會計學1D對坐標曲面積分ok其方向用法向量指向方向余弦>0為前側<0為后側封閉曲面>0為右側<0為左側>0為上側<0為下側外側內側?設為有向曲面,側的規(guī)定

指定了側的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定第1頁/共31頁二、對坐標的曲面積分的概念與性質

1.引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面

的流量

.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

第2頁/共31頁對一般的有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進行分析可得,則第3頁/共31頁設

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標的曲面積2.定義：第4頁/共31頁引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記

正側的單位法向量為令則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式第5頁/共31頁3.性質(1)若之間無公共內點,則(2)用

ˉ

表示的反向曲面,則第6頁/共31頁三、對坐標的曲面積分的計算法定理:

設光滑曲面取上側,是

上的連續(xù)函數(shù),則證:∵

取上側,第7頁/共31頁

?

若則有?若則有(前正后負)(右正左負)說明:如果積分曲面取下側,則第8頁/共31頁例1.

計算其中

是以原點為中心,邊長為

a

的正立方體的整個表面的外側.解:

利用對稱性.原式的頂部取上側

的底部取下側第9頁/共31頁解:

把分為上下兩部分例2.計算曲面積分其中為球面外側在第一和第八卦限部分.第10頁/共31頁第11頁/共31頁例3.設S是球面的外側,計算解:

利用輪換對稱性,有第12頁/共31頁四、兩類曲面積分的聯(lián)系對于有向曲面如果取上側則曲面在任意點處的法向量為其中而第13頁/共31頁因此，有即第14頁/共31頁如果曲面取下側，則曲面上任意一點處的單位法向量為其中第15頁/共31頁因此，有因此，無論曲面取哪側，我們總是有第16頁/共31頁同理可得因此有第17頁/共31頁令向量形式(A在

n上的投影)第18頁/共31頁例5.設是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:第19頁/共31頁例6.

計算曲面積分其中

解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側.第20頁/共31頁∴原式=原式=第21頁/共31頁內容小結定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

第22頁/共31頁性質:聯(lián)系:第23頁/共31頁2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分轉化(1)當時，（上側取“+”,下側取“”)第24頁/共31頁(2)當時，（前側取“+”,后側取“”)(3)當時，（右側取“+”,左側取“”)第25頁/共31頁第26頁/共31頁思考與練習1.P227題2提示:

設則

取上側時,

取下側時,2.P244題13.P227題3(3)第27頁/共31頁是平面在第四卦限部分的上側,計算提示:求出的法方向余弦,轉化成第一類曲面積分P227題3(3).

設作業(yè)

P2273