第PAGE第1頁從對數(shù)感的表現(xiàn)性分析談小學(xué)生數(shù)感的有效培養(yǎng)【編者按】建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?？梢钥闯觯瑪?shù)感是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其掌握程度直接影響到學(xué)生能否以“數(shù)學(xué)的方式”觀察、思考生活中實(shí)際問題。本期話題“小學(xué)階段學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)途徑”展開。一、對數(shù)感的理解與認(rèn)識數(shù)感易于理解，但是很難界定。目前國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)感的內(nèi)涵有“識說”“感知說”“直覺說”“能力說”等不同認(rèn)識，這為數(shù)感的深入研究帶來了困難。茱莉婭 .安吉萊瑞（英）指出：對數(shù)字之間關(guān)聯(lián)的意識，以及靈活地解決數(shù)字問題的能力稱為其對數(shù)字的“感覺”或“數(shù)感”。霍雨佳、郭成、楊新榮認(rèn)為：數(shù)感是一種對數(shù)量非精確、快速的知覺過程。這種知覺過程具有以下兩個特點(diǎn)：第一，數(shù)感具有非精確性。第二，數(shù)感具有快速性。張力雄指出：數(shù)感是對數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識，以及運(yùn)用這種意識靈活地解決數(shù)字問題的能力。郭民、史寧中認(rèn)為：數(shù)感是人們對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感悟，以及運(yùn)用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進(jìn)行推理與解決問題的能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011年版》指出：數(shù)感主要指關(guān)于數(shù)數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。這里將數(shù)感定義為一種“感悟”，對廣大一線教師而言似乎缺少可觀察、 可操作的描述在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿） 》中，對數(shù)感的主要表現(xiàn)給出了詳細(xì)的表述：理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)赑AGE第2頁的算法；能估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋。 這為我們觀察研究與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感提供了可參考的依據(jù)。二、數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架的構(gòu)建數(shù)感由哪些成分構(gòu)成？數(shù)感有哪些具體的表現(xiàn)？有了關(guān)于數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架，才會使數(shù)感的培養(yǎng)有的放矢。張力雄認(rèn)為，數(shù)感的成份有以下 6個方面：對數(shù)的意義的理解；對與數(shù)之間關(guān)系的理解；對運(yùn)算意義的理解；用數(shù)表達(dá)與交流信息；選擇適當(dāng)算法解決問題；靈活使用計(jì)算策略（包括估算、心算、筆算） ，并對果的合理性作出解釋。郭民、史寧中認(rèn)為，數(shù)感的構(gòu)成要素應(yīng)該包括以下6個方面內(nèi)容：數(shù)的意義；數(shù)的表示；數(shù)的關(guān)系；數(shù)的運(yùn)算；數(shù)的估算；數(shù)的問題解決。霍雨佳、郭成、楊新榮的觀點(diǎn)：數(shù)感是由數(shù)、運(yùn)算、估計(jì)和情境所組成的一個四面體形狀的結(jié)構(gòu)模型，數(shù)感的大小由四面體體積的大小所決定。（圖1）與其他學(xué)者不同的是， 霍雨佳、郭成、楊新榮強(qiáng)調(diào)了情境的重要作用。PISA測試中最為突出的一個特點(diǎn)， 也是強(qiáng)調(diào)了試題的“情境”。 參考測試中對情境的分類及小學(xué)生的身心特點(diǎn)，結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿） 》和上述學(xué)者對數(shù)感構(gòu)成要素的分析，本文構(gòu)建了對數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架。構(gòu)建對數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架有以下兩方面價(jià)值： 1. 對數(shù)感的構(gòu)要素進(jìn)行了清晰的分解，將不好把握的“感覺”與“感悟”用可觀察、可操作、可測量的表現(xiàn)性行為描述出來，使模糊的“數(shù)感”變得清晰可見。2.便于教師反思、改進(jìn)自己的教學(xué)。針對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教師可反思2.便于教師反思、改進(jìn)自己的教學(xué)。針對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教師可反思第PAGE第3頁自己已經(jīng)做了什么，做的怎么樣，還有哪些方面沒有重視，及時跟進(jìn)，使數(shù)感的培養(yǎng)更有實(shí)效。三、人教版教材中有關(guān)數(shù)感學(xué)習(xí)內(nèi)容的梳理應(yīng)用數(shù)感的表現(xiàn)性分析的框架，筆者對人教版小學(xué)階段教材中有關(guān)數(shù)感學(xué)習(xí)的例題（不包括練習(xí)題）進(jìn)行了梳理，各方面內(nèi)容數(shù)量整理如表 1從上表可以看出，人教版教材在數(shù)感培養(yǎng)方面有以下一些特點(diǎn)：在教材整體編排上重視數(shù)感的培養(yǎng)。在小學(xué)階段，共計(jì) 148道例（不包括練習(xí)題）的編排都體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)， 而且無論是從“成要素與表現(xiàn)”的維度看，還是從“情境”的維度看，都有所涉及，覆蓋比較全面。在“數(shù)與關(guān)系”方面編排內(nèi)容較多，在“運(yùn)算”和“估計(jì)”方面編排的內(nèi)容較少。教材在“數(shù)與關(guān)系”方面編排的例題共 99道，在“運(yùn)算”方面編排 24道，在“估計(jì)”方面編排 25道，題目數(shù)量差異較大。際上，數(shù)感的培養(yǎng)不僅僅體現(xiàn)在有關(guān)“數(shù)”的學(xué)習(xí)中，更多的體現(xiàn)在數(shù)的應(yīng)用中，也就是選擇合適的算法和估計(jì)方面的內(nèi)容應(yīng)有所增加。學(xué)習(xí)的情境較為單一。教材中所編例題的學(xué)習(xí)情境大多為“個人生活情境”和“社會生活情境”，數(shù)量分別為 58道和65道，且“社會生活情境”中所涉及的內(nèi)也都是學(xué)校生活、游樂場及購物情境，而“科學(xué)情境”和“職業(yè)情境”均為11道，題目數(shù)量明顯不足，應(yīng)引起教育者對這兩方面情境的重視。另外，由于目前所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)情境力求真實(shí)，根據(jù)兒童的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和心理特征，童話情境可以適當(dāng)編排但不宜過多。征，童話情境可以適當(dāng)編排但不宜過多。第PAGE第4頁四、培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略開發(fā)與積累豐富的學(xué)習(xí)情境，為數(shù)感的培養(yǎng)提供多樣化的教學(xué)資源。研究表明，數(shù)感的形成和發(fā)展與學(xué)習(xí)情境有著密切的聯(lián)系，學(xué)習(xí)情境越豐富多樣，學(xué)生的數(shù)感發(fā)展越好。因此，教師應(yīng)在尊重教材的基礎(chǔ)上，不斷開發(fā)與積累更為豐富的學(xué)習(xí)資源，特別是有關(guān)“科學(xué)情境”和“職業(yè)情境”方面的素材，讓學(xué)生在豐富的現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)一步體會數(shù)的意義，感悟數(shù)與數(shù)量的關(guān)系，并在用數(shù)解決問題的過程中，不斷提升數(shù)感發(fā)展的水平，同時也使學(xué)生其他方面的素養(yǎng) （如科學(xué)精神、實(shí)踐創(chuàng)新等）得以培養(yǎng)。加強(qiáng)數(shù)的意義的學(xué)習(xí)，為數(shù)感的發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生對數(shù)的意?x的理解是數(shù)感發(fā)展的基礎(chǔ)。 數(shù)的意義的學(xué)習(xí)包括數(shù)數(shù)學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)意義兩方面內(nèi)容。數(shù)學(xué)意義主要指的是“數(shù)”是由計(jì)數(shù)單數(shù)量的意義；自然數(shù)表示順序的序數(shù)意義；分?jǐn)?shù)還具有表示“關(guān)系”的實(shí)物、不同的學(xué)具（數(shù)線圖等、數(shù)學(xué)符號等多種方式表示數(shù)。學(xué)生對數(shù)的表征模式越多，并形如：第PAGE第5頁特點(diǎn)靈活選擇某種形式解決問題。因此，重視數(shù)的意義的教學(xué)，鼓勵學(xué)生用多種方法表示數(shù)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的首要條件。增強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的意識，讓數(shù)感的培養(yǎng)滲透在各方面。教材中有關(guān)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的例題共 148道但實(shí)際教學(xué)時遠(yuǎn)不止這些關(guān)鍵還要看教師如何使用教材。教師如果具備了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的意識，面對同樣的內(nèi)容，采用不同的處理方式，效果會截然不同。例如：在有關(guān)統(tǒng)體會數(shù)量的實(shí)際意義；在問題解決中，讓學(xué)生對結(jié)果進(jìn)行估計(jì)，也可以對結(jié)果的合理性作出解釋??這些都是對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。無心的教師會認(rèn)為數(shù)感看不見、摸不著，有心的教師會發(fā)現(xiàn)數(shù)感無處不在，因此增強(qiáng)自身培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的意識至關(guān)重要。轉(zhuǎn)變教學(xué)評價(jià)方式，確保數(shù)感培養(yǎng)的有效落實(shí)。數(shù)感是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對它的評價(jià)也不能用“對”與“錯”或者“好”與“不好”來區(qū)別，如何判斷學(xué)生數(shù)感的發(fā)展水平？這就需要教師能設(shè)計(jì)展現(xiàn)學(xué)生數(shù)感的“表現(xiàn)性任務(wù)”，包括解釋性任務(wù)、設(shè)計(jì)性任務(wù)和問題解決性任務(wù)，將學(xué)生“內(nèi)隱”的思維“外顯”出來，再依據(jù)學(xué)生的第PAGE第2頁師教學(xué)內(nèi)容與方式的變化，又使學(xué)生在數(shù)感某一方面的發(fā)展水平清晰可見，確保數(shù)感培養(yǎng)的有效落實(shí)。希望以上資料對你有所幫助，附勵志名言 3條：1、生氣，就是拿別人的過錯來懲罰自己。原諒別人，就是善待自己。2、未必錢多樂便多，財(cái)多累己招煩惱。清貧樂道真自在，無牽無掛樂逍遙。3、處事不必求功，無過便是功。為人不必感德，無怨便是德。從對數(shù)感的表現(xiàn)性分析談小學(xué)生數(shù)感的有效培養(yǎng)【編者按】建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。可以看出，數(shù)感是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其掌握程度直接影響到學(xué)生能否以“數(shù)學(xué)的方式”觀察、思考生活中實(shí)際問題。本期話題“小學(xué)階段學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)途徑”展開。一、對數(shù)感的理解與認(rèn)識數(shù)感易于理解，但是很難界定。目前國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)感的內(nèi)涵有“識說”“感知說”“直覺說”“能力說”等不同認(rèn)識，這為數(shù)感的深入研究帶來了困難。茱莉婭 .安吉萊瑞（英）指出：對數(shù)字之間關(guān)聯(lián)的意識，以及靈活地解決數(shù)字問題的能力稱為其對數(shù)字的“感覺”或“數(shù)感”?；粲昙?、郭成、楊新榮認(rèn)為：數(shù)感是一種對數(shù)量非精確、快速的知覺過程。這種知覺過程具有以下兩個特點(diǎn)：第一，數(shù)感具有非精確性。第二，數(shù)感具有快速性。張力雄指出：數(shù)感是對數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識，以及運(yùn)用這種意識靈活地解決數(shù)字問題的能力。郭民、史寧中認(rèn)為：數(shù)感是人們對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感悟，以及運(yùn)用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進(jìn)行推理與解決問題的能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011年版》指出：數(shù)感主要指關(guān)于數(shù)數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。這里將數(shù)感定義為一種“感悟”，對廣大一線教師而言似乎缺少可觀察、 可操作的描述在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿） 》中，對數(shù)感的主要表現(xiàn)給出了詳細(xì)的表述：理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)赑AGE第3頁的算法；能估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋。 這為我們觀察研究與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感提供了可參考的依據(jù)。二、數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架的構(gòu)建數(shù)感由哪些成分構(gòu)成？數(shù)感有哪些具體的表現(xiàn)？有了關(guān)于數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架，才會使數(shù)感的培養(yǎng)有的放矢。張力雄認(rèn)為，數(shù)感的成份有以下 6個方面：對數(shù)的意義的理解；對與數(shù)之間關(guān)系的理解；對運(yùn)算意義的理解；用數(shù)表達(dá)與交流信息；選擇適當(dāng)算法解決問題；靈活使用計(jì)算策略（包括估算、心算、筆算） ，并對果的合理性作出解釋。郭民、史寧中認(rèn)為，數(shù)感的構(gòu)成要素應(yīng)該包括以下6個方面內(nèi)容：數(shù)的意義；數(shù)的表示；數(shù)的關(guān)系；數(shù)的運(yùn)算；數(shù)的估算；數(shù)的問題解決?；粲昙?、郭成、楊新榮的觀點(diǎn)：數(shù)感是由數(shù)、運(yùn)算、估計(jì)和情境所組成的一個四面體形狀的結(jié)構(gòu)模型，數(shù)感的大小由四面體體積的大小所決定。（圖1）與其他學(xué)者不同的是， 霍雨佳、郭成、楊新榮強(qiáng)調(diào)了情境的重要作用。PISA測試中最為突出的一個特點(diǎn)， 也是強(qiáng)調(diào)了試題的“情境”。 參考測試中對情境的分類及小學(xué)生的身心特點(diǎn)，結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿） 》和上述學(xué)者對數(shù)感構(gòu)成要素的分析，本文構(gòu)建了對數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架。構(gòu)建對數(shù)感的表現(xiàn)性分析框架有以下兩方面價(jià)值： 1. 對數(shù)感的構(gòu)要素進(jìn)行了清晰的分解，將不好把握的“感覺”與“感悟”用可觀察、可操作、可測量的表現(xiàn)性行為描述出來，使模糊的“數(shù)感”變得清晰可見。2.便于教師反思、改進(jìn)自己的教學(xué)。針對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教師可反思2.便于教師反思、改進(jìn)自己的教學(xué)。針對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教師可反思第PAGE第3頁自己已經(jīng)做了什么，做的怎么樣，還有哪些方面沒有重視，及時跟進(jìn)，使數(shù)感的培養(yǎng)更有實(shí)效。三、人教版教材中有關(guān)數(shù)感學(xué)習(xí)內(nèi)容的梳理應(yīng)用數(shù)感的表現(xiàn)性分析的框架，筆者對人教版小學(xué)階段教材中有關(guān)數(shù)感學(xué)習(xí)的例題（不包括練習(xí)題）進(jìn)行了梳理，各方面內(nèi)容數(shù)量整理如表 1從上表可以看出，人教版教材在數(shù)感培養(yǎng)方面有以下一些特點(diǎn)：在教材整體編排上重視數(shù)感的培養(yǎng)。在小學(xué)階段，共計(jì) 148道例（不包括練習(xí)題）的編排都體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)， 而且無論是從“成要素與表現(xiàn)”的維度看，還是從“情境”的維度看，都有所涉及，覆蓋比較全面。在“數(shù)與關(guān)系”方面編排內(nèi)容較多，在“運(yùn)算”和“估計(jì)”方面編排的內(nèi)容較少。教材在“數(shù)與關(guān)系”方面編排的例題共 99道，在“運(yùn)算”方面編排 24道，在“估計(jì)”方面編排 25道，題目數(shù)量差異較大。際上，數(shù)感的培養(yǎng)不僅僅體現(xiàn)在有關(guān)“數(shù)”的學(xué)習(xí)中，更多的體現(xiàn)在數(shù)的應(yīng)用中，也就是選擇合適的算法和估計(jì)方面的內(nèi)容應(yīng)有所增加。學(xué)習(xí)的情境較為單一。教材中所編例題的學(xué)習(xí)情境大多為“個人生活情境”和“社會生活情境”，數(shù)量分別為 58道和65道，且“社會生活情境”中所涉及的內(nèi)也都是學(xué)校生活、游樂場及購物情境，而“科學(xué)情境”和“職業(yè)情境”均為11道，題目數(shù)量明顯不足，應(yīng)引起教育者對這兩方面情境的重視。另外，由于目前所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)情境力求真實(shí)，根據(jù)兒童的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和心理特征，童話情境可以適當(dāng)編排但不宜過多。征，童話情境可以適當(dāng)編排但不宜過多。第PAGE第4頁四、培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略開發(fā)與積累豐富的學(xué)習(xí)情境，為數(shù)感的培養(yǎng)提供多樣化的教學(xué)資源。研究表明，數(shù)感的形成和發(fā)展與學(xué)習(xí)情境有著密切的聯(lián)系，學(xué)習(xí)情境越豐富多樣，學(xué)生的數(shù)感發(fā)展越好。因此，教師應(yīng)在尊重教材的基礎(chǔ)上，不斷開發(fā)與積累更為豐富的學(xué)習(xí)資源，特別是有關(guān)“科學(xué)情境”和“職業(yè)情境”方面的素材，讓學(xué)生在豐富的現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)一步體會數(shù)的意義，感悟數(shù)與數(shù)量的關(guān)系，并在用數(shù)解決問題的過程中，不斷提升數(shù)感發(fā)展的水平，同時也使學(xué)生其他方面的素養(yǎng) （如科學(xué)精神、實(shí)踐創(chuàng)新等）得以培養(yǎng)。加強(qiáng)數(shù)的意義的學(xué)習(xí)，為數(shù)感的發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生對數(shù)的意?x的理解是數(shù)感發(fā)展的基礎(chǔ)。 數(shù)的意義的學(xué)習(xí)包括數(shù)數(shù)學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)意義兩方面內(nèi)容。數(shù)學(xué)意義主要指的是“數(shù)”是由計(jì)數(shù)單數(shù)量的意義；自然數(shù)表示順序的序數(shù)意義；分?jǐn)?shù)還具有表示“關(guān)系”的實(shí)物、不