山東省淄博市眾城中學2022-2023學年高一數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是奇函數,當時,當時=()A.

B.

C.

D.參考答案：D2.已知，其中，且，則向量和的夾角是（）A. B. C. D.參考答案：B試題分析：由題意知，所以，設與的夾角為，則，，故選B．考點：1、向量的概念；2、向量的數量積．3.已知是定義在上的偶函數，它在上遞減，那么一定有

（

）A．

B．C．

D．

參考答案：B4.若角a的終邊在直線y=-2x上，且sina>0，則值為(

)

A．

B．C．

D．-2參考答案：B5.若a=20.5，b=0.32.1，c=log5，d=log5，則(

)A．b＞a＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．a＞b＞d＞c D．a＞b＞c＞d參考答案：C【考點】對數值大小的比較．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據指數函數和對數函數的性質判斷取值范圍進行求解即可．【解答】解：a=20.5∈（1，2），b=0.32.1∈（0，1），c=log5=＜0，d=log5=＜0，∵，∴＜＜0，即c＜d＜0，則a＞b＞d＞c，故選：C．【點評】本題主要考查函數值的大小比較，根據指數函數和對數函數的性質判斷a，b，c，d的符號和范圍是解決本題的關鍵．6.的圖象與坐標軸的所有交點中，距離原點最近的兩個點為和，那么該函數圖象的所有對稱軸中，距離y軸最近的一條對稱軸是（）A．x=﹣1 B． C．x=1 D．參考答案：A【考點】正弦函數的圖象．【分析】求出函數的解析式，即可求出該函數圖象的所有對稱軸中，距離y軸最近的一條對稱軸．【解答】解：由題意sin（）=0，0＜ω＜π，∴ω=，∴y=sin（x+），令x+=kπ+，可得x=3k﹣1（k∈Z），∴該函數圖象的所有對稱軸中，距離y軸最近的一條對稱軸是x=﹣1，故選A．7.已知對任意不等式恒成立（其中，是自然對數的底數），則實數a的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A由得，令，則，在是增函數，在上是減函數，，.

8.函數f（x）=log3x﹣8+2x的零點一定位于區(qū)間(

)A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數判斷．【專題】計算題．【分析】根據函數零點存在定理，若f（x）=log3x﹣8+2x若在區(qū)間（a，b）上存在零點，則f（a）?f（b）＜0，我們根據函數零點存在定理，對四個答案中的區(qū)間進行判斷，即可得到答案．【解答】解：當x=3時，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0當x=4時，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）?f（4）＜0又∵函數f（x）=log3x﹣8+2x為連續(xù)函數故函數f（x）=log3x﹣8+2x的零點一定位于區(qū)間（3，4）故選B【點評】本題考查的知識點是零點存在定理，我們求函數的零點通常有如下幾種方法：①解方程；②利用零點存在定理；③利用函數的圖象，其中當函數的解析式已知時（如本題），我們常采用零點存在定理．9.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且若，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形參考答案：C【分析】直接利用余弦定理的應用求出A的值，進一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判斷出三角形的形狀．【詳解】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．則：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC為等邊三角形．故選：C．【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．10.如圖，一個質點從原點出發(fā)，在與x軸、y軸平行的方向按（0,0）→（0,1）→（1,1）→（1,0）→（2，0）→（2，1）→（2,2）→（1，2）…的規(guī)律向前移動，且每秒鐘移動一個單位長度，那么到第2014秒時，這個質點所處位置的坐標是A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將參加數學競賽的1000名學生編號如下：0001，0002，0003，…，1000，打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個部分，如果第一部分編號為0001，0002，0003，…，0020，第一部分隨機抽取一個號碼為0015，則抽取的第10個號碼為____________.參考答案：019512.已知a>1，則不等式a+的最小值為___________。參考答案：解析：a+=a-1++1≥1+2，當且僅當a-1=，即a=1+時等號成立。∴不等式a+的最小值為1+2。13.若定義域為R的偶函數在［0，＋∞）上是增函數，且，則不等式的解集是____________.參考答案：略14.若關于的方程.有一正一負兩實數根，則實數的取值范圍________________。參考答案：

解析：15.已知集合A=,B=,且A=B,則實數

參考答案：略16.已知甲、乙兩組數據的莖葉圖如圖所示，若它們的中位數相同，則甲組數據的平均數為參考答案：32【考點】BA：莖葉圖．【分析】根據中位數相同求出m的值，從而求出甲的平均數即可．【解答】解：由乙的數據是：21，32，34，36得中位數是33，故m=3，故=（27+33+36）=32，故答案為：32．17.碗里有花生餡湯圓2個、豆沙餡湯圓3個、芝麻餡湯圓4個，從中隨機舀取一個品嘗，不是豆沙餡的概率為

．參考答案：。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數f（x）=，（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求函數f（x）的值域．參考答案：考點： 函數奇偶性的判斷；函數的值域．專題： 計算題；函數的性質及應用．分析： （I）求出函數的定義域，再計算f（﹣x），與f（x）比較，即可判斷奇偶性；（Ⅱ）令t=3x，則t＞0，轉化為t的函數，運用分離變量，結合不等式的性質，即可得到所求值域．解答： （I）f（x）的定義域為R，∵，∴f（x）是奇函數；（Ⅱ）令t=3x，則t＞0，∴，∵t＞0，∴t2+1＞1，，即，∴函數f（x）的值域為（﹣1，1）．點評： 本題考查函數的奇偶性的判斷和值域的求法，考查定義法和指數函數的值域的應用，考查運算能力，屬于基礎題．19.（本小題滿分12分）如圖，橢圓的頂點為，焦點為，.（Ⅰ）求橢圓C的方程；(Ⅱ)設n為過原點的直線，是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A,B兩點的直線，.是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；并說出；若不存在，請說明理由.參考答案：解:(Ⅰ)由知a2+b2=7,

①由知a=2c,

②又b2=a2-c2

③由①，②，③解得a2=4，b2=3，故橢圓C的方程為

…4分(Ⅱ)設A、B兩點的坐標分別為，假設使成立的直線l存在，(i)當l不垂直于x軸時，設l的方程為，由l與n垂直相交于P點且得，即.

……………………5分由得

…………………6分將代入橢圓方程，得，由求根公式可得④

⑤

…………7分

將④，⑤代入上式并化簡得

⑥將代入⑥并化簡得，矛盾.即此時直線不存在.

…………9分（ii）當垂直于軸時，滿足的直線的方程為，則A,B兩點的坐標為或當時，當時，

∴此時直線也不存在.

…11分綜上可知，使成立的直線不存在.

…12分20.已知函數．（1）求的最小正周期和單調增區(qū)間；（2）設，求的值域．學科

參考答案：解：（1）∵學科

單調增區(qū)間為

（2）∵，，

又，，

的值域為．

略21.如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2．將△BAO沿AO折起，使B點與圖中B'點重合．（Ⅰ）求證：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）當三棱錐B'﹣AOC的體積取最大時，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問在線段B′A上是否存在一點P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為？證明你的結論．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）證明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC內，作B'D⊥OC于點D，判斷當D與O重合時，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，解法一：過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，說明∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到結果．解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量為，求出平面AB'C的法向量為，利用空間向量的數量積求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點，證明設，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空間向量的距離公式求解即可．解法二：連接OP，因為CO⊥平面B'OA，得到∠OPC為CP與面B'OA所成的角，通過就三角形即可求出即P為AB'的中點．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中點，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC內，作B'D⊥OC于點D，則由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱錐B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以當D與O重合時，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，…解法一：過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值為…解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，設平面B'OC的法向量為，可得設平面