立體幾何復(fù)習(xí)（二）m和n是分別在兩個(gè)互相垂直的面a、P內(nèi)的兩條直線(xiàn)，a與P交于1,m和n與l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系是（D）可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行右圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，在原正方體中，有下列命題：①AB與CD所在直線(xiàn)垂直；②CD與EF所在直線(xiàn)平行③AB與MN所在直線(xiàn)成60°角；④MN與EF所在直線(xiàn)異面其中正確命題的序號(hào)是（D ）A.①③B.①④C.②③ D.③④①若a±b,a±a，則b//a②若a//a,a1p，則a1p()()③a1p,a1p，則a//a④若a1b,a1a,b1③a1p,a1p，則a//a其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（B ）（第4個(gè)正確）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為t2，底面邊長(zhǎng)為（3，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)BE與SC所成角的大小為（B）A.90° B.60° C.45° D.30°對(duì)于平面M與平面N,有下列條件:①M(fèi)、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)到N的距離相等；TOC\o"1-5"\h\z④l,M內(nèi)的兩條直線(xiàn)，且l//M,m//N;⑤l,m是異面直線(xiàn)，且l//M,m//M;l//N,m//N,則可判定平面M與平面N平行的條件的個(gè)數(shù)是A.1B.2 C.3 D.4只有②、⑤能判定M//N，選B正四面體棱長(zhǎng)為1，其外接球的表面積為（B）.3 5A.%3n B—n C；n D.3n2 2在正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1成600角的面對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是（A）4條 （B）6條 （C）8條 （D）10條解析：除去AD1所在的平面和他的對(duì)面的四條對(duì)角線(xiàn)，剩下的都是，如圖這樣的直線(xiàn)有4條，另外，這樣的直線(xiàn)也有4條，共8條。BB有三個(gè)平面a,B,Y，下列命題中正確的是（D）（A）若a,B，Y兩兩相交，則有三條交線(xiàn) （B）若a±B，a±Y，則B〃Y（C）若a_LY，BCa=a，B^1Y=b，則aXb（D）若a〃B，BHY=0，則aCY=0解析：A項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面相交，只有一條交線(xiàn)。B項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面互相垂直，卻兩兩相交。C項(xiàng):如圖C項(xiàng):如圖下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)正確答案：Da和b為異面直線(xiàn)，則過(guò)a與b垂直的平面（ ）A、有且只有一個(gè) B、一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)C、可能不存在 D、可能有無(wú)數(shù)個(gè)正確答案：C給出下列命題：①分別和兩條異面直線(xiàn)AB、CD同時(shí)相交的兩條直線(xiàn)AC、BD一定是異面直線(xiàn)②同時(shí)與兩條異面直線(xiàn)垂直的兩直線(xiàn)不一定平行③斜線(xiàn)b在面a內(nèi)的射影為c，直線(xiàn)aLc，則aLb④有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形，其中真命題是（①）一直線(xiàn)與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為a，p，則a+p滿(mǎn)足（B）A、a+p<900 B、a +p <900 C、a +p>900 D、a+p 3900設(shè)a，b，c表示三條直線(xiàn)，a,p表示兩個(gè)平面，則下列命題中逆命題不成立的是（ ）。A.c±a，若c±p，則a//P B.bua，cWa，若c//a，則b//cC.buP，若b1p，則Pla D.buP，c是a在P內(nèi)的射影，若b±c，則b±a正解：CC的逆命題是buP，若P1a，則b1a顯然不成立。誤解：選B。源于對(duì)C是a在P內(nèi)的射影理不清。a和P是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中可判定平面a和P平行的是（ ）。A.a和P都垂直于平面 B.a內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)到P的距離相等C.l,m是a平面內(nèi)的直線(xiàn)且l//P,m//PD.l,m是兩條異面直線(xiàn)且l//以,m//以,m//p,l//P正解：D對(duì)于A,以,p可平行也可相交；對(duì)于B三個(gè)點(diǎn)可在P平面同側(cè)或異側(cè)；對(duì)于C,l,m在平面a內(nèi)可平行，可相交。對(duì)于D正確證明如下：過(guò)直線(xiàn)l,m分別作平面與平面a,p相交，設(shè)交線(xiàn)分別為11,m1與,m，由已知1//a,1//P得1//1,1//1，從而1//1，則1//P，同理m//p，Aa//p。TOC\o"1-5"\h\z2 12 12 1 1若平面a外的直線(xiàn)a與平面a所成的角為6，則6的取值范圍是 （ ）（A）（0,-） （B）［0,^） （C）（0,七 （D）［0,七2 2 2 2錯(cuò)解：C錯(cuò)因：直線(xiàn)在平面a外應(yīng)包括直線(xiàn)與平面平行的情況，此時(shí)直線(xiàn)a與平面a所成的角為0正解：D如果a,b是異面直線(xiàn)，P是不在a,b上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：（1）過(guò)P一定可作直線(xiàn)L與a,b都相交；（2）過(guò)P一定可作直線(xiàn)L與a,b都垂直；（3）過(guò)P一定可作平面a與a,b都平行；（4）過(guò)P一定可作直線(xiàn)L與a,b都平行，其中正確的結(jié)論有（ ）A、0個(gè)B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)答案：B，只有（2）是正確的錯(cuò)解：C認(rèn)為（1）（3）對(duì)D認(rèn)為（1）（2）（3）對(duì)錯(cuò)因：認(rèn)為（2）錯(cuò)誤的同學(xué)，對(duì)空間兩條直線(xiàn)垂直理解不深刻，認(rèn)為作的直線(xiàn)應(yīng)該與a,b都垂直相交；而認(rèn)為（1）（3）對(duì)的同學(xué)，是因?yàn)樵O(shè)能借助于兩個(gè)平行平面襯托從而對(duì)問(wèn)題的分析欠嚴(yán)密?？臻g四邊形中，互相垂直的邊最多有（ ）A、1對(duì)B、2對(duì) C、3對(duì)D、4對(duì)答案：C錯(cuò)解：D錯(cuò)因：誤將空間四邊形理解成四面體，對(duì)“空間四邊形”理解不深刻。已知a、b、c是三條不重合的直線(xiàn)，a、6、r是三個(gè)不重合的平面，下面六個(gè)命題：①allc，b〃cna〃b；②aIIy，b〃rna〃b:③。〃c，6//cna〃6；④a〃r，6〃rna〃6:⑤a〃c，a〃cna〃a；＜?a〃r，a〃rna〃a.其中正確的命題是（A）（A）①④ （B）①④⑤ （C）①②③ （D）①⑤⑥已知直線(xiàn)l上平面a，直線(xiàn)mU平面8，有下面四個(gè)命題：（1）a〃8ni±m(xù) （2）a±pni〃m（3）l〃mna±p （4）l±m(xù)na〃8其中正確的兩個(gè)命題是（）A.⑴與（2） B.（3）與（4） C.（2）與（4） D.（1）與（3）解法一：在l^a，mU8的前提下，當(dāng)a〃8時(shí)，有1^8，從而l±p，從而l±m(xù)，得（1）正確；當(dāng)a±8時(shí)，l垂直于a、8的交線(xiàn)，而m不一定與該交線(xiàn)垂直，因此，l與m不一定平行，故（2）不正確.故應(yīng)排除A、C.依題意，有兩個(gè)命題正確，不可能（3），（4）都正確，否則連同（1）共有3個(gè)命題正確.故排除B，得D.解法二：當(dāng)斷定（1）正確之后，根據(jù)4個(gè)選擇項(xiàng)的安排，可轉(zhuǎn)而檢查（3），由l〃m,l〃a知m±a，從而由mUa得a±8.即（3）正確.故選D.已知a-l書(shū)是直二面角，直線(xiàn)a輕a，直線(xiàn)b輕p，且a、b與l都不垂直，那么（）.A.a與b可能平行，也可能垂直 B.a與b可能平行，但不可能垂直C.a與b不可能平行，但可能垂直 D.a與b不可能平行，也不可能垂直解析：B.當(dāng)anl=。，bnl=0時(shí)，a〃b，即a、b可能平行，假設(shè)a±b，在a上取一點(diǎn)R作PQLl交l于Q，'：二面角a-l-p是直二面角，...PQ±P，...PQXb.Ab垂直于a內(nèi)兩條相交直線(xiàn)a和PQ，.b±a，.b±l.這與已知b與l不垂直矛盾....b與a不垂直在下列命題中，真命題是（）若直線(xiàn)m、n都平行平面a，則m〃n;設(shè)a—l一p是直二面角，若直線(xiàn)m±l，則m^n，m±p；若直線(xiàn)m、n在平面a內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線(xiàn)，且m±n，則n在a內(nèi)或n與a平行;設(shè)m、n是異面直線(xiàn)，若m和平面a平行，則n與a相交.解析：對(duì)于直線(xiàn)的平行有傳遞性，而兩直線(xiàn)與平面的平行沒(méi)有傳遞性故A不正確；平面與平面垂直可得出線(xiàn)面垂直，要一直線(xiàn)在一平面內(nèi)且垂直于交線(xiàn)，而B(niǎo)中m不一定在a內(nèi)，故不正確；對(duì)D來(lái)說(shuō)存在平面同時(shí)和兩異面直線(xiàn)平行，故不正確；應(yīng)選C.經(jīng)過(guò)平面a外兩點(diǎn)A，B和平面a垂直的平面有 個(gè)？解析：一個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè)。當(dāng)A，B不垂直于平面a時(shí)，只有一個(gè)。當(dāng)A，B垂直于平面a時(shí)，有無(wú)數(shù)多個(gè)。24.OX，OY，OZ是空間交于同一點(diǎn)O的互相垂直的三條直線(xiàn)，點(diǎn)P到這三條直線(xiàn)的距離分別為3,4，7，則OP長(zhǎng)為.解析：在長(zhǎng)方體OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三條互相垂直的三條直線(xiàn)。又PZ1OZ，PY1OY，PX1OX，有OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9,OY2+OZ2=16，得OX2+OY2+OZ2=37,OPf'37.判斷題：若兩個(gè)平面互相垂直，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作它們的交線(xiàn)的垂線(xiàn)，則此直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。錯(cuò)誤原因是未能認(rèn)真審題或空間想象力不夠，忽略過(guò)該點(diǎn)向平面外作垂線(xiàn)的情況。正確答案是本題不對(duì)。判斷題：若a,b是兩條異面直線(xiàn)，p為空間任意一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行。錯(cuò)解：認(rèn)為正確。錯(cuò)誤原因是空間想像力不行。忽略P在其中一條線(xiàn)上，或a與P確定平面時(shí)恰好與b平行，此時(shí)就不能過(guò)P作平面與a平行。在平面角為60。的二面角a-1-P內(nèi)有一點(diǎn)P，P到a、P的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱l的距離為

公2而答案：一3—cm正方體AC1中，過(guò)點(diǎn)A作截面，使正方體的12條棱所在直線(xiàn)與截面所成的角都相等，試寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)截面 答案：面AD1C點(diǎn)評(píng)：本題答案不唯一，可得12條棱分成三類(lèi)：平行、相交、異面，考慮正三棱錐D-ADf，易瞎猜。自半徑為R的球面上一點(diǎn)P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC,則TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"PA2+PB2+PC2=4R2 。正解：4R2，可將pa,PB,PC看成是球內(nèi)接長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬。高，則PA2+PB2+PC2應(yīng)是長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)的平方，即球直徑的平方。誤解：沒(méi)有考慮到球內(nèi)接矩形，直接運(yùn)算，易造成計(jì)算錯(cuò)誤。30.四面體的一條棱長(zhǎng)為x，其它各棱長(zhǎng)為1，若把四面體的體積V表示成x的函數(shù)f(x)，則f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為 。正確答案：(0，亨] 斗，331.如圖，在正三棱柱ABC-A]B]C]中，AB=3，AA1=4,M為_(kāi)AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱Cq到M點(diǎn)的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為<29，設(shè)這條最短路線(xiàn)與qC的交點(diǎn)為N。求1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；2)PC和NC的長(zhǎng)；3)平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大小正解：①正三棱柱ABC-A]B]C]的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為<92+42=頂②如圖1，將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)120使其與側(cè)面AC1在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置，連接MP1，則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)CQ到點(diǎn)M的最短路線(xiàn)。設(shè)PC=x，則Pf=x，

在RtAMAP中，（3+x）2+22=29,x=21???MC=PIC=J.nc=4MAPA5 5i③連接PP1（如圖2）,則PP1就是NMP與平面ABC的交線(xiàn)，作NH±Pp于H,又CQ1平面ABC,連結(jié)CH,由三垂線(xiàn)定理得，CH1PP。1.?./NHC就是平面0肱尸與平面人8。所成二面角的平面角。,.一，,一1.一一一一在RtAPHC中，ZPCH=-ZPCP