第二節(jié)平面的基本性質(zhì)及兩直線位置關(guān)系【教材·知識梳理】1.四個公理公理1：如果一條直線上的_____在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個平面內(nèi).公理2：過_______________上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.公理3：如果不重合的兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們_____________過這個點(diǎn)的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線_________.兩點(diǎn)不在同一條直線有且只有一條互相平行2.空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系分類：(2)異面直線所成的角：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的_____________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)；范圍：(3)等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).銳角(或直角)【常用結(jié)論】1.公理的作用公理1：可用來證明點(diǎn)、直線在平面內(nèi).公理2：可用來確定一個平面.公理3：(1)可用來確定兩個平面的交線.(2)判斷或證明多點(diǎn)共線.(3)判斷或證明多線共點(diǎn).公理4：(1)可用來判斷空間兩條直線平行.(2)等角定理的理論依據(jù).2.異面直線的兩個結(jié)論(1)平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.(2)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.【知識點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線. (

)(2)兩個平面α,β有一個公共點(diǎn)A,就說α,β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.(

)(3)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,則l?α. (

)(4)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線. (

)(5)空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角一定相等. (

)提示:(1)×.沒有公共點(diǎn)的兩條直線也可能平行.(2)×.兩個平面α,β有一個公共點(diǎn)A,則α,β相交于過A點(diǎn)的唯一一條直線.(3)√.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,則l?α.(4)×.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線可能是相交直線,也可能是平行直線,也可能是異面直線.(5)×.如果這兩個角開口方向一致,則它們相等,若反向則互補(bǔ).【易錯點(diǎn)索引】序號易錯警示典題索引1三點(diǎn)確定平面時忽視三點(diǎn)共線情況考點(diǎn)一、T12一點(diǎn)一線確定平面時忽視點(diǎn)在線上的情況考點(diǎn)一、T13公理3理解不透致誤考點(diǎn)一、T34忽視異面直線所成角的范圍致誤考點(diǎn)二、T25異面直線概念理解錯誤考點(diǎn)三、角度1【教材·基礎(chǔ)自測】

1.(必修2P38練習(xí)AT1改編)下列說法正確的個數(shù)為(

)①梯形可以確定一個平面;②若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行;③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;④如果兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.②中兩直線可以平行、相交或異面,④中若三個點(diǎn)在同一條直線上,則兩個平面相交,①③正確.2.(必修2P38練習(xí)AT6改編)給出下列命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.③若直線l1，l2與同一平面所成的角相等，則l1，l2互相平行.④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)①②③④均不正確.3.(必修2P56習(xí)題A組T7改編)若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則 (

)A.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行B.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直C.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交D.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面【解析】選B.因?yàn)槿舸嬖谶^點(diǎn)P的直線與l，m都平行，由傳遞性，知l，m也平行，與已知l，m是異面直線矛盾，所以A錯誤，當(dāng)點(diǎn)P在某些位置時，過點(diǎn)P不存在直線與l，m都相交，所以C錯誤，過點(diǎn)P有無數(shù)多條直線與l，m都異面，所以D錯誤，因?yàn)檫^點(diǎn)P分別作l，m的平行線l′，m′，則這兩條直線確定一個平面，過點(diǎn)P作這個平面的垂線是唯一存在的，所以過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直，即B正確.4.(