專題13圓錐曲線壓軸解答題?？继茁窔w類【命題規(guī)律】解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計(jì)算量大．令同學(xué)們畏懼．通過對(duì)近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點(diǎn)：（1）解析幾何通性通法研究；（2）圓錐曲線中最值、定點(diǎn)、定值問題；（3）解析幾何中的常見模型；解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個(gè)字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”．所有的解析幾何試題都是圍繞這八個(gè)字的內(nèi)容與三大核心考點(diǎn)展開．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：軌跡方程核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯核心考點(diǎn)三：弦長、面積背景的條件翻譯核心考點(diǎn)四：斜率之和差商積問題核心考點(diǎn)五：弦長、面積范圍與最值問題核心考點(diǎn)六：定值問題核心考點(diǎn)七：定點(diǎn)問題核心考點(diǎn)八：三點(diǎn)共線問題核心考點(diǎn)九：中點(diǎn)弦與對(duì)稱問題核心考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問題核心考點(diǎn)十一：切線問題核心考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法核心考點(diǎn)十三：齊次化核心考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問題【真題回歸】1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．（1）求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；（2）求的最小值．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若，求的面積．【方法技巧與總結(jié)】1、直接推理計(jì)算，定值問題一般是先引入?yún)?shù)，最后通過計(jì)算消去參數(shù)，從而得到定值．2、先猜后證，從特殊入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明定點(diǎn)或定值與參數(shù)無關(guān)．3、建立目標(biāo)函數(shù)，使用函數(shù)的最值或取值范圍求參數(shù)范圍．4、建立目標(biāo)函數(shù)，使用基本不等式求最值．5、根據(jù)題設(shè)不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)取值范圍．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：軌跡方程【規(guī)律方法】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程．【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的一條漸近線為，且一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求雙曲線方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線交于異支兩點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．例2．（2022春·吉林遼源·高三遼源市第五中學(xué)校校考期中）已知過定點(diǎn)的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)．（1）若直線的傾斜角為，求；（2）若線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題．（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)為圓外一點(diǎn)，過引圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，過引橢圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，若，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）．核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯【規(guī)律方法】把幾何語言轉(zhuǎn)化翻譯為向量語言，然后用向量知識(shí)來解決．【典型例題】例4．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┮阎獧E圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，且（其中A為右頂點(diǎn)）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）的離心率，點(diǎn)、之間的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與圓交于點(diǎn)第一象限，曲線為、上取滿足的部分．（1）若，求b的值；（2）當(dāng)，與x軸交點(diǎn)記作點(diǎn)、，P是曲線上一點(diǎn)，且在第一象限，且，求；（3）過點(diǎn)斜率為的直線l與曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，記為M、N，用b表示，并求的取值范圍．例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)N．設(shè)，，求證：為定值．核心考點(diǎn)三：弦長、面積背景的條件翻譯【規(guī)律方法】首先仍是將題目中的基本信息進(jìn)行代數(shù)化，坐標(biāo)化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設(shè)點(diǎn)設(shè)線、直由聯(lián)立、看判別式、韋達(dá)定理．將有關(guān)弦長、面積背景的問題進(jìn)行條件翻譯時(shí)，一般是應(yīng)用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式及面積公式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長）將有關(guān)弦長、面積的條件翻譯為：（1）關(guān)于某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)要求求出最值；（2）關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程，根據(jù)要求得出參數(shù)的值或兩參數(shù)間的關(guān)系．【典型例題】例8．（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，．（1）求的方程；（2）設(shè)在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，證明：．例9．（2022春·江蘇徐州·高三期末）已知橢圓：的離心率為，直線過C的焦點(diǎn)且垂直于x軸，直線被C所截得的線段長為．（1）求C的方程；（2）若C與y軸的正半軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在C上，，，求的面積．例10．（2022春·浙江金華·高三期末）已知雙曲線上一點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)．（1）證明：直線與直線的斜率之和為定值；（2）若的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)，求的面積．核心考點(diǎn)四：斜率之和差商積問題【規(guī)律方法】在面對(duì)有關(guān)等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時(shí)，可設(shè)法將條件翻譯成關(guān)于斜率的關(guān)系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數(shù)間的關(guān)系式，再根據(jù)要求做進(jìn)一步的推導(dǎo)判斷．【典型例題】例11．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離之比恒為．（1）求曲線C的方程；（2）記曲線的左頂點(diǎn)為A，過的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，P，Q均在y軸右側(cè)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)校考期末）如圖，已知拋物線C：，過焦點(diǎn)F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．（1）若線段AB的長為5，求直線的方程；（2）在C上是否存在點(diǎn)M，使得對(duì)任意直線l，直線的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例13．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓的右頂點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，求面積的最大值．例14．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，是上一點(diǎn)．（1）求的方程．（2）設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為．證明：①為定值；②點(diǎn)在定直線上．核心考點(diǎn)五：弦長、面積范圍與最值問題【規(guī)律方法】弦長和面積的最值問題首先需要將弦長和面積表達(dá)出來，弦長可用弦長公式求出；面積的表達(dá)以直線與橢圓相交得到的為例，總結(jié)一下高考中常見的三角形面積公式．對(duì)于，有以下三種常見的表達(dá)式：①（隨時(shí)隨地使用，但是相對(duì)比較繁瑣，想想弦長公式和點(diǎn)到直線距離）②（橫截距已知的條件下使用）③（縱截距已知的條件下使用）【典型例題】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹楊二中階段練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，．（1）已知經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，求的方程；（2）證明：直線與直線交于點(diǎn)；（3）求線段長的取值范圍．例16．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系?中，已知橢圓?，橢圓??．設(shè)點(diǎn)?為橢圓?上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)?的直線?交橢圓?于?兩點(diǎn)，射線?交橢圓?于點(diǎn)?．（1）求?的值；（2）求?面積的最大值．例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓分別交于四點(diǎn)，如圖，求四邊形的面積的取值范圍．核心考點(diǎn)六：定值問題【規(guī)律方法】求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【典型例題】例18．（2022春·廣東肇慶·高三肇慶市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率是2，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）記雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別是，直線與交于點(diǎn)，試問點(diǎn)是否恒在某直線上？若是，求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由．例19．（2022春·湖南株洲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，為等腰直角三角形，且直線與圓相切．（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，），直線，相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上．例20．（2022春·北京豐臺(tái)·高三北京豐臺(tái)二中校考階段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程及其焦距；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，求的值．核心考點(diǎn)七：定點(diǎn)問題【規(guī)律方法】求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．【典型例題】例21．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)）已知拋物線（其中）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、分別為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足以為直徑的圓過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的方程；（2）直線、與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．例22．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)F到直線的距離為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與橢圓C交于E、F兩點(diǎn)（E、F兩點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合），且以EF為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．例23．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A與圓及圓中的一個(gè)外切，另一個(gè)內(nèi)切．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，證明直線經(jīng)過一個(gè)不在軌跡上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．核心考點(diǎn)八：三點(diǎn)共線問題【規(guī)律方法】證明共線的方法：（1）斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計(jì)算證明過任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上；（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線．（6）面積法：通過計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”．【典型例題】例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，．（1）求的方程．（2）若，是直線上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，判斷直線的斜率是否為定值．若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由．例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線交軸于點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且，求證：、、三點(diǎn)共線．核心考點(diǎn)九：中點(diǎn)弦與對(duì)稱問題【規(guī)律方法】對(duì)于中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法解決．【典型例題】例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：的離心率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)C在E上，且面積的最大值為．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)D在直線x＝﹣4上，過F作DF的垂線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．證明：直線OD平分線段MN．例28．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．（1）求C的方程；（2）若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，記準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過作直線交拋物線于，（）兩點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（3）若，是準(zhǔn)線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，問直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請(qǐng)說明理由．核心考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問題【規(guī)律方法】證明四點(diǎn)共圓的方法：方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可肯定這四點(diǎn)共圓．方法二：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對(duì)的圓周角相等證）．方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其中一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角時(shí)，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角）．方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線有交點(diǎn)），則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡為圓）．【典型例題】例30．（2022春·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，過動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為?，且直線與直線的斜率之積為．（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）過?分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為?，問：是否存在一點(diǎn)使得???四點(diǎn)共圓？若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例31．（2022·浙江麗水·高三統(tǒng)考競(jìng)賽）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)．過拋物線上一點(diǎn)（在下方）作切線，交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；（2）證明四點(diǎn)共圓．例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點(diǎn)共圓．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．核心考點(diǎn)十一：切線問題【規(guī)律方法】（1）若點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．（2）若點(diǎn)是圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．（3）若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．（4）若點(diǎn)是橢圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)P向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．【典型例題】例33．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方）．（1）求證：直線的斜率乘積為定值；（2）過點(diǎn)分別作橢圓的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn)，證明：．例34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，不在坐標(biāo)軸上），若直線的橫縱截距分別為，，求證：為定值例35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn)．設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．核心考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法【典型例題】例36．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，求例37．已知，過點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．例38．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的值．核心考點(diǎn)十三：齊次化【典型例題】例39．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．例40．如圖，橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．例41．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點(diǎn)．核心考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問題【典型例題】例42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)的上方），為左焦點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上．【新題速遞】1．（2023春·福建泉州·高三階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，分別以PQ，PF為直徑作圓和圓，且圓和圓交于P，R兩點(diǎn)，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程；（2）若直線：交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，直線：與軌跡E交于M，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)A，B在直線兩側(cè)，直線與交于點(diǎn)且，求面積的最大值．2．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，若為銳角，求直線斜率的取值范圍．3．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，，求直線的方程．4．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．（1）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)作斜率的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為S，直線交x軸于點(diǎn)T，點(diǎn)P在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)Q，使，記四邊形的面積為，求的最大值．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，交軸于P點(diǎn)，，，記，，（為C的右焦點(diǎn)）的面積分別為．（1）證明：為定值；（2）若，，求的取值范圍．6．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，到直線的距離為3，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，若，求的取值范圍；（3）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，為橢圓的左?右頂點(diǎn)，焦距長為，點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率之積為．（1）求橢圓的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)不重合），