二次根式知識點及題型歸納.二次根式的概念二次根式的定義：形如苒(a>0)的式子叫二次根式，其中a叫被開方數(shù)，只有當(dāng)a是一個非負(fù)數(shù)時，/才有意義..二^根式的性質(zhì).非負(fù)性：疝(a>0)是一個非負(fù)數(shù).注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到..(x'a)2=a(a>0)注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：a=(%加2(a>0).而二同二卜(a>0)[—a(a<0)注意：(1)字母不一定是正數(shù).(2)能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術(shù)平方根代替..二次根式混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算與實數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去括號)。.墨筒二次根式和同類二次根式1、最簡二次根式：(1)最簡二次根式的定義：①被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號.2、同類二次根式(可合并根式)：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式.二次根式計算一一分母有理化1.分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2.有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項二次根式：利用.，萬?,萬=a來確定，如：.而與,：萬，，:E與,B與%B等分別互為有理化因式。②兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如a+Ab與a,Q，衛(wèi)+萬與,.a一芯，a、&+b^與a&-bx5分別互為有理化因式。3.分母有理化的方法與步驟：①先將分子、分母化成最簡二次根式；②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5.二次根式計算一二次根式的索除.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。abb=aa?bb(a>0,b>0).二次根式的乘法法則：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。aa-bb=三ab(a>0,b>0).商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。J I ,'a=華(a>0,b>0)Vbbb4.二次根式的除法法則：兩個數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術(shù)平方根。浮=((a>0,b>0)bbbb注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡二次根式.6.二次根式計算一二次根式的加減二次根式的被開方數(shù)相同時是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最簡二次根式，然后把被開方數(shù)相同的二次根式(即同類二次根式)的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。1、判斷是否同類二次根式時，一定要先化成最簡二次根式后再判斷。2、二次根式的加減分三個步驟：①化成最簡二次根式；②找出同類二次根式；③合并同類二次根式，不是同類二次根式的不能合并注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù).-土-=bc土竺=bc^ad（分母沒有最小公倍數(shù)時）acacacac7.根式比較大小1、根式變形法當(dāng)a>0,b>0時，①如果a>b，則①>能；②如果a<b，則而<、.-。2、平方法當(dāng)a>0力〉0時，①如果a2>b2，貝Ua>b；②如果a2<b2，貝Ua<b。3、分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來比較。4、分子有理化法通過分子有理化，利用分母的大小來比較。5、倒數(shù)法當(dāng)a>0,b>0時，①如果a>b，則1<1；②如果a<b，則1>1。ab ab6、媒介傳遞法適當(dāng)選擇介于兩個數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。7、作差比較法在對兩數(shù)比較大小時，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：①a-b>0oa>b:②a-b<0oa<b8、求商比較法它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0,b>0時，則：①a>1oa>b；②a<1oa<bb b一.利用二次根式的雙重非負(fù)性來解題（ja>0（a三0）,即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負(fù)數(shù)。）.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。A、v—3；B、tx；C、、：x2+1； D、％：x-1.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 -2-+4（1）4^+2-^-2x（2）-1} （3）,5±x （6）?Al-2.V2x±1Vx±4（7）若、x（x-1）=vU，則x的取值范圍是 （8）若;亙=vx±3，則x的取值范圍是 ''x+1Yx+1.若超m-1有意義，則m能取的最小整數(shù)值是 ；若J2而是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.當(dāng)x為何整數(shù)時，、10x-1+1有最小整數(shù)值，這個最小整數(shù)值為 。.若[2004—a+a—-2005=a，貝Ua—20042=；若y=x--3+3—-x+4，貝Ux+y=；;m2-9+\9-m2+2.設(shè)m、n滿足n= ，則、mn=om-3.若三角形的三邊a、b、c滿足a2-4a+4+^-=0,則第三邊c的取值范圍是

10.若14%—81+七%—y—m=0，且y>0時，則( )A、0<m<1B、m>2C、m<10.若14%—81+七%—y—m=0，且y>0時，則( )A、0<m<1B、m>2C、m<2D、m<2.利用二次根式的性質(zhì)、.必=|加a：>0））（即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值）來解題—a（a<0）.已知?\.：x3+3%2=—xv%+3，則（ ）A.xW0 B.xW—32..已知a<b,化簡二次根式\：一a30的正確結(jié)果是（ ）A.-a、「ab3.若化簡|1-x|-%:%2—8%+16的結(jié)果為2乂-5則（）A、x為任意實數(shù)C.xN—3 D.—3WxW0B.一a、：ab C.a-JabD.a工一abB、1WxW4C、xN1D、xW44.已知a,b,。為三角形的三邊，則；,：（a+b-c"+，、（b一c一a）2+式b+c一a）2=5.當(dāng)-3<x<5時，化簡弋%2+6%+9+);%2—10%+25三化簡I%—yI—<%2(%<y<0)的結(jié)果是()A.y-2%B.yC.2%一yD.一y已知：a+門―2a+a2=1,貝|a的取值范圍是（）。A、a>1； C、a>0或1；D、a<18、化簡，9、，的結(jié)果為（）（%一2）'，一%-2A、B、-<%一2；C、一v%一2D、一、，■12一%三.二次根式的化簡與計算（主要依據(jù)是二次根式的性質(zhì)：（a））2=a（a三0）,即a2>|a|以及混合運(yùn)算法則）（一）化簡與求值1.把下列各式化成最簡二次根式：（1）3 （2）'412-402,■.-38(3) 25m5(4)v%4+%2y22.下列哪些是同類二次根式：（1）<75,工,石，3，，」27 50/八-'，ab.:a2)5■.-a3b3c,ta3b2c3，.，—，a,■—'c4 '.：bc.計算下列各題:■— L T 9a3 .'4a 6b c(1)6i-27?(-3';3)(2)v12ab- ；(3).  ?.—4 55b\'3c\5a(4)至絲(5)—、'12.，巨(6)22v24 3\154Vc5.計算(1)2<31:11:~12+ 50.已知V+2e+N>10，則小于（）A.4 B.+2C.2D.+46.1+、?5+<2+V3+<3+v4+…+v99+4而（二）先化簡，后求值:L直接代入法：已知L直接代入法：已知-二*7+0y=1(v7—<5),乙求(1)—2+y2 (2)—+—xy2.變形代入法:j,, 2（1j,, 2（1）變條件：①已知：—=―<3—1求X2—x+1的值。②.已知:—二、:3-.3+■^2y='3+"2，求3—2—5—y+3y2的值'v3—22（2）變結(jié)論： _ _①設(shè)、.3=a,\''3Q=b，則、;'麗③.已知—（2）變結(jié)論： _ _①設(shè)、.3=a,\''3Q=b，則、;'麗③.已知—=,%：2-1,y=V2+1,求二—+呼+3_y-.—+—yy+3、-—cyc '— yy ——y：y—y=3,(1)求」一+J2的值(2)求r—二的值\，yV— v—+%：y五.關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題.估算飛另一2的值在哪兩個數(shù)之間（ ）A.1?2 B.2?3 C.3?4 D.4?5.若<3的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則忑a—b=.已知9+。13與9—■<13的小數(shù)部分分別是a和b，求ab一3a+4b+8的值.若a,b為有理數(shù)，且v8+x18+1=a+b丫2，則ba=、8六.二次根式的比較大小（1）|<200和2<3(2)—5,J6和一6%5(3)%'萬—■v15和%.必—■<13(4)設(shè)a=<3—v2,b=2—J,c二百—2,貝U()A.a>