/4數(shù)值計算方法期末復習天津理工大學數(shù)值計算方法期末復習概念題：1．算法的優(yōu)劣性計算量的大小是衡量算法優(yōu)劣的一個重要標準盡量節(jié)約存儲量，也是設計算法時需要考慮的一個因素2．截斷誤差(方法誤差)無窮過程用有限過程近似引起的誤差舍入誤差(計算誤差)無論用計算機、計算器計算還是筆算，都只能用有限位小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，產(chǎn)生舍入誤差3．有效數(shù)字(注意事項4點)p7用四舍五入取準確值的前n位x*作為近似值，則x*必有n個有效數(shù)字例如，門=3.1415926…，取3.14作為近似值，則有3位有效數(shù)字，取3.142作為近似值，則有4位有效數(shù)字有效數(shù)字位數(shù)相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定相同例如，設x1*=12345,x2*=12.345,二者均有5位有效數(shù)字，前者的絕對誤差為1/2，后者的絕對誤差為1/2X103把任何數(shù)乘以10p等于移動該數(shù)的小數(shù)點，這樣并不影響其有效數(shù)字的位數(shù)4.相對誤差的定義p5?定義x的近似值x*的相對誤差相對誤差限可由絕對誤差限求出，反之，絕對誤差限也可由相對誤差限求出減少相對誤差的若干規(guī)則p14(4點)a)兩個相近的數(shù)相減，會嚴重損失有效數(shù)字b)防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)c)在除法運算中要避免出現(xiàn)除數(shù)的絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的情形(絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù))d)簡化計算步驟，減少運算次數(shù)選用e)數(shù)值穩(wěn)定性好的計算公式逐步掃描法p22二分法(二分估計式)p24就是將方程根所在的區(qū)間平分為兩個小區(qū)間，再判斷根屬于哪個小區(qū)間；把有根的小區(qū)間再平分為二，再判斷根所在的更小的區(qū)間，對分；重復這一過程，最后求出所要的近似值?1.計算f(x)在有解區(qū)間［a,b］端點處的函數(shù)值，f(a),f(b)?2.計算f(x)在區(qū)間中點處的值f(x0)?判斷若f(x0)=0,貝U即是根，否則檢驗：(1)若f(x0)與f(a)異號，則知解位于區(qū)間［a,x0］，以x0代替b；(2)若f(x0)與f(a)同號，則知解位于區(qū)間［x0,b］,x0代替a反復執(zhí)行步驟2、3，誤差估計式解方程的集中方法(課件)高斯消元法的弊端如果用作除數(shù)為主元素，消元過程中可能出現(xiàn)為零的情況，此時消元過程無法進行下去如果主元素很小，由于舍入誤差和有效位數(shù)消失等因素，其本身常常有較大的相對誤差，用其作除數(shù)，會導致其它元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散，使得所求的解誤差過大，以致失真代數(shù)插值的推論：當f(x)是次數(shù)不超過n的多項式時，其n次插值多項式就是f(x)本身11.牛頓科特斯公式的系數(shù)的性質(zhì)p197(3點)?柯特斯系數(shù)Ck之和為1?柯特斯系數(shù)Ck具有對稱性，即Ck=Cn-k?柯特斯系數(shù)有時為負復數(shù)求積分的思想p208為減小因區(qū)間過大而造成的誤差過大，將積分區(qū)間等分成若干等份,每份成為一個子區(qū)間，然后對每個子區(qū)間用低階的求積公式（如梯形公式、辛普森公式或科特斯公式等）求積，再利用積分的區(qū)間可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，得到復化求積公式變步長求積分的思想p208?變步長積分法思想：將區(qū)間逐次對分進行計算，用前后兩次計算的結(jié)果進行估計，若合乎精度要求，就停止計算；否則再次對分，重復以上計算過程，直至達到精度要求為止歐拉公式的幾何意義p231歐拉公式的幾何意義：用一條初始點重合的折線，來近似表示微分方程的解（積分曲線）3中導出方法局部截斷誤差和階p232局部截斷誤差和階?定義：在yn準確的前提下，即yn二y（xn）時，用數(shù)值方法計算yn+1的誤差稱為該數(shù)值方法計算yn+1時的局部截斷誤差計算題：1．絕對誤差（公式）2．有效數(shù)字3．相對誤差4．二分法5．迭代法6．列主元高斯消元法7．克洛特分解法8．雅克比迭代法高斯賽德爾迭代（簡答只需要寫出公式）9．線性插值10.拋物線插值拉格朗日插值的公式牛頓科特斯公式n=ln=2的公式13.復化梯形14.復化辛普