會計學(xué)1P機(jī)械轉(zhuǎn)子陀螺儀二自由二自由度陀螺儀進(jìn)動性：演示進(jìn)動性(Proceeding)轉(zhuǎn)子沒有旋轉(zhuǎn)時，給陀螺懸掛重物

錄像：轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)的陀螺懸掛重物

第1頁/共34頁進(jìn)動的規(guī)律錄像：沿著陀螺儀外框架軸施加力矩進(jìn)動性：陀螺儀受到外力矩時，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動方向與外力矩方向相垂直的現(xiàn)象進(jìn)動、進(jìn)動角速度

第2頁/共34頁用動量矩定理解釋進(jìn)動：近似推導(dǎo)動量矩定理

H的近似表示：動量矩定理

+苛氏定律

此即二自由度陀螺儀的進(jìn)動方程

第3頁/共34頁進(jìn)動角速度的方向和大小進(jìn)動角速度的方向：最短路徑法則（H沿最短路徑趨向M）進(jìn)動角速度的大?。焊鶕?jù)

M=ω×H，寫成標(biāo)量形式：

M=ω·H·sinθ

因此

ω=M/（H·sinθ）進(jìn)動角速度大小與外力矩的大小成正比，與轉(zhuǎn)子的動量矩的大小成反比。第4頁/共34頁陀螺動力效應(yīng)：陀螺力矩外加力矩

陀螺力矩(GyroTorque)：反作用力矩

陀螺力矩的方向判斷陀螺力矩的作用對象

第5頁/共34頁陀螺動力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對外框架有效第6頁/共34頁陀螺動力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對內(nèi)框架無效第7頁/共34頁定軸性：不通電時轉(zhuǎn)動基座錄像(61s)：陀螺不通電時，轉(zhuǎn)動基座第8頁/共34頁定軸性：通電后轉(zhuǎn)動基座錄像(35s)：通電后，轉(zhuǎn)動基座第9頁/共34頁定軸性：不通電時敲打框架錄像(26s)

：不通電時，敲打框架

第10頁/共34頁定軸性：通電后敲打框架錄像(35s)

：通電后，敲打框架第11頁/共34頁定軸性總結(jié)；漂移、章動二自由度陀螺儀的定軸性二自由度陀螺儀具有抵抗干擾力矩，力圖保持其自轉(zhuǎn)軸相對慣性空間方位不變的特性（定軸性、或穩(wěn)定性）。

定軸性的相對性(一)：陀螺漂移

ωd=Md/H

定軸性的相對性(二)：章動(Nutation)現(xiàn)象陀螺受沖擊力矩時，自轉(zhuǎn)軸將在原來的空間方位附近作錐形振蕩運動

第12頁/共34頁章動錄像錄像（20s）：二自由度陀螺的章動(nutation)現(xiàn)象第13頁/共34頁二自由度陀螺運動方程：初步分析從定性到定量：引入坐標(biāo)系

外、內(nèi)框架和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系任務(wù)：描述當(dāng)沿著內(nèi)外框架軸施加力矩時，陀螺框架角α、β的變化規(guī)律方法：動量矩定理+苛氏定律

第14頁/共34頁二自由度陀螺運動方程：矢量表示轉(zhuǎn)子的絕對角速度：分解表示內(nèi)框架坐標(biāo)系的牽連角速度：轉(zhuǎn)子相對內(nèi)框架的角速度：轉(zhuǎn)子的絕對角速度：轉(zhuǎn)子的動量矩：第15頁/共34頁二自由度陀螺運動方程：推導(dǎo)根據(jù)動量矩定理和苛氏定律

其中

第16頁/共34頁二自由度陀螺運動方程：合并簡化對每個坐標(biāo)分量，分別寫出方程

以上稱變態(tài)歐拉動力學(xué)方程實際的陀螺中，一般赤道轉(zhuǎn)動慣量Jx=Jy，由第三式可得

陀螺穩(wěn)態(tài)工作時，Mz=0，因此

對前兩式，忽略角速度高階小量，得到簡化方程

關(guān)于框架角速度和外加力矩的方向

第17頁/共34頁二自由度陀螺運動方程：角速度投影兩種角速度的關(guān)系

內(nèi)框架坐標(biāo)系xyz的ω等于兩個歐拉角速度的矢量和

根據(jù)投影

代入簡化方程，得到

求導(dǎo)式展開，忽略高階小量，得到

第18頁/共34頁二自由度陀螺運動方程：力矩投影力矩的變換代入上式，得到

實際β角很小，上式簡化成

上式稱為陀螺儀的技術(shù)方程。技術(shù)方程的物理意義（慣性力矩和進(jìn)動力矩）

第19頁/共34頁二自由度陀螺系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術(shù)方程

拉氏變換整理當(dāng)初始條件都為零，得到第20頁/共34頁二自由度陀螺系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程改寫方程，畫出系統(tǒng)方塊圖每個力矩都同時引起陀螺儀的兩種運動，陀螺力矩起耦合作用第21頁/共34頁二自由度陀螺系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)由拉氏變換方程求解兩個框架角α、β，得到

由此可以得到從Mx1、My分別到α和β的四個傳遞函數(shù)

改寫分母項固有振蕩頻率第22頁/共34頁二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：輸入輸出沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型：脈沖函數(shù)，數(shù)值極大，時間極短，對時間的積分是一個有限值

代入系統(tǒng)的拉氏變換模型：

求解α(s)和β(s)，得到

其中第23頁/共34頁二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：響應(yīng)軌跡假設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，部分分式展開，反拉氏變換得：

可見，力矩Mx1引起轉(zhuǎn)子軸同時繞內(nèi)外兩個框架作等幅振蕩，相位相差90度。消去時間變量，得軌跡方程

軌跡圓，半徑…圓心…頻率…

第24頁/共34頁二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：計算例子例子：設(shè)Jx=Jy=Je=1.38克·厘米·秒2，

H=5160克·厘米·秒，

Mx1=36200克·厘米×10-5

秒（注：克=克重，相當(dāng)于每克物體的重量）

章動的幅度（半徑）角分章動的特點：高頻、微幅

第25頁/共34頁二自由度陀螺階躍響應(yīng)：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，可以用階躍函數(shù)表示：陀螺系統(tǒng)的初始條件都為零時，頻域輸出響應(yīng)為：

第26頁/共34頁設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H/(Jx·Jy)反拉氏變換，得時域響應(yīng)：

二自由度陀螺階躍響應(yīng)：時域響應(yīng)動態(tài)響應(yīng)：章動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：進(jìn)動和等效彈簧效應(yīng)第27頁/共34頁二自由度陀螺階躍響應(yīng)：軌跡對前式移項后兩邊平方相加，得到轉(zhuǎn)子軸的軌跡方程

旋輪線：圓周運動（章動）和平移運動（進(jìn)動）的合成。解釋：圓周運動線速度：圓心移動速度：兩種運動合成的結(jié)果：車輪無摩擦滾動——旋輪線其中進(jìn)動起主導(dǎo)作用

第28頁/共34頁二自由度陀螺階躍響應(yīng)：計算例子例題：My=1克·厘米；H=10000克·厘米·秒；Jx=Jy=Je=4克·厘米·秒2；常值干擾力矩作用時間t=60秒。

陀螺漂移率漂移的角度章動振幅章動頻率常值干擾力矩的產(chǎn)生原因及影響第29頁/共34頁二自由度陀螺正弦響應(yīng)：輸入輸出如果外加力矩方向不斷改變，大致可以用簡諧函數(shù)描述

初始條件都為零時，陀螺頻域輸出響應(yīng)為：

令ω02=H2/(Jx·Jy)，并部分分式展開及反拉氏變換，得第30頁/共34頁二自由度陀螺正弦響應(yīng)：時域響應(yīng)章動項強(qiáng)迫簡諧振動項常值項設(shè)ωa《ωo

，Jx=Jy=Je，則上述響應(yīng)式可以簡化成：第31頁/共34頁二自由度陀螺正弦響應(yīng)：軌跡可見Mx1使轉(zhuǎn)子軸同時繞內(nèi)外框架軸做受迫振蕩。消去時