Chapter2測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理§2.1測量誤差概述§2.2測量誤差的類型§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系§2.4誤差的合成與分配§2.5有效數(shù)字及數(shù)據(jù)舍入規(guī)則§2.6測量設(shè)計(jì)練習(xí)題§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系1.基本概念：

在間接測量中,是通過直接測量與被測量有一定函數(shù)關(guān)系的中間量,算出被測量。設(shè)：間接測量參數(shù)間關(guān)系：用泰勒公式將等號右側(cè)展開因?yàn)棣?0，∴(Δx)2

或(Δx1·Δx2)等高階小量可以略去，則：§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系絕對誤差傳遞公式相對誤差傳遞公式等式兩邊同除y：§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系絕對誤差傳遞公式,相對誤差傳遞公式,2.加深認(rèn)識：§2.4

誤差的合成與分配

研究間接測量的誤差要解決下列兩方面問題：

①誤差合成：由被測量與各參數(shù)間函數(shù)關(guān)系

及

各參數(shù)測量值的誤差，求函數(shù)的總誤差。例，功率、電能、增益等量值的測量，一般都是通過電壓、電流、電阻及時(shí)間等直接測量值計(jì)算出來的。

②誤差分配：由各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系及對總誤差的要求，確定各個(gè)參數(shù)測量的誤差。例如：制定測量方案時(shí)，當(dāng)總誤差由測量任務(wù)被限制在某一允許范圍內(nèi)時(shí)，如何確定各參數(shù)誤差的允許界限?這就是由總誤差求分項(xiàng)誤差的問題。它在實(shí)際測量中具有重要意義。

又例：制造一種測量儀器，要保證儀器的標(biāo)稱誤差不超過規(guī)定的準(zhǔn)確度等級，應(yīng)對儀器各組成單元的允許誤差提出分項(xiàng)誤差要求。基本概念：一、隨機(jī)誤差的合成式中：設(shè)：間接測量參數(shù)間關(guān)系：

在對X1、X2、…Xm進(jìn)行m次等精密度測量與計(jì)算，獲各量的σ1σ2…σm則：二、系統(tǒng)誤差的合成1.確定性系統(tǒng)誤差的合成當(dāng)隨機(jī)誤差δj不計(jì)時(shí),例：有5個(gè)1000Ω的電阻串聯(lián)，若各電阻產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差分別為：εl＝4Ω、ε2＝5Ω，ε3＝-3Ω

ε4＝6Ω

ε5＝4Ω；求總電阻的相對誤差γR

。

確定性系統(tǒng)誤差

可直接由誤差傳遞公式進(jìn)行合成。

------大小與符號均已確定的系統(tǒng)誤差2.系統(tǒng)不確定度的合成對于只知道誤差限,而不掌握其大小和符號的系統(tǒng)誤差稱為系統(tǒng)不確定度，用

表示。相對系統(tǒng)不確定度用表示。例如，儀器儀表的基本誤差和附加誤差都屬此類。

(1)算術(shù)(絕對值)綜合法相對系統(tǒng)不確定度其中：絕對系統(tǒng)不確定度

例P19-1

用伏安法測電阻。所用電壓表為0.2級、250V；測量值為200V。電流表為0.2級、3A；測量讀數(shù)為2A。計(jì)算電阻的測量誤差。

解：函數(shù)式及測量值：根據(jù)相對系統(tǒng)不確定度公式一般情況下

積商函數(shù)的算術(shù)不確定度為：算術(shù)合成法

適合于局部誤差較少的情況。當(dāng)局部誤差較多時(shí)，各局部誤差的符號會(huì)有正有負(fù)，∴會(huì)抵消一部分。這時(shí)再用算術(shù)合成法雖然保險(xiǎn)，但夸大了誤差范圍。這時(shí)可采用方和根合成法。(2)

方和根綜合法系統(tǒng)絕對不確定度系統(tǒng)相對不確定度

例P19-2

5個(gè)名義值為1000Ω、0.1級標(biāo)準(zhǔn)電阻串聯(lián)。總名義值為5000Ω。計(jì)算總電阻的誤差。采用算術(shù)合成法：

解：采用方和根合成法：例:

用DA—16型晶體管毫伏表的3V量程測量一個(gè)100kHz的1.5V電壓。已知該儀表的基本誤差為±3％(1kHz時(shí))，頻率附加誤差γj＝±3％(在20Hz~lMHz范圍內(nèi))。試求相對系統(tǒng)不確定度。相對系統(tǒng)不確定度最大示值相對誤差可見這種方法是按分項(xiàng)誤差同方向相加來考慮的，若再考慮溫度、電源電壓變化等多項(xiàng)附加誤差，顯然其合成結(jié)果是過于保守的。雖然比較保險(xiǎn)，但這種均為最大值的可能性是很小的。所以通常取方和根合成法。由儀表的基本誤差求出儀表3V量程最大的絕對誤差用方和根合成法:這個(gè)數(shù)比較合理。(3)微小誤差準(zhǔn)則在誤差合成中，有時(shí)誤差項(xiàng)較多，同時(shí)它們的性質(zhì)和分布不盡相同，估算起來相當(dāng)煩瑣。如果各誤差的大小相差比較懸殊，而且小誤差的數(shù)目又不多的話，則在一定條件下，可將小誤差忽略不計(jì)。該條件便稱為微小誤差準(zhǔn)則?，F(xiàn)設(shè)其中第K項(xiàng)誤差εK為微小誤差。根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)則:當(dāng)總誤差取二位有效數(shù)字時(shí)，若εK<(0.01~0.005)ε,則εK

便可忽略不計(jì)。當(dāng)總誤差取一位有效數(shù)字時(shí)，若εK<(0.1~0.05)ε,則εK

便可忽略不計(jì)。

1)系統(tǒng)誤差的微小準(zhǔn)則系統(tǒng)誤差的合成可用:2)隨機(jī)誤差的微小準(zhǔn)則隨機(jī)誤差的合成為:設(shè)其中第K項(xiàng)誤差δK為微小誤差，并令δ2--δK2=(δ′)2，根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)則，當(dāng)總誤差取一位有效數(shù)字時(shí)，有

可見：當(dāng)某分項(xiàng)誤差δk約小于總誤差δ的1／3時(shí)，便可忽略不計(jì)。當(dāng)總誤差取兩位有效數(shù)時(shí),有可推出：即當(dāng)某分項(xiàng)誤差δk比總誤差δ小約一個(gè)數(shù)量級時(shí)，便可將其忽略不計(jì)。三、誤差分配----即已知函數(shù)關(guān)系及函數(shù)誤差，確定自變量誤差

例：伏安法測電阻。R=V/A；要求R的測量誤差不超過ΔR。要滿足這一誤差要求，電壓、電流的測量誤差范圍應(yīng)是多少？應(yīng)選擇哪一準(zhǔn)確度等級的儀表進(jìn)行測量？

1)按對總誤差影響相同的原則分配誤差

即：

∴各自變量系統(tǒng)不確定度為：

1.按算術(shù)綜合法分配誤差：

2)按各自變量系統(tǒng)誤差均等的原則分配誤差2.按方和根綜合法分配誤差：

系統(tǒng)不確定度

按對總誤差影響相同的原則分配誤差

3.誤差分配方法與步驟

例P21設(shè)計(jì)一直流電橋步驟：由于各自變量與函數(shù)的關(guān)系不同，根據(jù)各誤差綜合公式配給各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差不一定合理。∴要根據(jù)實(shí)際情況，對初次分配進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整后要核算是否滿足總誤差要求，否則進(jìn)一步調(diào)整，直到滿足總誤差要求為止。*根據(jù)相應(yīng)誤差傳遞公式分配誤差；*根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整各誤差；*根據(jù)新調(diào)整各誤差值驗(yàn)算總誤差；§2.5

有效數(shù)字及數(shù)據(jù)舍入規(guī)則

0.5誤差原則：

由上述可見，每個(gè)數(shù)據(jù)舍入后,末位是欠準(zhǔn)數(shù)字,末位以前的數(shù)字是準(zhǔn)確數(shù)字。其舍入誤差基本不大于未位單位的一半,這個(gè)“一半”即為該數(shù)據(jù)的最大舍入誤差。所以通常認(rèn)為,當(dāng)測量結(jié)果未注明誤差時(shí),則認(rèn)為最后一位數(shù)字有0.5的誤差，稱為“0.5誤差原則”。

1、有效數(shù)字：

定義：從數(shù)字左邊第一個(gè)不為0數(shù)字算起,到最右邊含有誤差一位為止(包括0)。決定有效數(shù)字位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是誤差

保留數(shù)字位數(shù)應(yīng)與誤差一致。為了確切表示數(shù)字，誤差不得超過末位單位數(shù)字一半。如果多寫位數(shù)，就夸大了測量的準(zhǔn)確度；少記位數(shù)將帶來附加誤差。

通常的“四舍五入”規(guī)則中對于5只入不舍是不合理的。“5”是l一9的中間數(shù)字，應(yīng)當(dāng)有舍有入。在測量技術(shù)中規(guī)定：“小于5舍，大于5入，等于5時(shí)采取偶數(shù)”的法則。即：等于5時(shí)，將未位湊成偶數(shù)(即第n位原為奇數(shù)時(shí)加，原為偶數(shù)時(shí)不加)。2、測量技術(shù)中數(shù)據(jù)舍入規(guī)則

3、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則（參書P23）

例2：被測電流記為1000mA，是四位有效數(shù)字，表示精確到mA級，這時(shí)不能寫成1A，因?yàn)檫@樣只有一位有效數(shù)字了，但是可以寫成1.000A，仍為四位有效數(shù)字。反之，如果測量結(jié)果是lA就不能寫成1000mA。

例3:用0.5級、100V量程電壓表測量,指示值為85.35V,試確定有效數(shù)字位數(shù)。解：因?yàn)樵摿砍痰淖畲蠼^對誤差為±0.5V，根據(jù)“0.5誤差原則”,此數(shù)據(jù)末位應(yīng)是整數(shù),所以測量結(jié)果應(yīng)寫成兩位有效數(shù)字。根據(jù)舍入規(guī)則，示值末尾的0.35＜0.5，所以不標(biāo)注誤差的報(bào)告值應(yīng)為85.0V。（如此寫出報(bào)告值誤差較大）習(xí)慣上：使結(jié)果數(shù)據(jù)的末位與絕對誤差對齊，此例的誤差為0.5V，因此寫成85.4V。當(dāng)給出標(biāo)注誤差的報(bào)告值時(shí)寫為：85.4V±0.5V。

∴若將測量示值范圍寫成:84.85~85.85V。例1：20.80表示測量結(jié)果精確到百分位。20.8表示精確到十分位。

（如此寫出報(bào)告值夸大了測量的準(zhǔn)確度）§2.6測量設(shè)計(jì)一、測量條件考慮（參書P23）二、最佳測量條件的確定

當(dāng)測量結(jié)果與多個(gè)測量因素有關(guān)時(shí)，欲得到較高精度的測量結(jié)果，就必須確定測量時(shí)最有利的條件。解決方法：多從減小相對誤差入手，用微分學(xué)原理求函數(shù)極小值來尋求最佳條件。

為使εy最小，在函數(shù)形式確定后，可以選擇適當(dāng)?shù)臏y量狀態(tài)，使測量誤差減小到最低程度。準(zhǔn)確度高精密度高

從誤差角度出發(fā)，要做到：萬用表歐姆擋的簡化電路如圖2.8-l所示。試求指針在什么位置時(shí)測量誤差最小。由圖可知：

式中，R1、E是儀表總的等效內(nèi)阻,是常量。I確定指針的偏轉(zhuǎn)Rx對I的微分：相對誤差：求最小測量誤差點(diǎn)：令又因Rx＝0時(shí)，，所以測量誤差最小的條件是此結(jié)果表明，使用歐姆表時(shí)應(yīng)合理選擇量程，使指針盡可能偏轉(zhuǎn)至中心位置附近。一般情況下，分項(xiàng)誤差的數(shù)目愈少，合成誤差也愈小。∴在間接測量時(shí)，應(yīng)選擇測量值數(shù)目最少和函數(shù)關(guān)系最簡單的公式。例如，測電阻時(shí)，最好是用歐姆表或電橋直接測電阻，而不用電壓、電流表法測電阻；同理，能直接測電流時(shí)，最好不用測電壓、電阻法；測量功率時(shí)在測U、I、R

準(zhǔn)確度相近時(shí)，盡量用U，I法(γP＝γU+γI)，而不用I，R法(γP＝2γI+γR，等等。在選擇最佳測量方案時(shí)，除了注意上述措施外，還要考慮客觀條件限制，力爭根據(jù)現(xiàn)有條件制訂測量方案，并兼顧經(jīng)濟(jì)、簡便等因素。三、從測量數(shù)目考慮四、測量方案設(shè)計(jì)1.

在設(shè)計(jì)測量方案時(shí)，可以從下述幾個(gè)方面考慮(1)了解被測量的特點(diǎn)，明確測量目的例1：被測量是直流量還是交流量，若是直流，應(yīng)預(yù)先估計(jì)其內(nèi)阻大小；若是交流，要看頻率高低、是正弦量否，是線性變化否,是測有效值/平均值/峰值？需做周密考慮。例2：高頻量或脈沖量應(yīng)選擇寬頻帶示波器；非正弦電壓測量要進(jìn)行波形換算。

(2)確定測量原理，制訂初步方案根據(jù)被測對象的性質(zhì)，估計(jì)誤差范圍，分析主要影響因素，初步擬訂可選的幾個(gè)方案，再進(jìn)行優(yōu)選。對于復(fù)雜的測量任務(wù)，可采用間接測量方法，預(yù)先繪制測量框圖，搭接測量電路，制訂計(jì)算步驟及其計(jì)算公式等。在擬訂測量步驟時(shí)，要注意到：①應(yīng)使被測電路系統(tǒng)及測試儀器等均處于正常狀態(tài)。②應(yīng)滿足測量原理中所要求的測量條件。③盡量減小系統(tǒng)誤差，設(shè)法消除隨機(jī)誤差的影響，合理選擇測量次數(shù)及組數(shù)。(3)明確準(zhǔn)確度要求，合理選擇儀器類型

計(jì)量室或科研試驗(yàn)室多采用精密測量方法，要嚴(yán)格進(jìn)行誤差分析。對于工程性質(zhì)的問題多采用技術(shù)測量方法，對于測量誤差，雖然要求不是很嚴(yán)格，但也應(yīng)注意采用正確的測量方法、合理地選擇儀器儀表。根據(jù)被測量的性質(zhì)及環(huán)境條件來選擇儀器的類型及技術(shù)性能，并配置合適的標(biāo)準(zhǔn)元件，由被測量的大小和頻率范圍選擇儀器、儀表的量程，以滿足測量的準(zhǔn)確度要求。選擇測量儀器時(shí)可參考表2.8.1。(4)環(huán)境條件要符合測量要求測量現(xiàn)場的溫度、電磁干擾、儀器設(shè)備的安放位置及安全設(shè)施等，均應(yīng)符合測量任務(wù)的要求。必要時(shí)應(yīng)采取空調(diào)、屏蔽和減震等措施。2測量過程可分為三個(gè)階段

(1)

準(zhǔn)備階段：主要是選擇測量方法及儀器儀表。(2)測量階段：注意測量的準(zhǔn)確度、精密度、測量速度及正確記錄等。(3)數(shù)據(jù)處理階段：將測量數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，給出正確的測量結(jié)果，繪制表格