第五講第4章立體的投影（一）本講的學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握平面立體（棱柱、棱錐）的形狀特點(diǎn)，掌握曲面立體（圓柱、圓錐、圓球）的形成原理；熟練掌握基本形體的投影特征以及形體表面上點(diǎn)和線的求解方法。學(xué)習(xí)的重點(diǎn)：基本形體的投影特征以及形體表面上點(diǎn)和線的求解方法4.1平面立體的投影圖4-1房屋形體的分析圖4-2水塔形體的分析基本形體：組成形體的最簡(jiǎn)單但又規(guī)則的幾何體，叫做基本形體?；拘误w的分類：根據(jù)表面的組成情況，基本形體可分為平面立體和曲面立體兩種。平面立體：表面由若干平面圍成的基本體，叫做平面立體。平面立體類型：有棱柱、棱錐、棱臺(tái)等。平面體的投影：作平面立體的投影，就是作出組成平面立體的各平面的投影。棱柱.1棱柱的投影如圖4-3所示，有兩個(gè)三角形平面互相平行，其余各平面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些平面所圍成的基本體稱為棱柱。圖4-3三棱柱體當(dāng)?shù)酌鏋槿切?、四邊形、五邊形……時(shí)，所組成的棱柱分別為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。（a）立體圖（b）投影圖圖4-4三棱柱的三面投影分析其三面投影圖：W投影：投影為三角形。H投影：投影為兩個(gè)矩形。V投影：投影為一個(gè)矩形。.2棱柱表面定點(diǎn)和定線【例4-1】如圖4-5所示，已知三棱柱上直線AB、BC的V投影，求另外兩個(gè)投影。（a）已知條件（b）作圖圖4-5三棱柱表面上的點(diǎn)和線【例4-2】如圖4-5所示，已知四棱柱表面上點(diǎn)K的V投影和點(diǎn)M的V投影，求它們的另外兩投影。（a）立體圖（b）已知條件（c）作圖圖4-6四棱柱表面上的點(diǎn)棱錐定義：由一個(gè)多邊形平面與多個(gè)有公共頂點(diǎn)的三角形平面所圍成的幾何體稱為棱錐。如圖4-6所示為三棱錐。圖4-7-1三棱錐根據(jù)不同形狀的底面，棱錐有三棱錐、四棱錐和五棱錐等。當(dāng)棱錐底面為正n邊形時(shí)，稱為正n棱錐。.1棱錐的投影1.棱錐如圖4-7所示為一正三棱錐,三棱錐底面ABC是水平面，后棱面SAC是側(cè)垂面，其它兩個(gè)側(cè)面都是一般面；棱線SB為側(cè)平線，其它兩條棱線為一般線。（a）立體圖（b）投影圖圖4-7三棱錐的三面投影分析其三面投影圖。H投影：為三個(gè)大小相等三角形。V投影：為兩個(gè)三角形。W投影：為一個(gè)三角形。正棱錐體投影特征為：當(dāng)?shù)酌嫫叫杏谀骋煌队懊鏁r(shí)，在該面上投影為實(shí)形正多邊形及其內(nèi)部的n個(gè)共頂點(diǎn)等腰三角形，另兩個(gè)投影為一個(gè)或多個(gè)三角形。2.棱臺(tái)圖4-8棱臺(tái)用平行于棱錐底面的平面切割棱錐，底面和截面之間的部分稱為棱臺(tái)，如圖4-8所示。由三棱錐、四棱錐、五棱錐……切得的棱臺(tái)，分別稱為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……。如圖4-9所示，是上下底面為矩形的正四棱臺(tái)立體圖和投影圖，正四棱臺(tái)上下底面為水平面，左右側(cè)面為正垂面，前后側(cè)面為側(cè)垂面。（a）立體圖（b）投影圖圖4-9正四棱臺(tái)的三面投影分析其三面投影圖。H投影：為大小兩個(gè)矩形。V投影、W投影：都為等腰梯形。平面體的投影特點(diǎn)是：1.平面體的投影，實(shí)質(zhì)上就是點(diǎn)、直線和平面投影的集合。2.投影圖中的線條，可能是直線的投影，也可能是平面的積聚投影。投影圖中線段的交點(diǎn)，可能是點(diǎn)的投影，也可能是直線的積聚投影。投影圖中任何一封閉的線框都表示立體上某平面的投影。當(dāng)向某投影面作投影時(shí)，凡看得見的直線用實(shí)線表示，看不見的直線用虛線表示。在一般情況下，當(dāng)平面的所有邊線都看得見時(shí)，該平面才看得見。.2棱錐表面定點(diǎn)和定線【例4-3】如圖4-10-1所示，已知三棱錐表面上點(diǎn)K的V投影k′和點(diǎn)M的H投影m′，求它們的另外兩投影。（a）立體圖（b）已知條件（c）作圖圖4-10-1三棱錐表面上的點(diǎn)作圖利用過錐頂?shù)妮o助線求K、M兩點(diǎn)的各投影。（1）過k′作s′1′；（2）求出H投影1，連接s1以及s″1″；（3）過k′分別向下、向右引投影連接線與s1及s″1″相交，即得k和k″。同理，可求得m′和m″。其中點(diǎn)K的V投影不可見?！纠?-4】如圖4-10-2所示已知三棱錐表面上線KL、LM的H投影，求它們的另外兩投影。（a）已知條件（b）作圖圖4-10-2四棱錐表面上的線作圖（1）過k向上引投影連接線，求出a′b′上的k′，再求出k″；（2）過l通過45o作圖線求得l″，再過l″向左引投影連接線求出l′；（3）連接sm為輔助線，與bc交于點(diǎn)1；求出s′1′；（4）過m向上引投影連接線，與s′1′相交得m′；（5）根據(jù)m和m′，求得m″；（6）連線并判斷可見性。除l″m″不可見外，其它都可見。平面體投影圖的識(shí)讀：1.棱柱的三個(gè)投影，其中一個(gè)投影為多邊形，另兩個(gè)投影分別為一個(gè)或若干個(gè)矩形，滿足這樣條件的投影圖為棱柱體的投影。2.棱錐的三個(gè)投影，一個(gè)投影外輪廓線為多邊形，另兩個(gè)投影為一個(gè)或若干個(gè)有公共頂點(diǎn)的三角形，滿足這樣條件的投影是棱錐體的投影。3.棱臺(tái)的三個(gè)投影，一個(gè)投影為兩個(gè)相似的多邊形，另兩個(gè)投影為一個(gè)或若干個(gè)梯形，滿足這樣條件的投影為棱臺(tái)的投影。平面體表面上的點(diǎn)和線：平面體表面上點(diǎn)和直線的投影實(shí)質(zhì)上就是平面上的點(diǎn)和直線的投影，不同之處是平面體表面上的點(diǎn)和直線的投影存在著可見性的判斷問題。4.2曲面立體的投影定義：基本體的表面是由曲面或由平面和曲面圍成的體叫做曲面立體。常見的曲面立體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)和圓球等。由于曲面立體的表面多是光滑曲面，不像平面立體有著明顯的棱線，因此，作曲面立體投影時(shí)，要將回轉(zhuǎn)曲面的形成規(guī)律和投影表達(dá)方式緊密聯(lián)系起來，從而掌握曲面投影的表達(dá)特點(diǎn)。園柱.1園柱投影特性及作圖方法圓柱的形成：直線AA1繞著與它平行的直線OO1旋轉(zhuǎn)，所得圓柱體如圖4-11所示。圖4-12圓柱的形成如圖4-12（a）所示為一圓柱體，該圓柱的軸線垂直于水平投影面，頂面與底面平行于水平投影面。其投影如圖4-12（b）所示。（a）立體圖（b）投影圖圖4-12圓柱的三面投影分析其三面投影圖。H投影：為一圓形。其它兩投影：為兩個(gè)大小相等的矩形。.2園柱表面定點(diǎn)和定線對(duì)于回轉(zhuǎn)曲面，就是利用回轉(zhuǎn)曲面上的素線（直母線在回轉(zhuǎn)面上的任意位置）或緯圓（母線上任何一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡皆是回轉(zhuǎn)曲面上的圓周）確定在其上的點(diǎn)的投影位置。前者稱為素線法，后者稱為緯圓法?！纠?-5】如圖4-13所示，已知圓柱面上兩點(diǎn)A和B的正面投影a′和b′，求出它們的水平投影a、b和側(cè)面投影a″、b″。（a）已知條件（b）作圖圖4-13圓柱表面上的點(diǎn)園錐.1園錐投影特性及作圖方法圓錐體的形成：直線SA繞與它相交的另一直線SO旋轉(zhuǎn)，所得軌跡是圓錐面，圓錐體如圖4-14所示。圖4-14圓錐的形成如圖4-15所示，正圓錐體的軸與水平投影面垂直，即底面平行于水平投影面，其投影如圖所示。（a）直觀圖（b）投影圖圖4-15圓錐的投影.2園錐表面定點(diǎn)和定線1.素線法圓錐體上任一素線都是通過頂點(diǎn)的直線，已知圓錐體上一點(diǎn)時(shí)，可過該點(diǎn)作素線，先作出該素線的三面投影，再利用線上點(diǎn)的投影求得。如圖4-16(b)所示。輔助圓法(緯圓法)已知圓錐體上一點(diǎn)時(shí)，可過該點(diǎn)作與軸線垂直的緯圓，先作出該緯圓的三面投影，再利用緯圓上點(diǎn)的投影求得。如圖4-16(c)所示?！纠?-6】如圖4-16所示，已知圓錐面上M點(diǎn)的正面投影m′，求作它的水平投影m和側(cè)面投影m″。（a）已知條件（b）素線法作圖（c）緯圓法作圖圖4-16圓錐表面上的點(diǎn)作圖1.素線法（1）連s′m′并延長(zhǎng)，使與底圓的正面投影相交于1′點(diǎn)，求出s1及s″1″，S1即為過M點(diǎn)且在圓錐面上的素線；（2）已知m′,應(yīng)用直線上取點(diǎn)的作圖方法求出m和m″2.緯圓法（1）在正面投影中過m′做水平線，與正面投影輪廓線相交（該直線段即為緯圓的正面投影）。取此線段一半長(zhǎng)度為半徑，在水平投影中畫底面輪廓圓的同心圓（此圓即是該緯圓的水平投影）。（2）過m′向下引投影連線，在緯圓水平投影的前半圓上求出m，并根據(jù)m′和m，求出m″。圓球.1圓球投影特性及作圖方法圓球的形成：圓周曲線繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)，所得軌跡為球面，該直徑為導(dǎo)線，該圓周為母線，母線在球面上任一位置時(shí)的軌跡稱為球面的素線，球面所圍成的立體稱為球體。如圖4-18所示。圖4-18圓球的形成球體的投影為三個(gè)直徑相等的圓。如圖4-19所示。（a）立體圖（b）投影圖圖4-19圓球的三面投影曲面體投影圖的識(shí)讀：1.圓柱體的三個(gè)投影圖分別是一個(gè)圓和兩個(gè)全等的矩形，且矩形的長(zhǎng)度等于圓的直徑。滿足這樣三個(gè)投影圖的立體是圓柱。2.圓錐體的三個(gè)投影圖分別是一個(gè)圓和兩個(gè)全等的等腰三角形，且三角形的底邊長(zhǎng)等于圓的直徑，滿足這樣要求的投影圖是圓錐體的投影圖3.球體的三個(gè)投影都是圓，如果滿足這樣的要求或者已知一個(gè)投影是圓且所注直徑前加注字母“S”則為球體的投影。曲面體表面上的點(diǎn)和線：曲面體表面上的點(diǎn)和平面體表面上的點(diǎn)相似。為了作圖方便，在求曲面體表面上的點(diǎn)時(shí)，可把點(diǎn)分為兩類：1.特殊位置的點(diǎn)，如圓柱、圓錐的最前、最后、最左、最右、底邊，球體上平行于三個(gè)投影面的最大圓周上等位置上的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)可直接利用線上點(diǎn)的方法求得。2.其他位置的點(diǎn)可利用曲