第五章平面向量、復數(shù)第一節(jié)平面向量的線性運算【教材·知識梳理】1.向量及其相關(guān)概念向量的定義：既有_____又有_____的量；向量的大小叫做向量的___________.零向量：________的向量；記作0.單位向量：________________的向量.共線(平行)向量：方向相同或相反的_____向量叫平行向量；_______與任一向量平行；向量a與向量b平行，記作a∥b.相等向量：長度相等且_____相同的向量，向量a與向量b相等，記作a=b.相反向量：與向量a長度相等且方向_____的向量，記作-a.大小方向長度(或模)長度為0長度等于1個單位非零零向量方向相反2.向量的線性運算加法減法數(shù)乘定義求兩個向量和的運算求兩個向量差的運算實數(shù)λ與向量a的積是一個_____，記作λa法則(或幾何意義)

(1)模：|λa|=|λ||a|(2)方向：當λ>0時，λa與a方向_____；當λ<0時，λa與a方向_____；當λ=0時，λa=0向量相同相反3.平行向量基本定理如果______，則a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，則一定存在唯一一個實數(shù)λ，使得______.a=λba=λb【常用結(jié)論】1.相等向量：(1)兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等.(2)兩相等向量，如果起點相同，則其終點也相同.(3)兩相等向量，如果起點不同，則其終點也不同.(4)向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性.(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.2.兩特殊向量：(1)零向量和單位向量是兩個特殊的向量.它們的模是確定的，但方向不確定.(2)非零向量a的單位向量為.3.三點共線：A，B，C三點共線，O為A，B，C所在直線外任意一點，則且λ+μ=1.【知識點辨析】

(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)零向量與任意向量平行. (

)(2)若a∥b,b∥c,則a∥c. (

)(3)向量與向量是共線向量,則A,B,C,D四點在一條直線上. (

)(4)當兩個非零向量a,b共線時,一定有b=λa,反之成立. (

)提示:(1)√.(2)×.若b=0,則a與c不一定平行.(3)×.共線向量所在的直線可以重合,也可以平行,則A,B,C,D四點不一定在一條直線上.(4)√.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1不理解單位向量、零向量的含義考點一、T1,22不能正確運用三角形法則考點二、T13不會將向量問題轉(zhuǎn)化為不等式問題考點三、角度3【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修4P79練習AT2改編)給出下列命題:①零向量的長度為零,方向是任意的;②若a,b都是單位向量,則a=b;③向量相等.則所有正確命題的序號是 (

)

A.① B.③ C.①③ D.①②【解析】選A.根據(jù)零向量的定義知①正確;根據(jù)單位向量的定義知,單位向量的模相等,但方向不一定相同,所以兩個單位向量不一定相等,所以②錯誤;向量互為相反向量,所以③錯誤.2.(必修4P86練習BT2改編)如圖,?ABCD的對角線交于M,若=a,=b,用a,b表示為 (

)A.a+b B.a-bC.-a-b D.-a+b【解析】選D.3.(必修4P94習題2-1AT7改編)如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點,則下列結(jié)論錯誤的是 (

)A. B.共線C.是相反向量 D.【解析】選D.選項D中,,所以D錯誤.5.(必修4P83練習AT2改編)化簡:

【解析】(1)原式=(2)原式==0.答案:(1)

(2)0

解題新思維向量共線性質(zhì)的運用

【結(jié)論】已知(λ,μ為常數(shù)),則A,B,C三點共線的充要條件為λ+μ=1.【典例】如圖所示,在△ABC中,點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若,則m+n的值為________.

【解析】

.因為M,O,N三點共線,所以

=1,m+n=2.答案:2

【一題多解】MN繞O旋轉(zhuǎn),當N與C重合時,M與B重合,此時m=n=1,所以m+n=2.答案:2

【遷移應(yīng)用】在△ABC中,N是AC邊上一點且,P是BN上一點,若,則實數(shù)m的值是______