9的弦，PQ的中點(diǎn)是M(1,2)，則直線PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0

B．x＋2y－5＝0

C．2x－y＋4＝0

D．2x－y＝0參考答案：B略9.一個(gè)球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比為（）Ａ．

Ｂ．

C．

D．參考答案：D10.中心角為135°，面積為B的扇形圍成一個(gè)圓錐，若圓錐的全面積為A，則A：B=________ A.11：8 B.3：8 C.8：3 D.13：8參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）函數(shù)f（x）=sin2x+sinxcosx的最大值為_________．參考答案：12.某單位為了了解用電量y（度）與氣溫x（°C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：

氣溫（°C）181310-1用電量（度）24343864由表中數(shù)據(jù)，得線性回歸方程當(dāng)氣溫為–4°C時(shí)，預(yù)測用電量的度數(shù)約為

．參考答案：6813.已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則解析式為____________.參考答案：略14.函數(shù)在[－2,0]上的最大值與最小值的和為_______.參考答案：【分析】判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，可求出該函數(shù)的最大值和最小值，相加即可得出答案.【詳解】由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)的最大值為，最小值為，因此，函數(shù)在[－2,0]上的最大值與最小值的和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上最值的求解，解題時(shí)要充分分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)的最大值和最小值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15.已知純虛數(shù)滿足(其中是虛數(shù)單位)，則

．參考答案：

16.若，則角的終邊落在第

象限.參考答案：二17.右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米,水位下降1米后，水面寬______

米.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：組別PM2.5濃度（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組（0，25]30.15第二組（25，50]120.6第三組（50，75]30.15第四組（75，100]20.1（1）將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖．①求頻率分布直方圖中a的值；②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．（2）將頻率視為概率，對(duì)于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X，求X的分布列．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；頻率分布直方圖．【分析】（1）（1）①估計(jì)頻率和為1求出a的值；②利用頻率分布直方圖求出年平均濃度，與35比較即可得出結(jié)論；（2）由題意得PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為0.9，X的可能取值為0，1，2，3；計(jì)算P（X=k）=?0.13﹣k?0.9k，寫出分布列．【解答】解：（1）①由第四組的頻率為1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因?yàn)?2.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)；（2）由題意可得：PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為0.9，X的可能取值為0，1，2，3；P（X=k）=?（1﹣0.9）3﹣k?0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列為：X0123P0.0010.0270.2430.729【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖與二項(xiàng)分布列的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19.（6分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）設(shè)，且，恒成立，求的取值范圍.參考答案：（1），f(x)隨x的變化如下x0(0,4)4

+

0

-

0

+

極大值

極小值由上表格可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,4）

f(x)的極大值為-1，極小值為-33（2）在[-1,2]上恒成立時(shí)略20.已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）解：（Ⅰ）定義域．當(dāng)時(shí)，，．令，得．當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以函數(shù)的極小值是．

5分（Ⅱ）由已知得．因?yàn)楹瘮?shù)在是增函數(shù)，所以，對(duì)恒成立．由得，即對(duì)恒成立．設(shè)，要使“對(duì)恒成立”，只要．因?yàn)椋畹茫?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以在上的最小值是．故函數(shù)在是增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是

13分考點(diǎn)：1函數(shù)的概念和性質(zhì)；2導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)。略21.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)A(3,3)、B(5,2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點(diǎn)，求直線l的方程．參考答案：解：解方程組，得交點(diǎn)P(1,2)．(1)若點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，則l∥AB.而kAB＝＝－，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0；(2)若點(diǎn)A、B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)(4，)，由兩點(diǎn)式得直線l的方程為＝，即x－6y＋11＝0.綜上所述，直線l的方程為x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.

略22.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱錐P﹣ABC的體積VP﹣ABC；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO，證明OP⊥平面ABC，利用三棱錐的體積公式，即可求三棱錐P﹣ABC的體積VP﹣ABC；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC