會(huì)計(jì)學(xué)1D傅立葉級(jí)數(shù)改2023/1/182一、近似計(jì)算(僅講例1,3,5)例1.

計(jì)算的近似值,精確到解:

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第1頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/183例3.利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)誤差不超過(guò)的近似值,并估計(jì)

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第2頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/184例5.

計(jì)算積分的近似值,精確到解:

由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在

x=0處的值為1,則它在積分區(qū)間上連續(xù),且有冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式:

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第3頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/185二、歐拉(Euler)公式則稱(chēng)①收斂

,且其和為絕對(duì)收斂收斂.若收斂,若對(duì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)①絕對(duì)收斂則稱(chēng)①絕對(duì)收斂.由于,故知

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第4頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/186定義:

復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)為易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕對(duì)收斂.當(dāng)y=0時(shí),它與實(shí)指數(shù)函數(shù)當(dāng)x=0時(shí),的冪級(jí)數(shù)展式一致.

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第5頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/187（歐拉公式）（也稱(chēng)歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式則

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第6頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/188據(jù)此可得(德莫弗公式)利用冪級(jí)數(shù)的乘法,不難驗(yàn)證特別有

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第7頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/189一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

第十一章第七節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第8頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1810一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱(chēng)上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第9頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1811證:同理可證:正交

,上的積分等于0.即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束定理1.

三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系第10頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1812上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第11頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1813二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有證:

由定理?xiàng)l件,①②對(duì)①在逐項(xiàng)積分,得

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第12頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1814(利用正交性)類(lèi)似地,

用sinkx

乘①式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第13頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1815葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)①稱(chēng)為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級(jí)數(shù).稱(chēng)為函數(shù)

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第14頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1816定理3(收斂定理,展開(kāi)定理)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn);2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,且有

x

為間斷點(diǎn)其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點(diǎn)注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第15頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1817例1.

設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第16頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1818

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第17頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/18191)

根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于2)傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近說(shuō)明:f(x)的情況見(jiàn)右圖.

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第18頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1820例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第19頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1821說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第20頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1822周期延拓傅里葉展開(kāi)上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)法其它

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第21頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1823例3.

將函數(shù)級(jí)數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第22頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1824利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,得說(shuō)明:

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第23頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1825設(shè)已知又

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第24頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1826三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4.

對(duì)周期為2的奇函數(shù)

f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第25頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1827例4.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計(jì)周期為2的奇函數(shù),因此

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第26頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1828n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見(jiàn)右圖.n＝5

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第27頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1829例5.

將周期函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第28頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/18302.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓正弦級(jí)數(shù)f(x)在[0,]上展成

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第29頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1831例6.

將函數(shù)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).解:

先求正弦級(jí)數(shù).去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第30頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1832注意:在端點(diǎn)x=0,,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得f(x)=x+1的值不同.

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第31頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1833再求余弦級(jí)數(shù).將則有作偶周期延拓,

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第32頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1834說(shuō)明:

令

x=0

可得即

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第33頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1835內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第34頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/18362.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)

偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法

作奇周期延拓,展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)

作偶周期延拓,展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)1.在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)第35頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1837處收斂于2.則它的傅里葉級(jí)數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為

,

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第36頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1838備用題

1.葉級(jí)數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第37頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/18392.

設(shè)是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第38頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1840傅里葉(1768–1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書(shū)中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

目錄上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束第39頁(yè)/共41頁(yè)2023/1/1841狄利克雷