實用標準文案一、知識點一>常用結(jié)論1．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.精彩文檔實用標準文案7.夾角公式 ：設(shè)a＝ ，b＝，則cos〈a，b〉= .精彩文檔實用標準文案．異面直線所成角：=精彩文檔實用標準文案（其中（ ）為異面直線所成角，精彩文檔實用標準文案分別表示異面直線的方向向量）精彩文檔實用標準文案9.直線 與平面所成角：(精彩文檔實用標準文案為平面的法向量).10.二面角 的平面角精彩文檔實用標準文案或（ ，精彩文檔實用標準文案為平面，的法向量）.精彩文檔實用標準文案11.空間兩點間的距離公式 若A ，B ，則=精彩文檔實用標準文案.精彩文檔實用標準文案異面直線間的距離：( 是兩異面直線，其公垂向量為，精彩文檔實用標準文案分別是上任一點，精彩文檔實用標準文案為間的距離).精彩文檔實用標準文案13.點 到平面的距離：精彩文檔實用標準文案（ 為平面的法向量，是經(jīng)過面精彩文檔實用標準文案的一條斜線，）.三個向量和的平方公式：精彩文檔實用標準文案15. 長度為 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 ，夾角分別為精彩文檔實用標準文案,則有精彩文檔實用標準文案.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例） .精彩文檔實用標準文案116. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是 、精彩文檔實用標準文案，它們所在平面所成銳二面角的).117. 球的組合體(1)球與長方體的組合體 :長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長 .(2)球與體的組合體 :體的切球的直徑是體的棱長 ,體的棱切球的直徑是體的面對角線長 ,體的外接球的直徑是體的體對角線長〈二〉溫馨提示：1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、 兩條異面直線所成的角等時， 你是否注意到它們各自的取值圍及義？精彩文檔實用標準文案①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值圍依次.精彩文檔實用標準文案②直線的傾斜角、 到的角、與精彩文檔實用標準文案的夾角的取值圍依次是．精彩文檔實用標準文案③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值圍分別是．〈三〉解題思路：、平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：精彩文檔實用標準文案線 面 平 行 的 判 定 ：線面平行的性質(zhì)：精彩文檔實用標準文案三垂線定理（及逆定理）：精彩文檔實用標準文案線面垂直：精彩文檔實用標準文案面面垂直：精彩文檔實用標準文案精彩文檔實用標準文案、三類角的定義及求法精彩文檔實用標準文案（1）異面直線所成的角θ， 0°＜θ≤90°（2）直線與平面所成的角θ， 0°≤θ≤90°精彩文檔實用標準文案精彩文檔實用標準文案（三垂線定理法： A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）三類角的求法：①找出或作出有關(guān)的角。②證明其符合定義，并指出所求作的角。③計算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。二、題型與方法【考點透視】不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成。求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量?！纠}解析】考點1 點到平面的距離求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點在平面的垂足，當然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用 .精彩文檔實用標準文案例 1 如圖，正三棱柱 的所有棱長都為，精彩文檔實用標準文案為中點．精彩文檔實用標準文案（ Ⅰ ） 求 證 ： 平 面；（Ⅱ）求二面角 的大?。痪饰臋n實用標準文案（ Ⅲ ） 求 點 到 平 面的距離．考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．精彩文檔實用標準文案解答過程：解法一：（Ⅰ）取 中點， 連 結(jié)．精彩文檔實用標準文案為 正 三 角 形 ，．精彩文檔實用標準文案正 三 棱 柱中 ， 平 面精彩文檔實用標準文案平 面，精彩文檔實用標準文案平 面．精彩文檔實用標準文案連 結(jié) ， 在 形中 ，分別為精彩文檔實用標準文案的 中 點 ，，．精彩文檔實用標準文案在 形 中 ，，精彩文檔實用標準文案平 面．精彩文檔實用標準文案（ Ⅱ ） 設(shè) 與交 于 點， 在 平 面精彩文檔實用標準文案中 ， 作于， 連 結(jié)精彩文檔實用標準文案， 由 （ Ⅰ ） 得平 面．精彩文檔實用標準文案，為 二 面 角的平面角．精彩文檔實用標準文案在 中 ， 由 等 面 積 法 可 求 得，精彩文檔實用標準文案又 ，．精彩文檔實用標準文案所 以 二 面 角 的 大 小 為．精彩文檔實用標準文案（ Ⅲ ） 中 ，，．精彩文檔實用標準文案在 正 三 棱 柱 中 ， 到 平 面的 距 離 為．精彩文檔實用標準文案設(shè) 點 到 平 面的 距 離 為．精彩文檔實用標準文案由 ， 得，．精彩文檔實用標準文案點到 平 面精彩文檔實用標準文案的 距 離 為．精彩文檔實用標準文案解 法 二 ： （ Ⅰ ） 取 中 點， 連 結(jié)．精彩文檔實用標準文案為 正 三 角 形 ，．精彩文檔實用標準文案在 正 三 棱 柱中 ， 平 面精彩文檔實用標準文案平 面，精彩文檔實用標準文案平 面．精彩文檔實用標準文案取 中 點， 以為 原 點 ，精彩文檔實用標準文案，，的 方 向 為精彩文檔實用標準文案軸的向建立空間直角坐標系，則，，精彩文檔實用標準文案，，，精彩文檔實用標準文案，，．精彩文檔實用標準文案，，精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案平 面．精彩文檔實用標準文案（ Ⅱ ） 設(shè) 平 面 的 法 向 量 為．精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案，，精彩文檔實用標準文案精彩文檔實用標準文案令 得為 平 面的一個法向量．精彩文檔實用標準文案由 （ Ⅰ ） 知 平 面，精彩文檔實用標準文案為 平 面的法向量．精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案二 面 角的 大 小 為．精彩文檔實用標準文案（ Ⅲ ） 由 （ Ⅱ ） ， 為 平 面法向量，．精彩文檔實用標準文案點到 平 面精彩文檔實用標準文案的 距 離．精彩文檔實用標準文案小結(jié)：本例中（Ⅲ）采用了兩種方法求點到平面的距離 .解法二采用了平面向量的計算方法，把不易直接求的 B點到平面 的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點K到平面 的距離的計算方法， 這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法； 解法一采用了等體積法， 這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖， 顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法 .考點2 異面直線所成的角此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角 .異面直線所成的角是高考考查的重點 .精彩文檔實用標準文案例 2 、 如 圖 ， 在 中 ，， 斜 邊．精彩文檔實用標準文案可 以 通 過以 直 線為 軸 旋 轉(zhuǎn) 得 到 ， 且 二 面 角精彩文檔實用標準文案的 直 二 面角 ． 是的中點．精彩文檔實用標準文案（ I ） 求 證 ： 平 面 平 面；（ II ） 求 異 面 直 線精彩文檔實用標準文案與所成角的大小．精彩文檔實用標準文案思路啟迪：（II）的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個三角形 .解答過程：解法 1：（I）由題意， ，，精彩文檔實用標準文案是 二 面 角是直二面角，精彩文檔實用標準文案， 又，精彩文檔實用標準文案平 面，精彩文檔實用標準文案又 平 面．精彩文檔實用標準文案平 面平 面．精彩文檔實用標準文案（ II ） 作 ， 垂 足 為， 連 結(jié)精彩文檔實用標準文案（ 如 圖 ） ， 則 ，精彩文檔實用標準文案是 異 面 直 線與所成的角．精彩文檔實用標準文案在 中 ，，，精彩文檔實用標準文案．又 ．精彩文檔實用標準文案在中 ，．精彩文檔實用標準文案異 面 直 線與精彩文檔實用標準文案所 成 角 的 大 小 為．精彩文檔實用標準文案解法2：（I）同解法 1．（II）建立空間直角坐標系 ，如圖，則，精彩文檔實用標準文案，，，精彩文檔實用標準文案，，精彩文檔實用標準文案．精彩文檔實用標準文案異 面 直 線與精彩文檔實用標準文案所 成 角 的 大 小 為．小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體， 其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的精彩文檔實用標準文案關(guān)系，如解析三 .一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法 .同時要特別注意異面直線所成的角的圍： .考點3 直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算 .線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考容 .精彩文檔實用標準文案例 3. 四 棱 錐 中 ， 底 面為 平 行 四 邊 形 ， 側(cè) 面底 面精彩文檔實用標準文案． 已 知，，精彩文檔實用標準文案，．（Ⅰ）證明 ；精彩文檔實用標準文案（ Ⅱ ） 求 直 線 與 平 面所成角的大?。饰臋n實用標準文案考查目的：本小題主要考查直線與直線 ,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．精彩文檔實用標準文案解答過程： 解法一：（Ⅰ）作 ，垂足為， 連 結(jié)， 由 側(cè) 面精彩文檔實用標準文案底 面，精彩文檔實用標準文案得 底 面．精彩文檔實用標準文案因 為 ， 所 以，精彩文檔實用標準文案又 ， 故為 等 腰 直 角 三 角 形 ，，精彩文檔實用標準文案由三垂線定理，得 ．（ Ⅱ） 由 （Ⅰ ） 知 ， 依 題 設(shè)，精彩文檔實用標準文案故 ， 由，精彩文檔實用標準文案，，得精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案的 面 積．精彩文檔實用標準文案連 結(jié) ， 得的 面 積精彩文檔實用標準文案設(shè) 到 平 面的 距 離 為精彩文檔實用標準文案， 由 于，得精彩文檔實用標準文案， 解 得．精彩文檔實用標準文案設(shè) 與 平 面所 成 角 為精彩文檔實用標準文案， 則．精彩文檔實用標準文案所 以 ， 直 線 與 平 面所 成 的 我 為．精彩文檔實用標準文案解法二：（ Ⅰ ） 作 ， 垂 足 為， 連 結(jié)精彩文檔實用標準文案， 由 側(cè) 面底 面， 得精彩文檔實用標準文案平 面．精彩文檔實用標準文案因 為 ， 所 以．精彩文檔實用標準文案又 ，為 等 腰 直 角 三 角 形 ，．精彩文檔實用標準文案如 圖 ， 以 為 坐 標 原 點 ，為精彩文檔實用標準文案軸 正 向 ， 建 立 直 角 坐 標 系，精彩文檔實用標準文案，，，精彩文檔實用標準文案，，精彩文檔實用標準文案，， 所 以．精彩文檔實用標準文案（ Ⅱ ） 取 中 點，，精彩文檔實用標準文案連 結(jié) ， 取中 點， 連 結(jié)精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案，，．精彩文檔實用標準文案，，與 平 面精彩文檔實用標準文案兩 條 相 交 直 線，垂直．精彩文檔實用標準文案所 以 平 面，與精彩文檔實用標準文案的 夾 角 記 為，與 平 面精彩文檔實用標準文案所 成 的 角 記 為， 則精彩文檔實用標準文案與互余．精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案，，精彩文檔實用標準文案所 以 ， 直 線 與 平 面所 成 的 角 為．精彩文檔實用標準文案小結(jié)：求直線與平面所成的角時， 應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系； （2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計算——常用解三角形的方法求角，④結(jié)論——點明直線和平面所成的角的值 .考點4 二面角此類題主要是如何確定二面角的平面角， 并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個合適的三角形中進行求解 .二面角是高考的熱點，應(yīng)重視 .例 4．如圖，已知直二面角 ，，精彩文檔實用標準文案，，，精彩文檔實用標準文案， 直 線和 平 面精彩文檔實用標準文案所 成 的 角 為．精彩文檔實用標準文案（ I ） 證 明 ；（II）求二面角 的大?。饰臋n實用標準文案命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力 .精彩文檔實用標準文案過程指引：（I）在平面 過點作于 點精彩文檔實用標準文案， 連 結(jié)．精彩文檔實用標準文案因 為 ，， 所 以，精彩文檔實用標準文案又 因 為 ， 所 以．精彩文檔實用標準文案而 ， 所 以，，精彩文檔實用標準文案從 而 ， 又，精彩文檔實用標準文案所 以 平 面． 因 為平 面精彩文檔實用標準文案， 故．精彩文檔實用標準文案（II）解法一：由（I）知， ，又，，精彩文檔實用標準文案， 所 以．精彩文檔實用標準文案過 點 作于 點， 連 結(jié)精彩文檔實用標準文案， 由 三 垂 線 定 理 知 ，．精彩文檔實用標準文案故 是 二 面 角的平面角．精彩文檔實用標準文案由 （ I ） 知 ， ， 所 以是和 平 面精彩文檔實用標準文案所 成 的 角 ， 則，精彩文檔實用標準文案不 妨 設(shè) ， 則，．精彩文檔實用標準文案在 中 ，， 所 以，精彩文檔實用標準文案于 是 在 中 ，．精彩文檔實用標準文案故 二 面 角 的 大 小 為．精彩文檔實用標準文案解 法 二 ： 由 （ I ） 知 ，，，精彩文檔實用標準文案， 故 可 以為 原 點 ， 分 別 以 直 線為精彩文檔實用標準文案軸 ，軸 ，軸建立空間直角坐標系（如圖）．精彩文檔實用標準文案因 為 ， 所 以是和 平 面精彩文檔實用標準文案所 成 的 角 ， 則．精彩文檔實用標準文案不 妨 設(shè) ， 則，．精彩文檔實用標準文案在 中 ，，所以 ．精彩文檔實用標準文案則相關(guān)各點的坐標分別是，，精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案所 以 ，．精彩文檔實用標準文案設(shè)是 平 面精彩文檔實用標準文案的 一 個 法 向 量 ， 由得精彩文檔實用標準文案取 ， 得．精彩文檔實用標準文案易 知 是 平 面的一個法向量．精彩文檔實用標準文案設(shè) 二 面 角 的 平 面 角 為， 由 圖 可 知 ，．精彩文檔實用標準文案所以 ．故 二 面 角 的 大 小 為．精彩文檔實用標準文案小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題 .解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個面的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個平面的兩條平行直線找出棱， ③補形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱； 解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法， 即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小 .考點5 利用空間向量求空間距離和角眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定 .當掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強有力的工具時， 不僅會降低題目的難度， 而且使得作題具有很強的操作性.精彩文檔實用標準文案例 5 ． 如圖， 已 知 是棱 長 為的 體 ， 點在精彩文檔實用標準文案上 ， 點在精彩文檔實用標準文案上 ， 且．（1）求證： 四點共面；精彩文檔實用標準文案（ 2 ） 若 點 在上 ，， 點精彩文檔實用標準文案在上 ，， 垂 足 為精彩文檔實用標準文案， 求 證 ：平 面；精彩文檔實用標準文案（ 3 ） 用 表 示 截 面和 側(cè) 面精彩文檔實用標準文案所成 的 銳二 面角 的 大 小 ， 求．精彩文檔實用標準文案命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、 線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識和基本運算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力．過程指引：解法一：精彩文檔實用標準文案（ 1 ） 如 圖 ， 在 上 取 點， 使， 連 結(jié)精彩文檔實用標準文案，， 則精彩文檔實用標準文案，．精彩文檔實用標準文案因 為 ，， 所 以 四 邊 形精彩文檔實用標準文案，都為平行四邊形．精彩文檔實用標準文案從