靜定結構的位移計算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures變形：結構形狀的改變。CC‘——線位移

——角位移（轉角）§1概述位移：結構上某點位置的移動和截面轉動。一、變形和位移線位移：C‘C‘‘——豎直位移CC‘‘——水平位移

根據產生位移的原因，位移可分為：剛體位移變形體位移1.荷載作用2.溫度變化（材料脹縮）3.支座沉降與制造誤差還有什么原因會使結構產生位移?二、產生位移的原因靜定多跨梁的支座A有一給定位移CA，

桿AC繞B點轉動，桿CD繞D點轉動。

剛體位移：有位移無應變剛體位移ABCD簡支梁在載荷q作用下，各點產生線位移；同時梁內彎矩M產生的曲率k（曲率半徑）和應變e。變形體位移：有位移有應變

變形體位移

根據產生位移的原因，位移可分為：剛體位移變形體位移1.荷載作用2.溫度變化（材料脹縮）3.支座沉降與制造誤差哪些是剛體位移？哪些是變形體位移?二、產生位移的原因

1.驗算結構的剛度。2.位移計算是超靜定結構計算的基礎。3.在結構的動力和穩(wěn)定計算中也要用到結構的位移。4.在結構的制作、架設、養(yǎng)護等過程中，也往往需要預先知道結構的變形情況，以便采取一定的施工措施。為什么要計算位移?三、結構位移計算的目的在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。基礎設計規(guī)范規(guī)定：設計等級為甲級、乙級的建筑物，均應按地基變形設計。1.方法：2.基本假設：（1）幾何方法（2）虛功法功=力×位移位移=功/力四、結構位移計算的方法和基本假設（3）理想聯(lián)結(IdealConstraint)疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic)(2)小變形(SmallDeformation)（一）功(Work)1.功的含義：力沿著作用線移動一段距離五、虛功原理(PrincipleofVirtualWork)變力做功2.常力做功和變力做功y位移與靜力荷載dyyPPy

1)作虛功的力系為一個集中力2)作虛功的力系為一個集中力偶4)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力偶3)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力3.廣義力(Generalizedforce)對廣義位移(Generalizeddisplacement)做功（二）實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)圖（a）中P1所作的功為：圖（b）中P2所作的功為：圖（c）中先作用P1，此時P1所作的功為：再作用P2，此時P2所作的功為：P1在加P2過程中也做功，此時P1繼續(xù)作功為：虛功外力作用下的總功：虛位移△11△22P2△11△22△12△21實功第一個下標表示位移的地點和方向第二個下標表示產生位移的原因實功和虛功的區(qū)別：（1）實功是力在自身所引起的位移上所做的功；虛功是力在其它原因所引起的位移上所做的功。虛功并不是不做功，而是強調做功的力與產生位移的原因無關這一特點。虛位移應滿足的條件：虛位移應當是微小的；虛位移必須是變形可能的，即位移函數是連續(xù)的。（2）實功是變力做功，計算式中有系數1/2；虛功是常力做功，計算式中沒有系數1/2。（對上例）（3）實功恒為正，虛功可正可負。注意：（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足變形協(xié)調條件；力狀態(tài)應滿足平衡條件。（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；力狀態(tài)位移狀態(tài)1質點系的虛功原理具有理想約束的質點系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：Σfiδri=0→→.對于任何可能的虛位移，作用于質點系的主動力所做虛功之和為零。（三）虛功原理2剛體的虛功原理3變形體的虛功原理（一）原理：P1P2P3△x△y§2剛體虛功原理及其應用

剛體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的充要條件是：對于任意給定的虛位移，外力虛功之和為零。一、剛體虛功原理P1P2P3△x△y1.若力系平衡2.若T=0，既然虛位移是任意給定的

剛體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的充要條件是：對于任意給定的虛位移，外力虛功之和為零。（二）虛功原理的兩種實用型式1、虛位移原理特點：受力真實，位移虛設。用途：用以計算真實受力狀態(tài)下的未知力，與平衡方程等效。YBYAXAΔΔ/2由虛功原理虛功方程

平衡方程2、虛力原理特點：位移真實，受力狀態(tài)虛設。用途：用以求解真實位移狀態(tài)中的待求位移。ΔΔ/2二、靜定結構由支座移動引起的位移計算（一）支座移動對靜定結構的影響剛體位移：有位移無應變變形體位移：有位移有應變求K點的豎向位移（二）基本公式

虛設力的方法：1、虛設力P的作用點為預求位移的點；虛設力的方向與欲求位移的方向一致；2、虛設力P的大小等于單位1，并稱這樣的力為單位力。實際位移狀態(tài)虛設的力狀態(tài)Ri的正向與Ci的正向一致虛功原理：T=0它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod單位荷載法(Dummy-UnitLoadMethod)截面轉角相對線位移相對轉角（三）計算步驟:求單位力作用下的支反力利用公式求位移根據擬求位移作單位力狀態(tài)ΔP=11/21/2Δ=-（-1/2*△）=△/2例：圖示多跨靜定梁支座Ｂ發(fā)生沉陷a，求Ｅ截面的豎向位移DEV和Ｄ鉸兩側截面的相對轉角。1YBYCYBYC（2）求單位力作用下的支反力（3）利用公式求位移解：1、求Ｅ截面的豎向位移（1）根據擬求位移作單位力狀態(tài)2、Ｄ鉸兩側截面的相對轉角()YAYA1、結構的兩種狀態(tài)：2、第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，稱為外力虛功，記為T123、第一狀態(tài)的內力在第二狀態(tài)的變形上所作的虛功，稱為內力虛功，記為W12M、Q、N§3變形體系虛功原理及結構位移計算一般公式一、基本概念第一狀態(tài)（受力狀態(tài)）第二狀態(tài)（位移狀態(tài)）相對轉角相對軸向位移相對剪切位移dx（1）受力狀態(tài)和變形狀態(tài)是相互獨立的，二者彼此無關。（2）第一狀態(tài)要求平衡（內力并不一定是真實的）第二狀態(tài)要求虛位移條件說明：（4）剛體虛功原理是特殊情況，即內力虛功為零的情況。（3）變形體虛功原理是變形體力學的普遍原理。二、變形體系的虛功原理變形體系在外力作用下處于平衡狀態(tài)的充要條件是：對于任意給定的虛位移，外力虛功等于內力虛功即

T12＝W12

任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功δWe,恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和δWi。變形體虛功原理的證明:1.利用變形連續(xù)性條件計算所有微段的外力虛功之和W微段外力分為兩部分體系外力相互作用力微段外力功分為兩部分體系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe2.利用平衡條件條件計算所有微段的外力虛功之和W微段外力功分為兩部分在剛體位移上的功dWg在變形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWi=δWi微段位移分為兩部分剛體位移變形位移故有δWe=δWi成立。

任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功δWe,恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和δWi。變形體虛功原理的證明:1.利用變形連續(xù)性條件計算所有微段的外力虛功之和W微段外力分為兩部分體系外力相互作用力微段外力功分為兩部分體系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe2.利用平衡條件條件計算所有微段的外力虛功之和W微段外力功分為兩部分在剛體位移上的功dWg在變形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWi=δWi微段位移分為兩部分剛體位移變形位移故有δWe=δWi成立。幾個問題:1.虛功原理里存在兩個狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調條件。因此原理僅是必要性命題。2.原理的證明表明:原理適用于任何(線性和非線性)的變形體，適用于任何結構。3.原理可有兩種應用：實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設的協(xié)調位移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解。實際待分析的協(xié)調位移狀態(tài)，虛設的平衡力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解。δWi

的計算:δWi=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds微段外力:微段變形可看成由如下幾部分組成:變形體虛功方程的展開式微段剪切微段拉伸微段彎曲對于直桿體系，由于變形互不耦連，有:δWe

=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds1、虛位移原理特點：受力真實，位移虛設。2、虛力原理特點：位移真實，受力狀態(tài)虛設。用途：用以計算真實受力狀態(tài)下的未知力，與平衡方程等效。用途：用以求解真實位移狀態(tài)中的待求位移。變形體虛功原理的兩種實用型式R求如圖所示剛架B點的水平位移△由虛功方程：T＝W可知三、結構位移計算的一般公式實際位移狀態(tài)虛設的力狀態(tài)

虛設力的方法：1、虛設力P的作用點為預求位移的點；虛設力的方向與欲求位移的方向一致；2、虛設力P的大小等于單位1，并稱這樣的力為單位力。（1）剛體虛功位移計算公式是變形體位移計算公式的特例。（2）受力狀態(tài)和變形狀態(tài)是相互獨立的，二者彼此無關。說明：（3）變形體位移計算公式是結構位移計算的一般公式。一般公式的普遍性表現(xiàn)在：2.結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定結構；1.位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；3.材料性質：線性、非線性；4.變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對角位移。位移計算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)位移計算一般公式：無支座位移：而：MP、QP、NP為實際荷載作用下的內力，M、Q、P為單位力作用下的內力MP、QP、NP為實際荷載作用下的內力，M、Q、P為單位力作用下的內力MP、QP、NP為實際荷載作用下的內力，M、Q、P為單位力作用下的內力§4靜定結構在荷載作用下的位移計算位移計算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)一、荷載作用下位移計算公式1.EI、EA、GA分別表示桿件截面的抗彎、抗拉、抗剪剛度。3.公式中的2套內力。5.dx對于直桿適用，如是曲桿改為ds。6.等號右邊各項的乘積代表虛設單位力引起的內力的各個分量在實際荷載引起的相應變形上所做的虛功。7.適用范圍：線彈性問題。8.三項的影響，右邊三項分別表示彎曲變形、剪切變形、拉伸變形的影響。軸向剪切彎曲2.μ截面形狀系數。如：對矩形截面μ

=6/5;圓形截面μ

=10/9。4.彎矩項乘積的正負號規(guī)定：使桿件同側纖維受拉時，其乘積取為正。1.根據擬求位移做單位力狀態(tài)。2.分別求兩種狀態(tài)的內力。（1）荷載作用下內力計算。（2）單位力作用下內力計算。3.代入公式計算△。單位荷載法(Dummy-UnitLoadMethod)二、荷載作用下位移計算步驟（一）桁架的位移計算桁架在荷載作用下各桿的內力只有軸力對一根桿件而言，N、NP、E、A為常數，因此，上式可簡化為：三、荷載作用下實用位移計算公式例：求如圖所示桁架下弦中點D的豎向位移，P=20kN，E＝210kN/cm3，l=8m，A上弦=2000mm2，A下弦=400mm2，A腹=200mm2。解：1.根據擬求位移做單位力狀態(tài)（圖b）。2.求兩種狀態(tài)的內力。3.代入公式計算△。

不要“丟三落四”！

不要“張冠李戴”！（二）梁、剛架的位移計算對于梁及剛架，△Q和△N對△的影響很小，因此，上式可簡化為：例：求剛架A點的豎向位移。實際位移狀態(tài)虛設的力狀態(tài)xx++qxxqlqlx荷載內力圖xxlx11單位內力圖設桿件截面為bh的矩形截面桿，有：?。?，，有E/G的取值范圍是多少？對受彎細長桿件,通常略去Q,N的影響。討論與細長比有關！（三）拱的位移計算對一般拱結構的位移計算不考慮剪切、軸向變形的影響，?。簩Ρ馄焦?、接近合理拱軸線的拱，應考慮軸向變形的影響：（四）組合結構的位移計算組合結構受力特點：1）一部分構件在荷載作用下受彎為主(梁式桿)2）另一部分構件只受軸力(軸力桿)位移計算公式：EIEI梁和剛架：（一）問題的提出5圖乘法及其應用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)一、概述圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院的學生。（二）適用條件1.結構的每根構件均為直桿2.各構件EI分別為常數或分段為常數（二）基本思想3.在各構件上M、MP圖中至少有一個為直線或分段直線型將M、MP圖形的幾何參數相乘（圖乘），得到位移。圖乘法的適用條件是什么?二、圖乘公式圖乘公式EIO1.圖乘法的適用條件。2.ω、yc必須分別取自兩個圖形。3.yc必須取自直線圖形，其位置與另一圖形（取面積的圖形）的形心對應。4.符號規(guī)定：ω與yc位于桿軸同側時，該段乘積為正?？珊喎Q為“同側相乘為正”。（規(guī)定M圖畫受拉側）公式說明1.根據擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內力計算。（1）荷載作用下內力圖MP。（2）單位力作用下內力圖。3.圖乘求位移。三、圖乘法計算位移的一般步驟驗算ACBhhPhll/23l/8hlml/2四、常見M圖的面積和形心位置例1：求B端的轉角。1.根據擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內力計算。（1）荷載作用下內力圖MP。（2）單位力作用下內力圖。3.圖乘求位移。解:()()若兩個彎矩圖都是直線圖形，則縱坐標yc可取任一圖形。

例2：求跨中C點的豎向位移1.根據擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內力計算。（1）荷載作用下內力圖MP。（2）單位力作用下內力圖。3.圖乘求位移。解:()()若MP是曲線，M是折線，則應分段圖乘。

對嗎？應分段！若圖形較復雜，面積或形心不便確定，可分解為簡單圖形。

H1EI2EI1CABH2PP=11.根據擬求位移做單位力狀態(tài)。2.內力計算。（1）荷載作用下內力圖MP。（2）單位力作用下內力圖。3.圖乘求位移。解:例4：求C點的水平位移若各段EI不同，則分段圖乘。

MPPH2MH2PH1H11.當兩圖均為直線時，yc不受限。2.若一圖是曲線，另一圖是折線，應分段圖乘。3.若圖形較復雜，形心不便確定，可將其分解為簡單圖形。4.若桿各段EI不同，應分段圖乘。5.虛設單位力。求線位移——集中力求角位移——集中力偶求相對位移——一對力五、圖乘規(guī)律練習、

已知EI

為常數，求C、D兩點相對水平位移。lqhqMP解：練習、

圖示梁EI

為常數，求中點C的豎向位移。l/2ql/2MP請問：錯在啥地方？請問：錯在啥地方？l/2ql/2MP解法一l/2ql/2MP解法二溫度變化引起的靜定結構位移計算溫度變化不產生內力，材料只膨脹或收縮，不產生剪應變?！?溫度變化引起的靜定結構位移計算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)一、溫度變化對靜定結構的影響基本假設：1）結構材料是溫度線性材料，即滿足：t——溫度改變量α——溫度系數，溫度每升高1攝氏度所引起的材料的線應變。2）若構件兩側溫度不相同時，認為溫度沿截面是線性變化的；3）沿構件長度方向溫度變化規(guī)律相同。二、公式推導ds1形心軸處的溫度改變量為：形心軸處的線位移為：ds段兩端截面相對轉動角度：基本假設3t0圖面積

圖面積注意問題：正負號規(guī)定1.根據擬求位移作單位力狀態(tài)。2.內力計算。單位力作用下結構的彎矩圖和軸力圖3.利用公式求位移。（注意正負號的判斷）1.正負號規(guī)則2.t、△t的計算公式說明溫度變形引起的形心軸處的伸縮性與軸力引起構件的伸縮性一致時取正號?；驕囟纫陨邽檎?，軸力以拉為正。溫度變形引起的伸長側與彎矩引起構件的受拉側一致時取正號。三、計算步驟例：求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉角.解：1.根據擬求位移作單位力狀態(tài)。2.內力計算。單位力作用下結構的軸力圖3.利用公式求位移。（注意正負號的判斷）Ni例：試求下圖，a所示剛架C點的水平位移。已知剛架各桿外側溫度無變化，內側溫度上升10°C，剛架各桿的截面相同且與形心軸對稱，線膨脹系數為。解：

1、根據擬求位移作單位力狀態(tài)。P=12、內力計算：作出相應的、圖。3、利用公式求位移。（注意正負號的判斷）1、加工制造誤差：一般是指構件的真實長度與設計長度存在差值。式中：l’為實際桿長，l為設計桿長。2、裝配誤差主要有如下兩種形式圖中：η為軸線對位誤差，φ為角度裝配誤差。四、加工制造和裝配誤差的影響如何計算?3、由加工裝配誤差引起的靜定結構位移計算公式正負號選取原則：——構件長度誤差為的桿件在單位力下的軸力；——軸線對位誤差為處的桿件在單位力下的剪力；——角度裝配誤差為處，桿件在單位力下的截面彎矩；——構件長度誤差為的桿件在單位力下的軸力；——構件長度誤差為的桿件在單位力下的軸力；1）為拉力且>0時，或為壓力且<0時第一項為正，否則為負；2）當的錯位方向與軸線錯位方向一致時，第二項取正號，否則為負；3）桿端彎矩與角度裝配誤差方向一致時，第三項取正號，否則為負。例：圖示簡支剛架，AB桿較設計長度短2cm，AB桿與BC實際夾角較設計角度小0.05rad，求結構裝配后C點離開設計位置的水平距離。單位力作用下：§7線彈性結構的互等定理（ReciprocalTheoryinLinearStructures)一、

功的互等定理（ReciprocalTheoryofWork)在線性彈性體系中，第I狀態(tài)的外力在第II狀態(tài)位移上所做的外力虛功，恒等于第II狀態(tài)外力在第I狀態(tài)位移上所做的外力虛功。2第II狀態(tài)第I狀態(tài)第一個下標表示位移的地點和方向第二個下標表示產生位移的原因21P2△22△12△11△21△22P1△11△21先加廣義力P1，后加廣義力P2。先加廣義力P2，后加廣義力P1。由功的互等定理方法一P1P2方法二功的互等定理虛功原理2第II狀態(tài)第I狀態(tài)M1Q1N1M2Q2N2功的互等定理說明1、力和位移可以是