第14頁（共14頁）2022年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的，請把你認(rèn)為符合題目要求的選項(xiàng)填涂在答題卡上相應(yīng)題號下的方框里）1．（3分）2022的倒數(shù)是（C）A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣2．（3分）下列式子正確的是（A）A．a(chǎn)3?a2＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a(chǎn)3+a2＝a53．（3分）一個小組10名同學(xué)的出生月份（單位：月）如下表所示：編號12345678910月份26861047887這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（B）A．10 B．8 C．7 D．64．（3分）下列與2022年冬奧會相關(guān)的圖案中，是中心對稱圖形的是（）A．B． C． D．5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)清潔電能突破5000億千瓦時，相當(dāng)于替代標(biāo)準(zhǔn)煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億噸．5000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（B）A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×10126．（3分）一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知∠1＝80°，則∠2＝（C）A．20° B．80° C．100° D．120°7．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（C）A． B． C． D．8．（3分）將直線y＝2x+1向上平移2個單位，相當(dāng)于（B）A．向左平移2個單位 B．向左平移1個單位 C．向右平移2個單位 D．向右平移1個單位9．（3分）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”．當(dāng)時有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了（B）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天10．（3分）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（A）A． B． C． D．【解答】解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，作BE⊥AC于點(diǎn)E，AD和BE交于點(diǎn)O，如圖所示，設(shè)AB＝2a，則BD＝a，∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝a，∴OD＝AD＝a，∴圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是：＝，故選：A．11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），過點(diǎn)P、Q的直線與兩坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，連接OP、OQ，則下列結(jié)論中成立的有（D）①點(diǎn)P、Q在反比例函數(shù)y＝的圖象上；②△AOB為等腰直角三角形；③0°＜∠POQ＜90°；④∠POQ的值隨m的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【解答】解：∵點(diǎn)P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），則m?1＝1?m＝m，∴點(diǎn)P、Q在反比例函數(shù)y＝的圖象上，故①正確；設(shè)直線PQ為y＝kx+b，則，解得，∴直線PQ為y＝﹣x+m+1，當(dāng)y＝0時，x＝m+1；當(dāng)x＝0時，y＝m+1，∴A（m+1，0），B（0，m+1），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，故②正確；∵點(diǎn)P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），∴P、Q都在第一象限，∴0°＜∠POQ＜90°，故③正確；∵直線OP為y＝x，直線OQ為y＝mx，∴當(dāng)0＜m＜1時，∠POQ的值隨m的增大而減小，當(dāng)m＞1時，∠POQ的值隨m的增大而增大，故④錯誤；故選：D．12．（3分）若10x＝N，則稱x是以10為底N的對數(shù)．記作：x＝lgN．例如：102＝100，則2＝lg100；100＝1，則0＝lg1．對數(shù)運(yùn)算滿足：當(dāng)M＞0，N＞0時，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，則（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值為（C）A．5 B．2 C．1 D．0【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是x＞1．14．（3分）已知實(shí)數(shù)x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的兩根，則x1x2＝﹣1．15．（3分）黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1～15號臺球共15個，攪拌均勻后，從袋中隨機(jī)摸出1個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是．16．（3分）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈0.618DE．（精確到0.001）17．（3分）菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為．【解答】解：連接AQ，作AH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴當(dāng)點(diǎn)A、Q、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值為，故答案為：．18．（3分）如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點(diǎn)D為邊BC上的動點(diǎn)（與B、C不重合），將AD繞點(diǎn)A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時點(diǎn)D落在D′處，連接BD′．給出下列結(jié)論：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③當(dāng)BD＝CD時，△ADD′的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有①②③（填結(jié)論對應(yīng)的應(yīng)號）．【解答】解：由題意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正確；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正確；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵當(dāng)AD⊥BC時，AD最小，△ADD′的面積取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴當(dāng)BD＝CD時，△ADD′的面積取得最小值，故③正確；故答案為：①②③．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）計算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．解：原式＝1+2+﹣1﹣2×＝1+2+﹣1﹣＝2．20．（6分）先化簡，再求值：（x+2+）÷，其中x是滿足條件x≤2的合適的非負(fù)整數(shù)．解：原式＝（+）÷＝?＝，∵x≠0且x﹣2≠0，∴x≠0且x≠2，∴x＝1，則原式＝＝﹣1．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）按國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項(xiàng)管理”督導(dǎo)的通知》要求，各中小學(xué)校積極行動，取得了良好的成績．某中學(xué)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生對他們一周的課外閱讀時間（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下）進(jìn)行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的學(xué)生共200名；（2）a＝30，b＝50；（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖．解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生共：10÷5%＝200（名），故答案為：200；（2）a＝×100＝30，b＝×100＝50，故答案為：30，50；（3）C類人數(shù)為200×15%＝30，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖：22．（8分）“體育承載著國家強(qiáng)盛、民族振興的夢想”．墩墩使用握力器（如實(shí)物圖所示）鍛煉手部肌肉．如圖，握力器彈簧的一端固定在點(diǎn)P處，在無外力作用下，彈簧的長度為3cm，即PQ＝3cm．開始訓(xùn)練時，將彈簧的端點(diǎn)Q調(diào)在點(diǎn)B處，此時彈簧長PB＝4cm，彈力大小是100N，經(jīng)過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強(qiáng)度，于是將彈簧端點(diǎn)Q調(diào)到點(diǎn)C處，使彈力大小變?yōu)?00N，已知∠PBC＝120°，求BC的長．注：彈簧的彈力與形變成正比，即F＝k?Δx，k是勁度系數(shù)，Δx是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈簧的長度為x0，在外力作用下，彈簧的長度為x，則Δx＝x﹣x0．解：由題意可得，x0＝3cm，100＝k（4﹣3），解得k＝100，∴F＝100Δx，當(dāng)F＝300時，300＝100×（PC﹣3），解得PC＝6cm，由圖可得，∠PAB＝90°，∠PBC＝120°，∴∠APB＝30°，∵PB＝4cm，∴AB＝2cm，PA＝＝2（cm），∵PC＝6cm，∴AC＝＝2（cm），∴BC＝AC﹣AB＝（2﹣2）cm，即BC的長是（2﹣2）cm．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）“綠水青山就是金山銀山”，科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg．（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共有約50000片樹葉．問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？解：（1）設(shè)一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為xmg，一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為ymg，由題意得：，解得：，答：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為40mg，一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22mg；（2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg，答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克．24．（9分）如圖，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG（點(diǎn)C，D，F(xiàn)共線），動點(diǎn)A在以BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點(diǎn)O．設(shè)∠G＝θ．（1）求證：無論θ為何值，EF與BC相互平分；并請直接寫出使EF⊥BC成立的θ值．（2）當(dāng)θ＝90°時，試給出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，請說明理由．（1）證明：∵四邊形BCFG，四邊形BCDE都是菱形，∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，∵D，C，F(xiàn)共線，∴G，B，E共線，∴DF∥EG，DF＝GE，∴四邊形DEGF是平行四邊形，∴EF與BC互相平分．當(dāng)EF⊥FG時，∵GF＝BG＝BE，∴EG＝2GF，∴∠GEF＝30°，∴θ＝90°﹣30°＝60°；（2）解：當(dāng)tan∠ABC＝2時，EF垂直平分線段AC．理由：如圖（2）中，設(shè)AC交EF于點(diǎn)J．∵四邊形BCFG是菱形，∴∠G＝∠FCO＝90°，∵EF與BC互相平分，∴OC＝OB，∴CF＝BC，∴FC＝2OC，∴tan∠FOC＝tan∠ABC，∴∠ABC＝∠FOC，∴OJ∥AB，∵OC＝OB，∴CJ＝AJ，∵BC是直徑，∴∠BAC＝∠OJC＝90°，∴EF垂直平分線段AC．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）如圖，已知BD是Rt△ABC的角平分線，點(diǎn)O是斜邊AB上的動點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，與OA相交于點(diǎn)E．（1）判定AC與⊙O的位置關(guān)系，為什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②試用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜測sin2α與sinα、cosα的關(guān)系，并用α＝30°給予驗(yàn)證．解：（1）AC是⊙O切線，理由如下：如圖，連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切線；（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，CD＝，∴BD＝＝＝，∴sin∠DBC＝＝＝，如圖2，連接DE，OD，過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，∴∠ODC＝∠C＝∠CGO＝90°，∴四邊形ODCG是矩形，∴OG＝CD＝，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BDE＝90°，∴cos∠DBE＝cos∠CBD，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴OB＝BE＝，∴sin∠ABC＝＝＝；②∵2sin∠DBC?cos∠DBC＝2××＝，∴sin∠ABC＝2sin∠DBC?cos∠DBC；猜想：sin2α＝2sinαcosα，理由如下：當(dāng)α＝30°時，sin2α＝sin60°＝，2sinαcosα＝2××＝，∴sin2α＝2sinαcosα．26．（10分）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）請直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．（3）點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），當(dāng)y＝0時，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如圖1，連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝xP＝＝3m，S△BOP＝|yP|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴當(dāng)m＝3時，S△P