第15講導(dǎo)數(shù)解答題之導(dǎo)數(shù)中的卡根思想1．已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．【解析】解：（Ⅰ）的定義域是，，時(shí)，，遞增，時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減；（2）恒成立，可得恒成立，等價(jià)為在恒成立．令，只需，，令，可得，設(shè)，，在遞減，設(shè)的根為，當(dāng)，，當(dāng)，時(shí)，，在遞增，在，遞減，即有，由，（1），則，此時(shí)，即，即，則有整數(shù)的最小值為2．2．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，，求在，上的最小值（結(jié)果用表示）；（Ⅲ）關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．【解析】解：（Ⅰ），，令，解得：，令，解得：，故函數(shù)在遞減，在，遞增；（Ⅱ）函數(shù)，，，令，由（Ⅰ）得：在，上單調(diào)遞增，所以，，的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，若，，則，在，上遞增，，即在，上的最小值是；（Ⅲ）由恒成立，化為：，只需，．，令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，（e），．整數(shù)的最小值為1．3．已知函數(shù)，曲線在，（1）處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）如果不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】解：（1），，由題意可得，，解可得，，，（2）由可得，，由恒成立可得，，令，則，令，則，單調(diào)遞增，而（2），（3），所以有唯一的實(shí)數(shù)根，且，，，，故的最大值3．4．已知函數(shù)在，（1）處的切線方程為．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)、的值；（Ⅱ）設(shè)，若，且對(duì)任意的恒成立，求的最大值．【解析】解：（Ⅰ），故且，解得：，；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，令，，則，故函數(shù)為上的增函數(shù)，（8），，故在上有唯一零點(diǎn)，即成立，故，當(dāng)時(shí)，，即，時(shí)，，即，故在遞減，在，遞增，故，故，，，，故的最大值是4．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）函數(shù)與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請(qǐng)求出最大整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，．【解析】解：設(shè)與的圖象相切，切點(diǎn)為，，則，解得，．函數(shù)與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，．假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，則不等式在，上恒成立．即在，上恒成立．令，則，，在，上單調(diào)遞增，且，（1），存在，，使得，即，，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，的最小值，，在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增．，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，且最大整數(shù)的值為1．6．已知函數(shù)，，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且在點(diǎn)，（e）處的切線方程為（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）求證：【解析】（Ⅰ）解：，（e），且（e），又在點(diǎn)，（e）處的切線方程為，切點(diǎn)為，，解得：；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，，且的定義域?yàn)?，令，則，令，可知在上為減函數(shù)，且，（1），，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，則為增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，，，則為減函數(shù)．，又，，即，，即，．7．已知函數(shù)，，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且在點(diǎn)，（e）處的切線方程為（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求證：【解析】（1）解：，（e），且（e），又在點(diǎn)，（e）處的切線方程為，切點(diǎn)為，，解得：；（2）證明：由（1）可知，，且的定義域?yàn)椋睿瑒t，令，可知在上為減函數(shù)，且，（1），，，使得，即，即，當(dāng)時(shí)，，，則為增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，，，則為減函數(shù)．，，即，．8．已知函數(shù)，．（1）函數(shù)的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）函數(shù)與無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程在無(wú)解（2分）令，則，令，得0增極大值減因?yàn)槭俏ㄒ坏臉O大值點(diǎn)，故（4分）故要使方程在無(wú)解，當(dāng)且僅當(dāng)故實(shí)數(shù)的取值范圍為（5分）（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，則不等式對(duì)恒成立．即對(duì)恒成立．（6分）令，則，令，則，（7分）在上單調(diào)遞增，，（1），且的圖象在上連