利用幾何圖形性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形在證明某些幾何問題時，若能根據(jù)圖形的特征，添加恰當?shù)妮o助線構(gòu)造出平行四邊形，并利用其性質(zhì)可使問題化難為易，化繁為簡，下面舉例說明。一.構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行例1.已知如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于O，E、F分別為OB、OD的中點，過O任作一直線分別交AB、CD于G、H。求證：GF//EH。證明：連結(jié)GE、FH四邊形ABCD是平行四邊形又四邊形EHFG是平行四邊形二.構(gòu)造平行四邊形證兩線段相等例2.如圖，中，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=CE連結(jié)DE，交BC于F，∠BAC外角的平分線交BC的延長線于G，且AG//DE。求證：BF=CF分析：過點C作CM//AB交DE于點M，可以證明BD=CM，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)得到BF=CF證明：過點C作CM//AB交BE于點M，連接BM、CD，則∠CME=∠ADE四邊形BMCD為平行四邊形故BF=CF構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系例3.如圖，AD是的邊BC上的中線，求證：分析：欲證，即要證，設法將2AD、AB、AC歸結(jié)到一個三角形中，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊來證明。注意到AD為的中線，故可考慮延長AD到E，使DE=AD，則四邊形ABEC為平行四邊形。從而問題得證。證明：延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE、EC四邊形ABEC是平行四邊形在中，AE<ab+be<span="">即2AD<ab+ac<span="">點評：此題是利用三角形三邊關(guān)系定理、平行四邊形的判定，通過延長中線將證明三角形中三條線段間的不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化為三角形三邊之間的關(guān)系，從而使問題迎刃而解。四.構(gòu)造平行四邊形證線段的倍分關(guān)系例4.如圖，分別以中的AB、AC為邊向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC的中點，求證：FH=2AM證明：延長AM到D，使MD=AM，連結(jié)BD、CD，是BC的中點四邊形ABDC為平行四邊形又AF=BA，AH=AC=BD故FH=2AM五.構(gòu)造平行四邊形證兩線段互相平分例5.平面上三個等邊三角形兩兩共有一個頂點，如圖所示，求證：CD與EF互相平分分析：要證CD與EF互相平分，須證四邊形DFCE是平行四邊形證明：連結(jié)DE、DF、AF易知AD=AB=BD又AE=AC，AD=AB∠DAE=60°－∠EAB=∠BAC四邊形DECF是平行四邊形故CD與EF互相平分六.構(gòu)造平行四邊形證角的不等關(guān)系例6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，對角線AC>BD求證：∠DBC>∠ACB證明：過點D作DE//AC交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形又在中，∠DBE>∠E七.構(gòu)造平行四邊形證線段的和差關(guān)系例7.如圖，中，點E、F在邊AB上，AE=BF，ED//AC//FG，求證：ED+FG=AC證明：過E作EH//BC交AC于H四邊形CHED為平行四邊形又AE=BF，同步練習：1.如圖1，在梯形BCED中，DE//BC延長BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。過F作FG//BC交EC于G，求證：DE+FG=BC。2.如圖2，中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，BE=CF，EF交BC于D。求證：DE=DF3.如圖3，平行四邊形ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點，且AE=CF，BG=DH，求證：EF與GH互相平分4.如圖4，已知AB=AC，B是AD的中點，E是AB的中點，求證CD=2CE5.已知：如圖5在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，點E在BC上，點F在AD上，AF=CE，EF與對角線BD相交于點O，求證：O是BD的中點。提示：1.過點F作FM//AC交BC于點M，則有平行四邊形FMCG。2.過E作EG//AC交BC于G，連結(jié)CE、GF。3.