..高中數學競賽專題之數列一、數列的性質等差數列與等比數列是中學階段的兩種重要數列,也是各年高考、競賽的重點,現將它們的主要性質及內容對照討論如下：性質1：若是等差〔等比數列,那么仍是等差〔等比數列。性質2：若為等差數列,且,那么〔腳標和相同則對應的項的和相同；若為等比數列,且,那么〔腳標和相同則對應的項的積相同。性質3：若為等差數列,記,那么仍為等差數列,為等比數列,記,那么仍為等比數列。性質4：若為等比數列,公比為q,且|q|〈1,則。例1、若、為等差數列,其前n項和分別為,若,則〔A.1B.C.D.例2、等差數列的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項的和為〔A.130B.170C.210D.260例3、、為等差數列,其前n項和分別為,若〔1求的值,〔2求使為整數的所有正整數n。例4、在等差數列中,若,則有等式成立,類比上述性質,相應地：在等比數列中,若,則有等式成立。例5、一個正數,其小數部分、整數部分和其本身成等比數列,則該數為。例6、設},是的元素個數,是所有元素的和,則。例7、設A={1,2,…n},是A的所有非空真子集元素的和,表示A的子集個數,求的值。例8、設數列的前n項和為,數列滿足,求數列的前n項和。方法：首先找出的通項式,在找出的通項式例9、設為等差數列,為等比數列,且,又,試求的通項公式。例10、設是等差數列的前n項和,且,數列的通項式為,〔1求數列的通項公式,〔2若,則稱d為數列與的公共項,按它們在原數列中的先后順序排成一個新的數列,證明：的通項公式為。例11、個正數排成n行n列：其中每一行的數成等差數列,每一列的數成等比數列,并且所有的公比相等,已知,求+++的值。作業(yè)：1、將正奇數集合{1,3,5,…}由小到大按n組有<2n-1>個奇數進行分組：{1}、{3,5,7}、{9,11,13,15,17}….,則1991位于組中。2、在等差數列中,公差,的等比中項,已知數列成等比數列,求數列的通項公式。3、設正數數列滿足,〔1求數列的通項公式,〔2設,試求M的最小值。二、數學歸納法數學歸納法在一定程度上考察了以下能力：〔1從整體上直接領悟數學對象本質的能力；〔2從數學問題、數式結構、數式關系中洞察對象本質的能力；〔3從解題思路和問題結果中領悟數學本質的能力。第一數學歸納法：設是一個關于自然數n的命題,滿足以下條件：〔1是成立的,〔2假設成立能推出成立,則命題對一切自然數n都成立。第二數學歸納法：設是一個關于自然數n的命題,滿足以下條件：〔1是成立的,〔2假設,,…成立能推出成立,則命題對一切自然數n都成立。解題思維過程：嘗試——觀察——歸納、猜想——證明,即從特殊關系中概括一般規(guī)律,建立猜想,給出嚴格證明。解題策略：從數學問題、數式結構、數式關系、解題思路和問題結果等特征去思考問題。例1、已知對任意自然數n,有,求證〔1989年高中例2、用表示的各數的最大奇數因子之和,求證：例3、設是正數數列且滿足,求數列的通項公式。方法：嘗試——觀察——歸納、猜想——證明例4、已知數列滿足：,當時,有,試求數列的通項公式。方法：嘗試——觀察——歸納、猜想——證明例5、一個數列定義如下：,證明：對于自然數n,有。這里表示不超過的最大整數?！睮MO18-6方法：變化形式例6、設數列滿足：,這里,求證：對所有的自然數n,有。〔1977年加拿大數學奧林匹克例7、已知是n個正數且滿足,求證：例8、已知a,b是正實數,且滿足,試證：對每一個自然數n,有三、遞推數列,熱點問題是求遞推數列的通項公式1、轉化：最常見的轉化為等差〔等比數列的通式和求和類型：〔1,化歸成型；〔2,化歸成型；〔3,化歸成型；〔4,化歸成型；〔5,化歸成型；〔6型例1、、已知數列滿足：,,試求數列的通項公式。方法：開方轉化成等差數列的形式例2、設數列滿足：,求的通項公式。例3、設數列滿足：,求。例4、設數列滿足：,求。2、變換〔代換：三角代換、代數代換例1、已知,求。方法：觀察特點,聯(lián)想到正切公式例2、數列滿足：,求方法：含根式,通過代換轉化為不含根式的遞推式例3、設滿足關系式,則方法：倒數關系不易求解,通過代換轉化為熟悉的形式例4、給定正整數n和正數M,對于滿足條件：的所有等差數列,試求的最大值。方法：根據特點,三角代換3、特征方程及特征根求解遞推式對于二階線性遞推數列數列滿足：..〔1其中為常數,若有等比數列滿足等式〔1,則x必滿足相應的方程：…….〔2,稱此方程〔2為〔1的特征方程。數列的通項公式與特征方程的根有如下關系：當時,方程〔2有兩個不相同的實數根,則數列、均是〔1的解,并且對任意常數有也是〔1的解〔通解,由初值確定。當時,方程〔2有兩個相同的實數根,則數列、均是〔1的解,并且對任意常數有也是〔1的解〔通解,由初值確定。當時,方程〔2有兩個共軛復根,則數列、均是〔1的解,并且對任意常數有也是〔1的解〔通解,由初值確定。求斐波那鍥數列的通項公式：。方法：利用特征方程求解注：設數列是k階線性遞推數列,其特征方程為,設其前n項的和,則是k+1階線性遞推數列,其特征方程為例2、已知數列滿足：,求此數列的前n項和。例3、設數列、滿足：且〔,求證：是完全平方數〔n=0,1,2,…方法：將其轉化為只與有關的遞推式4、利用函數不動點原理求解數列通項公式定理1：設,數列由初始值確定,那么當且僅當是的不動點時,數列是公比為a的等比數列。定理2：設數列由遞推關系確定,設函數有兩個不動點,則：〔1當時,則數列是等比數列,公比為；〔2當時,則數列是等差數列,公差為。例1、設數列滿足：,求證：。例2、設數列滿足：,前n項和為,則滿足不等式的最小整數n=。例3、設正數列滿足,且,求數列的通項公式。方法：變形、轉化形成熟悉結構例4、運動會連續(xù)開了n天,一共發(fā)了m枚獎牌,第一天發(fā)1枚加上剩下的,第二天發(fā)2枚加上剩下的,以后每天均按此規(guī)律發(fā)放獎牌,在最后一天,即第n天發(fā)n枚而無剩余,問運動會開了幾天？共發(fā)多少枚獎牌？5、利用高階差分數列求數列通式定義1：〔差分數列對于數列,稱為的一階差分,為數列的的一階差分數列；數列的一階差分：,稱為數列的的二階差分數列；一般地,稱為的k階差分,稱為數列的的k階差分數列。例1、求數列0,1,4,11,26,57,…的通項公式。例2、求數列-2,1,7,16,28,…的通項公式。定義2〔高階等差數列若數列的的k階差分數列是一個非零常數列,而k+1階差分數列是一個零常數列,則稱的的k階等差數列。定理1：設是m階等差數列,則,約定。定理2：數列是m階等差數列的充要條件是是一個關于n的m次多項式。定理3、數列是m階等差數列,它的前n項之和為,則是m+1階等差數列,且例3、求的求和公式,并給出證明。定理4：給定,其中為關于n的函數,則此一階非線性齊次遞推數列所確定的數列的通項公式為：例4、已知數列滿足：,求數列的通項公式。例5、已知數列滿足：,求數列的通項公式。四、數列的性質〔反證法、周期性、有界性、整數性1、數列中的反證法問題例1、設等差數列包含1和,證明：數列中任意三項均不構成等比數列。例2、設是定義在自然數集且取自然數值的嚴格遞增函數,,當m,n互質時,有,求證：對任意自然數n,都有。例3、數列為正數數列,滿足條件,求證：對一切自然數k,為無理數。2、數列的周期性例1、已知整數數列滿足,如果前1492項之和為1985,而前1985項之和為1492,則該數列前2006項之和是多少？方法：考察數列的周期性例2、設數列滿足,為的個位數,求的值。方法：考察數列的周期性例3、已知數列滿足：,求證：對一切自然數n,有。方法：考察數列的