上海市浦東新區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)C為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F為焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)。若，則向量與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知，則方程與在同一坐標(biāo)系下的大致圖形可能是（

）參考答案：C略4.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)學(xué)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖的程序框圖是針對(duì)某一多項(xiàng)式求值的算法，如果輸入的x的值為2，則輸出的v的值為（）A.129 B.144 C.258 D.289參考答案：D【分析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，即可得出結(jié)果.【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，滿足條件，結(jié)束循環(huán)；輸出．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)行解答，屬于基礎(chǔ)題．5.是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，若∠F1PF2=30°，則△F1PF2的面積等于

（

）

參考答案：B略6.橢圓5x2﹣ky2=5的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】把橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k，再進(jìn)行判定即可．【解答】解：橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故選：A．7.A、

B、

C、

D、參考答案：B略8.若復(fù)數(shù)=2﹣i其中a，b是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)a+bi在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)=2﹣i，其中a，b是實(shí)數(shù)，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．則復(fù)數(shù)a+bi在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣7，﹣3）位于第三象限．故選：C．9.展開式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

解析：只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，

，令10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|等于A．

B.8

C.

D.4參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知，則角C的大小為

。參考答案：90°12.在平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)），則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形。已知△ABC是面積為8的格點(diǎn)三角形，其中A（0，0），B（4，0）。在研究該三角形邊界上可能的格點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自給出了一個(gè)取值，分別為6，8，10，12，其中得出錯(cuò)誤結(jié)論的同學(xué)為___________。參考答案：丙【分析】根據(jù)條件設(shè)三角形的高為，結(jié)合三角形的面積得到高，即頂點(diǎn)C在直線上，結(jié)合C的整點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行排除，即可求解．【詳解】設(shè)三角形高為，則三角形的面積，解得，即C的縱坐標(biāo)為4，若或時(shí)，則三角形邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為12個(gè)，如圖所示，若點(diǎn)，則三角形邊界上的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)為8個(gè)，如圖所示，

若或時(shí)，則三角形邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，如圖所示，所以不可能是10個(gè)，所以其中得出錯(cuò)誤結(jié)論的同學(xué)為丙．【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合條件求出三角形的高，即頂點(diǎn)C的位置，利用數(shù)形結(jié)合以及特殊值法求解是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．13.函數(shù)y=f(x)為R上的增函數(shù)，則y=f(|x+1|)單調(diào)遞減區(qū)間是____________.參考答案：14.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)，則棱A1B1與截面A1ECF所成的角的余弦值是______.參考答案：.解析：

，.設(shè)棱A1B1與截面A1ECF所成的角為,則,

.

15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（Ⅰ）__________，__________，__________，當(dāng)__________時(shí)，取得取小值，最小值為__________．（Ⅱ）若數(shù)列中相異的三項(xiàng)，，成等比數(shù)列，求的最小值．參考答案：（），，，∴，解得，，∴．，∴．（），，，，，分?jǐn)?shù)，，，，分?jǐn)?shù)，，．綜上，時(shí)，的最小值．16.拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足，則直線一定過(guò)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為__________．參考答案：(4,0)解：設(shè)直線的方程為代入拋物線，消去得,設(shè)，，則，，∴，∴（舍去）或,故直線過(guò)定點(diǎn)(4,0)．17.若目標(biāo)函數(shù)z=kx+2y在約束條件下僅在點(diǎn)（1，1）處取得最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（﹣4，2）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出k的取值范圍．【解答】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目標(biāo)函數(shù)z=kx+2y僅在點(diǎn)B（1，1）處取得最小值，則陰影部分區(qū)域在直線z=kx+2y的右上方，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直線2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣4，2），故答案為：（﹣4，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（1，1）處取得最小值，確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域是∴

令，即，解得或．，∴

舍去．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．當(dāng)時(shí)，，即．∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域?yàn)椤?1

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意2

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．依題意，得解之得．

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，∴

得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是

法二：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意…②當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，解得或

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是19.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離。參考答案：考點(diǎn)：距離平行試題解析：∵在直三棱柱中，，，∴兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．（1）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，則．∵，∴，∴。∵平面平面，∴平面（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在三棱錐中，∵，且平面，∴易求得，∴．即點(diǎn)到平面的距離是．20.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知B≠，且3cosC+c?cosB=（1）求b的值；（2）若B=，求△ABC周長(zhǎng)的范圍．參考答案：見解析【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和公式消去A，結(jié)合正弦定理即可求解b的值．（2）若B=，利用正弦定理把a(bǔ)，c表示出來(lái)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解△ABC周長(zhǎng)的范圍．【解答】解：由可得：?3sinBcosC+c?sinBcosB=3sin（B+C）?3sinBcosC+c?sinBcosB=3sinBcosC+3sinCcosB?c?sinBcosB=3sinCcosB∵，∴cosB≠0，∴c?sinB=3sinC．正弦定理可得：bsinC=3sinC，∴b=3（2）由（1）得b=3，B=，∴0＜A+C正弦定理可得：a=2sinA，c=2sinC，那么：△ABC周長(zhǎng)l=3+2（sinA+sinC）=3[sinA+sin（﹣A）]=3[sinA+sincosA﹣sinAcos）]=[sinA+cosA]=sinA+3cosA+3=6sin（A+）+3，∵∴＜A+＜sin（A+）∈（，1]∴△ABC周長(zhǎng)的范圍是（6，9]21.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面,點(diǎn)是的中點(diǎn),是的中點(diǎn)．

(1)求證：∥平面；

(2)求證：參考答案：(1)證明：取中點(diǎn)為，連

∵是的中點(diǎn)

∴是的中位線,∴

∵是中點(diǎn)且是菱形，，∴.∴

∴四邊形是平行四邊形.

從而,

∵平面,平面,

∴

∥平面

…………6分(2)證明：連結(jié)

∵底面是菱形，

∴是等邊三角形

∵是的中

∴

∵平面,

∴

∴

∵

∴…12分22.已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線2x﹣y+2=0交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q．（1）若直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，求|AF|?|BF|的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)p，使得以線段AB為直徑的圓過(guò)Q點(diǎn)？若存在，求出p的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【分析】（1）求出p=4，可得拋物線方程，與直線y=2x+2聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理，通過(guò)|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）求解即可．（2）假設(shè)存在，由拋物線x2=2py與直線y=2x+2聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），通過(guò)△＞0，以及韋達(dá)定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），方法一利用弦長(zhǎng)公式，求出p．方法二：通過(guò)化簡(jiǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理，求解p即可．【解答】解：（1）∵F（0，2），p=4，∴拋物線方程為x2=8y，…與直線y=2x+2聯(lián)立消去y得：x2﹣16x﹣16=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）…則x1+x2=16，x1x2=﹣16，…∴|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；…（2）假設(shè)存在，由拋物線x2=2py與直線y=2x