四川省綿陽市元通中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形面積最小值時(shí)值為（）．A． B． C． D．參考答案：解：如圖所示：直線即，過定點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，直線，即

，過定點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，由題意，四邊形的面積等于三角形的面積和梯形的面積之和，∴所求四邊形的面積為，∴當(dāng)時(shí)，所求四邊形的面積最小，故選：．2.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a=4，b=4，A=30°，則角B等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°參考答案：D【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由A的度數(shù)求出sinA的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)．【解答】解：∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵B為三角形的內(nèi)角，b＞a，∴B＞A，則B=60°或120°．故選D4.設(shè)甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是（）A． 20m，m B．10m，20m C． 10（﹣）m，20m D． m，m參考答案：A5.已知，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序．若輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的S∈(31，72)，則n的值為（

）A．5

B．6C．7

D．8參考答案：B7.對于相關(guān)系數(shù)r，敘述正確的是（

）A.越大，相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越小B.越大，相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越小C.越接近與1，相關(guān)程度越大，越接近與0，相關(guān)程度越小D.以上都不對參考答案：C8.已知=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，且x∈[﹣，]，則sin2x的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和的正弦公式求出sin（2x+）=，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，以及兩角差的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，∴sin（x+）?cos（x﹣）+sin（x﹣）?cos（x+）=sin（2x+）=，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴cos（2x+）=，∴sin2x=sin（2x+﹣）=sin（2x+）cos﹣cos（2x+）sin=×﹣×=，故選：B9.已知映射，下列說法正確的是（

）A、A中不同元素的象必定不同 B、A中每一元素在B中都有象C、B中每一元素在A中必有原象 C、B是A中所有元素的象集合參考答案：B10.判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為（

）A．，；B．，；C．，；D．,參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足，公差，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是________.參考答案：【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系，平方差公式、逆用兩角和差的正弦公式、等差數(shù)列的性質(zhì)，可以把已知等式，化簡為，根據(jù)，可以求出的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，得到對稱軸所在范圍，然后求出首項(xiàng)的取值范圍.【詳解】,數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以有，而，所以，因此，，對稱軸為：，由題意可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，所以，解得，因此首項(xiàng)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和差的正弦公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，以及前項(xiàng)和取得最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12.有以下四個(gè)命題：①在中，“”是“”的充要條件；②“”是“成等比數(shù)列”的必要非充分條件；③在無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列中的項(xiàng)越來越接近于某個(gè)常數(shù)，那么稱是數(shù)列的極限；④函數(shù)的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作。其中正確命題的序號為__________________。參考答案：略13.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的充要條件為_________．參考答案：【分析】根據(jù)函數(shù)的軸對稱性得到，代入列出方程組，解得參數(shù)即可.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則有，代入得到15a-4b=60,3a-b=9,解得a=8,b=15.反之當(dāng)a=8,b=15時(shí)，函數(shù)，可驗(yàn)證f(x-2)=f(-2-x)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的軸對稱性，題也考查了充分必要條件的判斷，題目中等難度.判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．14.已知角α的終邊過點(diǎn)P（4a,－3a）（a<0）,則2sinα＋cosα__________參考答案：2/5

略15.將一個(gè)長、寬分別是的鐵皮的四角切去相同的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長方體的盒子，若這個(gè)長方體的外接球的體積存在最小值，則的取值范圍是_________．參考答案：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線，故只需考慮體對角線有最小值即可，設(shè)切去的正方形邊長為，長方體的體對角線為，則，要在區(qū)間內(nèi)有最小值，則二次函數(shù)的對稱軸必要此區(qū)間內(nèi)，即且，令代入得，故．16.將一枚硬幣連續(xù)投擲3次，則恰有連續(xù)2次出現(xiàn)正面朝上的概率是．參考答案：

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】此題需要三步完成，所以采用樹狀圖法比較簡單，根據(jù)樹狀圖可以求得所有等可能的結(jié)果與出現(xiàn)恰有連續(xù)2次出現(xiàn)正面朝上的情況，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖得：∴一共有共8種等可能的結(jié)果；恰有連續(xù)2次出現(xiàn)正面朝上的有2種情況．∴恰有連續(xù)2次出現(xiàn)正面朝上的概率是．故答案為．【點(diǎn)評】此題考查了樹狀圖法概率．注意樹狀圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的結(jié)果．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17.不等式＜0的解集為．參考答案：{x|﹣2＜x＜3}【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】原不等式可化為x﹣3與x+2乘積小于0，即x﹣3與x+2異號，可化為兩個(gè)一元一次不等式組，分別求出解集，兩解集的并集即為原不等式的解集．【解答】解：原不等式可化為：（x﹣3）（x+2）＜0，即或，解得：﹣2＜x＜3，∴原不等式的解集為{x|﹣2＜x＜3}．故答案為：{x|﹣2＜x＜3}三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)為，定義為，某公司每月最多生產(chǎn)100臺報(bào)警系統(tǒng)裝置。生產(chǎn)臺的收入函數(shù)為（單位元），其成本函數(shù)為（單位元），利潤的等于收入與成本之差.①求出利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù)；②求出的利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù)是否具有相同的最大值；③你認(rèn)為本題中邊際利潤函數(shù)最大值的實(shí)際意義.參考答案：略19.已知如圖幾何體，正方形和矩形所在平面互相垂直,,為的中點(diǎn),。(Ⅰ）求證:；(Ⅱ）求二面角

的大小。參考答案：（I）連結(jié)交于,連結(jié)

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn),所以,又因?yàn)?所以;

(II)因?yàn)檎叫魏途匦嗡谄矫婊ハ啻怪?所以以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖取=1

,,,,設(shè)平面的法向量為

=(x,y,z),

設(shè)平面的法向量為

=(x,y,z),

所以二面角

的大小為。

20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求滿足f（x）=3x的x的取值；（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)存在t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）有解，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．【分析】（1）根據(jù)3x+1=3?3x，可將方程f（x）=3x轉(zhuǎn)化為一元二次方程：3?（3x）2+2?3x﹣1=0，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)范圍可得，解得x=﹣1，（2）先根據(jù)函數(shù)奇偶性確定a，b值：a=1，b=3，再利用單調(diào)性定義確定其單調(diào)性：在R上遞減．最后根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）為t2﹣2t＞2t2﹣k即t2+2t﹣k＜0在t∈R時(shí)有解，根據(jù)判別式大于零可得k的取值范圍．【解答】解：（1）由題意，當(dāng)a=b=1時(shí)，，化簡得3?（3x）2+2?3x﹣1=0解得，所以x=﹣1．（2）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（﹣x）+f（x）=0，所以化簡并變形得：（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0要使上式對任意的x成立，則3a﹣b=0且2ab﹣6=0解得：，因?yàn)閒（x）的定義域是R，所以舍去，所以a=1，b=3，所以，①對任意x1，x2∈R，x1＜x2有：因?yàn)閤1＜x2，所以，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上遞減．因?yàn)閒（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k），所以t2﹣2t＞2t2﹣k，即t2+2t﹣k＜0在t∈R時(shí)有解所以△=4+4t＞0，解得：t＞﹣1，所以k的取值范圍為（﹣1，+∞）【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．21.已知（）是R上的奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若對于任意的，都有恒成立，求k的取值范圍．參考答案：解：（1），解得，經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意．（2）由奇函數(shù)得，又由題易得，函數(shù)是上的奇函數(shù)，故有，即，即在上恒成立，令，則，即求在上的最大值，又因?yàn)闆]有最大值，所以．

22.(本小題滿分12分)

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案