四、二次曲面第三節(jié)曲面及其方程

第四節(jié)二次曲面一、曲面方程的概念三、旋轉(zhuǎn)曲面

二、柱面1五、二次方程的化簡(jiǎn)一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離化簡(jiǎn)得即引例解:

設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為的點(diǎn)的軌跡方程.2說(shuō)明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程,

不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程.軌跡方程3定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程,4曲面研究的兩個(gè)基本問(wèn)題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).5故所求方程為例1求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)軌跡方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解：設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為R的表示上(下)半球面.6例2研究方程

解:

配方得此方程表示:一般地如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過(guò)配方研究它的圖形.其圖形可能是表示怎樣的曲面.半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.7二、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程解:在xoy

面上，表示圓C,沿曲線C平行于z

軸的一切直線所形成的曲面故在空間中過(guò)此點(diǎn)作平行z

軸的直線l,稱(chēng)為圓柱面.對(duì)任意z,表示圓柱面.在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程,8定義2.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z軸;準(zhǔn)線l為xoy

面上的拋物線.C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.9

表示母線平行于z軸的平面.(且z軸在平面上)表示母線平行于z

軸的橢圓柱面.10一般地,在三維空間二元方程表示柱面.方程母線準(zhǔn)線平行于z

軸在xoy

面x軸yoz

面zox

面y軸圖形11定義3一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸.例如:12建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),在曲面上任取一點(diǎn)給定yoz

面上曲線C:則有此時(shí)有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到13思考：當(dāng)曲線C

繞y

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？14例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解：

在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方15例4.求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.16解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.1718空間曲線及其方程一條空間曲線看作兩個(gè)曲面的交線，設(shè)曲面稱(chēng)之為空間曲線的一般式方程.19設(shè)有空間曲線C，過(guò)曲線C上的每一點(diǎn)作xOy面的垂線，這些垂線形成一個(gè)母線平行于z軸且過(guò)C的柱面，稱(chēng)之為曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面.這個(gè)柱面與xOy面的交線稱(chēng)為曲線C在xOy面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)投影.由此方程組消去z得到方程H(x,y)=0就是曲線C關(guān)于xOy面上的投影柱面方程.20投影柱面與xOy面的交線就是曲線C在xOy面上的投影曲線，即就是曲線C在xOy面上的投影曲線方程.例解：四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類(lèi)型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)211.橢球面(1)范圍：22(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓23與的交線為橢圓：同樣及的截痕也為橢圓.(3)截痕:24(4)當(dāng)a＝b

時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面：由看作橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．或252.橢圓錐面（二次錐面）263.雙曲面(1)單葉雙曲面27(2)雙葉雙曲面28注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:單葉雙曲面雙葉雙曲面294.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))特別,當(dāng)p=q

時(shí)為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.zxyoxyzo30(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號(hào))xyzo31內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.322.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:33五、二次曲面的化簡(jiǎn)利用化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法通過(guò)正交變換和平移變換把一般二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，以進(jìn)一步判別曲面的類(lèi)型.34例化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它是什么曲面.35解：令則原方程可以寫(xiě)為求出矩陣A的特征值及對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量分別為36令則有即37配方得作平移變換可得這就是原曲面方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示一個(gè)圓錐面.斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz

面的平面

圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面