第八節(jié)函數(shù)與方程

【教材·知識梳理】1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使_______的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.(2)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是_________的一條曲線，并且有_____________，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間_______內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0連續(xù)不斷f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)=02.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)

與x軸的交點___________________無交點零點個數(shù)______(x1,0),(x2,0)(x1,0)210【常用結(jié)論】有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點. (

)(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點. (

)(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)·f(b)<0.(

)(4)若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f(a)·f(b)>0,則f(x)在(a,b)內(nèi)沒有零點.(

)提示:(1)×.函數(shù)的零點是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標.(2)√.當b2-4ac<0時,拋物線與x軸無交點,故沒有零點.(3)×.函數(shù)圖象若沒有穿過x軸,則f(a)·f(b)>0.(4)×.若在區(qū)間[a,b]內(nèi)有多個零點,f(a)·f(b)>0也可以.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽略零點存在性定理考點一、T1,42忽略指數(shù)函數(shù)的底數(shù)考點一、T33忽略x的取值范圍考點二、T24忽略周期性的作用考點二、T35忽略新元的范圍考點三、角度2【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修1P75習題2-4AT3改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是 (

)【解析】選A.根據(jù)二分法的概念可知A不能用二分法求零點.2.(必修1P75習題2-4BT2改編)函數(shù)f(x)=lnx-的零點所在的大致區(qū)間是(

)

A.(1,2) B.(2,3)C.和(3,4) D.(4,+∞)【解析】選B.因為f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,且函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,f(x)為增函數(shù),所以f(x)的零點在區(qū)間(2,3)內(nèi).3.(必修1P72練習BT1改編)函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)為________.

【解析】作函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象知函數(shù)f(x)有1個零點.答案:1【解題新思維】利用“三個二次”之間的關(guān)系解題

【結(jié)論】二次函數(shù)零點分布情況設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)對應(yīng)方程ax2+bx+c=0的根為x1,x2,其零點分布情況如下:【典例】若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的兩個零點分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是________.

【解析】依題意,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象(圖略)分析可知,m需滿足答案:

【遷移應(yīng)用】一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是

(

)