廣西壯族自治區(qū)貴港市桂平卓外中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（）Ａ．等于

Ｂ．等于

Ｃ．等于

Ｄ．不存在參考答案：答案：B解析：=，選B2.若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則A.0

B.12

C.

D.參考答案：A3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.設(shè)直線與球O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，從直線出發(fā)的兩個(gè)半平面截球O的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1和，二面角的平面角為，則球O的表面積為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名?，F(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（

）A.6

B.7

C.8

D.9參考答案：C設(shè)從高二應(yīng)抽取人，則有，解得，選C.6.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n變形的對(duì)角線為條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于（）A.1

B.2

C．3

D．0參考答案：C7.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9的值等于()A．54 B．45C．36 D．27參考答案：A∵2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.8.已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，的值為

（

） A． B． C． D．參考答案：A略9.△ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上的兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地平面成40°角，為了使遮陽陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為

（

）

A．75°

B．50°

C．60°

D．45°參考答案：答案:B10.拋物線y＝－4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

()A.（0，-1）

B.（-1，0）

C.（0，）

D．（，0）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)_____.參考答案：12.為了分析某同學(xué)在班級(jí)中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，統(tǒng)計(jì)了該同學(xué)在6次月考中數(shù)學(xué)名次，用莖葉圖表示如圖所示：

，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

．參考答案：18.5共6個(gè)數(shù)，正中間兩個(gè)數(shù)分別為18,19,所以中位數(shù)13.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10=40，則a3?a8的最大值為

．參考答案：16【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性質(zhì)能求出a3?a8的最大值．【解答】解：∵正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10=40，∴，∴=16．∴當(dāng)且僅當(dāng)a3=a8時(shí)，a3?a8的最大值為64．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列中兩項(xiàng)積的最大值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)及基本等式的合理運(yùn)用．14.如圖，將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點(diǎn)在半圓上，則所得梯形的最大面積為．參考答案：【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】連接OD，過C，D分別作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．設(shè)∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面積S==4sinθ（1+cosθ），平方換元利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．．【解答】解：連接OD，過C，D分別作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．設(shè)∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面積S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．則S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．則f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，f（t）取得最大值：．因此S的最大值為：．15.已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為

．參考答案：因?yàn)?，所以，令，則．．當(dāng)且，即或時(shí)取等號(hào)；另一方面，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以．16.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”（）時(shí)，從“”時(shí)，左右兩式應(yīng)乘以__________。參考答案：或略17.（4分）具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”交換的函數(shù)，下列函數(shù)：①y=x﹣；②y=x+；③y=中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是．參考答案：①③【考點(diǎn)】：進(jìn)行簡單的演繹推理．【專題】：計(jì)算題；推理和證明．【分析】：利用“倒負(fù)”函數(shù)定義，分別比較三個(gè)函數(shù)的f（）與﹣f（x）的解析式，若符合定義，則為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，若不符合，則舉反例說明函數(shù)不符合定義，從而不是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．解：①設(shè)f（x）=x﹣，∴f（）=﹣x=﹣f（x），∴y=x﹣是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，②設(shè)f（x）=x+，∵f（）=，﹣f（2）=﹣，即f（）≠﹣f（2），∴y=x+是不滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，③設(shè)f（x）=，則﹣f（x）=，∵0＜x＜1時(shí)，＞1，此時(shí)f（）﹣x；x=1時(shí)，=1，此時(shí)f（）=0，x＞1時(shí)，0＜＜1，此時(shí)f（）=，∴f（）==﹣f（x），∴y=是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．故答案為：①③【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了對(duì)新定義函數(shù)的理解，復(fù)合函數(shù)解析式的求法，分段函數(shù)解析式的求法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移0.5π個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象；（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；（2）當(dāng)a≥1，求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019個(gè)零點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）依題意，可求得ω=2，φ=，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；（2）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），?a=﹣m（x），可得m（x）==2sinx﹣，m′（x）=2cosx+=，令m′（x）=0得x=，，可得m（x）在（0，）上單調(diào)遞增，（，π）與（π，）上單調(diào)遞減，（，2π）上單調(diào)遞增，分析可知a=±1時(shí)，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2019÷3=673，得n=673*2=1346，從而存在a=1，n=1346或a=﹣1，n=1346時(shí)，φ（x）有2019個(gè)零點(diǎn)．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，∴ω==2，又曲線y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移0.5π個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x﹣0.5π）的圖象，∴g（x）=sinx．（2）∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），?a=﹣m（x），可得m（x）==2sinx﹣，m′（x）=2cosx+=，令m′（x）=0得x=，，∴m（x）在（0，）上單調(diào)遞增，（，π）與（π，）上單調(diào)遞減，（，2π）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞1時(shí)，m（x）=a在（0，2π）有2解；則a=1時(shí)，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，∴存在a=1，n=1346時(shí)，φ（x）有2019個(gè)零點(diǎn)．19.如圖，已知菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF=2，∠CBA=．（Ⅰ）求證：AF⊥BC；（Ⅱ）線段AB上是否存在一點(diǎn)G，使得直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為，若存在，求AG的長；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)，證明AF⊥平面ABCD，即可證明：AF⊥BC；（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面DEF的法向量，利用直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為，可得結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：∵菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB⊥AF，∴AF⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，AF⊥BC；（Ⅱ）解：取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則CO⊥AB，∵菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，∴CO⊥平面ABEF，作OM∥AF，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D（﹣2，0，），F(xiàn)（﹣1，4，0），E（1，2，0），∴=（1，4，﹣），=（﹣2，2，0），設(shè)平面DEF的法向量為=（x，y，z），則，取=（1，1，），設(shè)G（λ，0，0），λ∈[﹣1，1]，則=（﹣λ﹣1，4，0）∵直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為，∴=，∴λ=﹣1∈[﹣1，1]，∴AG=0，直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中垂直關(guān)系的判斷與應(yīng)用問題，也考查了用向量法求線面角，考查了空間想象能力與邏輯思維能力，是綜合性問題．20.隨著社會(huì)的發(fā)展，閱讀紙質(zhì)書本的人數(shù)逐漸減少，為了了解某大學(xué)男女生閱讀紙質(zhì)書本的情況，調(diào)查人員隨機(jī)抽取了100名在校大學(xué)生了解其閱讀情況，得到如下數(shù)據(jù)：每月讀書本數(shù)1本2本3本4本5本6本及以上男4337830女6543720合計(jì)1087101550（Ⅰ）在每月讀書超過5本的樣本中，按性別用分層抽樣隨機(jī)抽取5名學(xué)生.①求抽取的5名學(xué)生中男、女生各多少人；②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生恰為一男生一女生的概率.（Ⅱ）如果認(rèn)為每月紙質(zhì)讀書的本數(shù)超過3本的學(xué)生為“閱讀達(dá)人”，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“閱讀達(dá)人”與性別有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

，其中.參考答案：（Ⅰ）①男生有3人，女生2人;②（Ⅱ）不能【分析】（Ⅰ）①根據(jù)讀書6本及以上男生和女生的比例，求得抽取的男生和女生的人數(shù).②利用列舉法，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.（Ⅱ）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為閱讀達(dá)人與性別有關(guān).【詳解】（Ⅰ）①由表格可知，樣本中每月閱讀本數(shù)超過5本的男生有30人，女生20人，在這50人中，按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生，其中男生有3人，女生有2人.②記抽取的3名男生分別，，；女生分別記為，.再從這5名用戶隨機(jī)抽取2名學(xué)生，共包含，，，，，，，，，，10種等可能的結(jié)果.抽取的2名學(xué)生恰為一男生一女生這一事件包含，，，，，共計(jì)6種等可能的結(jié)果，由古典概型的計(jì)算公式可得：.（Ⅱ）由圖中表格可得列聯(lián)表：

非閱讀達(dá)人閱讀達(dá)人合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，所以，在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為閱讀達(dá)人與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣，考查古典概型概率計(jì)算，考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.21.（本小題滿分12分）在城的西南方向上有一個(gè)觀測(cè)站,在城的南偏東的方向上有一條筆直的公路,一輛汽車正沿著該公路上向城駛來.某一刻,在觀測(cè)站處觀測(cè)到汽車與處相距,在分鐘后觀測(cè)到汽車與處相距.若汽車速度為,求該汽車還需多長時(shí)間才能到達(dá)城?參考答案：解：如圖,由題意知,.則,從而.故.在△中,由正弦定理可得,