第八節(jié)函數(shù)與方程

【教材·知識(shí)梳理】1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使_______的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是_________的一條曲線，并且有_____________，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間_______內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0連續(xù)不斷f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)=02.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)

與x軸的交點(diǎn)___________________無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)______(x1,0),(x2,0)(x1,0)210【常用結(jié)論】有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn). (

)(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn). (

)(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)·f(b)<0.(

)(4)若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f(a)·f(b)>0,則f(x)在(a,b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).(

)提示:(1)×.函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)√.當(dāng)b2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn),故沒(méi)有零點(diǎn).(3)×.函數(shù)圖象若沒(méi)有穿過(guò)x軸,則f(a)·f(b)>0.(4)×.若在區(qū)間[a,b]內(nèi)有多個(gè)零點(diǎn),f(a)·f(b)>0也可以.【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1忽略零點(diǎn)存在性定理考點(diǎn)一、T1,42忽略指數(shù)函數(shù)的底數(shù)考點(diǎn)一、T33忽略x的取值范圍考點(diǎn)二、T24忽略周期性的作用考點(diǎn)二、T35忽略新元的范圍考點(diǎn)三、角度2【教材·基礎(chǔ)自測(cè)】1.(必修1P75習(xí)題2-4AT3改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是 (

)【解析】選A.根據(jù)二分法的概念可知A不能用二分法求零點(diǎn).2.(必修1P75習(xí)題2-4BT2改編)函數(shù)f(x)=lnx-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(

)

A.(1,2) B.(2,3)C.和(3,4) D.(4,+∞)【解析】選B.因?yàn)閒(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,且函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,f(x)為增函數(shù),所以f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi).3.(必修1P72練習(xí)BT1改編)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.

【解析】作函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象知函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn).答案:1【解題新思維】利用“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解題

【結(jié)論】二次函數(shù)零點(diǎn)分布情況設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)對(duì)應(yīng)方程ax2+bx+c=0的根為x1,x2,其零點(diǎn)分布情況如下:【典例】若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是________.

【解析】依題意,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象(圖略)分析可知,m需滿足答案:

【遷移應(yīng)用】一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是

(

)