2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題填空題：本大題共8小題，每題8分，共64分。1.設(shè)集合，集合，那么集合B中所有元素的和為2.在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B在拋物線上，滿足，F(xiàn)是拋物線的焦點，那么=3.在中，，那么的值為4.正三棱錐的底面邊長為1，高為，那么其內(nèi)切球半徑為5.設(shè)a、b為實數(shù)，函數(shù)滿足：對任意，有，那么的最大值為6.從中任取5個不同的數(shù)，其中至少有2個是相鄰數(shù)的概率為7.假設(shè)實數(shù)x，y滿足，那么的取值范圍是8.數(shù)列共有9項，其中，且對每個均有，那么這樣的數(shù)列的個數(shù)為二．解答題：本大題共3小題，共56分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9.〔此題總分值16分〕給定正數(shù)數(shù)列滿足這里.證明：存在常數(shù),使得〔此題總分值20分〕在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，分別為橢圓的左、右頂點，分別為橢圓的左右焦點，為橢圓上不同于和的任意一點.假設(shè)平面中有兩個點滿足,試確定線段的長度與的大小關(guān)系，并給出證明。11.〔此題總分值20分〕設(shè)函數(shù)，求所有的正實數(shù)對，使得對任意實數(shù)均有2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題〔此題總分值40分〕如圖，AB是圓的一條弦，P為弧AB內(nèi)一點，E、F為線段AB上兩點，滿足AE=EF=FB.連接PE、PF并延長，與圓分別項交于點C、D.求證：(解題時請將圖畫在答卷紙上)〔此題總分值40分〕給定正整數(shù)u、v.數(shù)列的定義如下：，對整數(shù)，記.證明：數(shù)列中有無窮多項是完全平方數(shù)?！泊祟}總分值50分〕一次考試共有m道試題，n個學(xué)生參加，其中為給定的整數(shù).每道題的得分規(guī)那么是：假設(shè)該題恰有x個學(xué)生沒有答對，那么每個答對蓋提的學(xué)生得x分，未答對的學(xué)生得0分.每個學(xué)生的總分為其m道題的得分總和.將所有的學(xué)生總分從高到低排列為，求的最大可能值?！泊祟}總分值50分〕設(shè)為大于1的整數(shù)，.證明：存在2k個不被n整除的整數(shù)，假設(shè)將他們?nèi)我夥殖蓛山M，那么總有一組有假設(shè)干個數(shù)的和被n整除。2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本標(biāo)準(zhǔn)評分檔次給給分，不要增加其他中間檔次。如果考生的解答和本解答的不同，只要給合理的思路、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中第9題4分為一個檔次.第10、11小題5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次.填空題：本大題共8小題，沒小題8分，共64分.答案：-5【解答】易知.當(dāng)時，，有；而當(dāng)時，，有.因此，根據(jù)B的定義可知.所以，集合B中所有元素的和為-5.答案：2【解答】點F的坐標(biāo)為〔1,0〕.設(shè)，那么，故=即，故==2答案：11【解答】由于，所以，故答案：【解答】如圖，設(shè)球心O在面ABC與面ABP內(nèi)的攝影分別為H和K，AB中點為M，內(nèi)切球半徑為r,那么P、K、M共線，，且,=,于是解得：答案：【解答】易知，那么當(dāng)即時，，故的最大值為答案【解答】設(shè)取自.假設(shè)互不相鄰，那么由此可知從中取5個互不相鄰的數(shù)的選法與從中取5個不同的數(shù)的選法相同，即種.所以從中任取5個不同的數(shù)，其中至少有2個是相鄰的概率為：答案：【解答】令，此時，且條件中等式化為，從而滿足方程：如下列圖，在平面內(nèi)，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在的局部，即點O與弧的并集，因此，從而答案：491.【解答】令，那么對每個符合條件的數(shù)列，有且〔〕①反之，由符合條件①的8項數(shù)列可能唯一確定一個符合題設(shè)條件的9項數(shù)列。記符合條件①的數(shù)列的個數(shù)為N，顯然中有偶數(shù)個，即個；繼而有個2，個1.當(dāng)給定k時，的取法有種，易見k的可能值只有：所以因此，根據(jù)對應(yīng)原理，符合條件的數(shù)列的個數(shù)為491.解答題：本大題共3小題，共56分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟?！窘獯稹慨?dāng)時，等價于對常數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：時結(jié)論顯然成立.又對，假設(shè)，那么由式①可知=所以，由歸納法可知上式成立?！窘獯稹苛?，那么，，，.設(shè)，，其中，.由,可知：①②將①、②相減得：，即，將其代入①可得：故，于是根據(jù),同理可得因此由于，故〔其中等號成立的充分必要條件是，即點P的坐標(biāo)是〕【解答】條件可以轉(zhuǎn)化為：對任意實數(shù)，有①先尋求a、b所滿足的必要條件，在①中令得：即對任意的實數(shù)x，有：由于，故可以取到任意大的值，因此必有，即：在①式中再令，得：，即對任意實數(shù)x,有②將②式的左邊記作為，顯然〔否那么，由可知，此時，其中，故可取到負(fù)值，矛盾〕，于是=對一切實數(shù)x成立，從而必有：，即進(jìn)一步考慮到，再根據(jù)，可得：至此，求得滿足的必要條件如下：③下面證明，對滿足③的任意實數(shù)對以及任意實數(shù)，總有①成立，即：對任意取非負(fù)值。事實上，在③式成立時，有再結(jié)合，可得：==綜上所述，所求的正實數(shù)對全體為2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)【證明】連接.由于,從而=①同理可得：②另一方面，由于故將①②兩式相乘可得：，即③由托勒密定理④由③④得：即：【證明】對正整數(shù)，有==所以===設(shè)，其中k是非負(fù)整數(shù)，q是奇數(shù).取，其中為滿足的任意正整數(shù)，此時，注意到q是奇數(shù)，故：所以，是完全平方數(shù).由于有無窮多個，故數(shù)列中有無窮多項是完全平方數(shù)?！窘獯稹繉θ我獾脑O(shè)第題沒有答對者有人，那么第k答對者有人，由得分規(guī)那么知，這個人在第k題均得到分.設(shè)個學(xué)生的得分和為S，那么有因為每一個人在第k道題上至多得分，故由于，故有，所以=由柯西不等式可得：于是=另一方面，假設(shè)有一個學(xué)生全部答對，其他個學(xué)生全部答錯，那么綜上所述，的最大值為四．【證明】先考慮為2的冪的情形。設(shè)，那么.取個及個1，顯然這些數(shù)字均不被n整除.將2k個數(shù)任意分成兩組，那么總有一組中含有2個，他們的和為，被n整除。現(xiàn)在設(shè)n不是2的冪，取2k個數(shù)為因為n不是2的冪，故上述2k個數(shù)均不被n整除。假設(shè)可將這些分成兩組，使得每一組中任意假設(shè)干個數(shù)的和均不能被n整除。不妨設(shè)1在第一組，由于-1+1=0，被n整除，故兩個-1必須在第二組；因為〔-1〕+〔-1〕+2=0，被n整除，故2在第一組，進(jìn)而推出-2在第二組?，F(xiàn)在歸納假設(shè)均在第一組，而均在第二組，這里，由于，