第三節(jié)（5）本節(jié)內(nèi)容:一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

第五章

問題：1.方程（組）滿足何條件才能確定隱函數(shù)；

前面討論了如果一個(gè)二元方程確定了一個(gè)隱函數(shù)，可以不對這個(gè)隱函數(shù)顯式化而直接求其導(dǎo)數(shù)的問題．2.方程（組）確定的隱函數(shù)如何求導(dǎo)（偏導(dǎo)）.一、一個(gè)方程時(shí)的情形１．一個(gè)二元方程任何一個(gè)二元方程在任何條件下都可以確定一個(gè)隱函數(shù)嗎？考慮方程在點(diǎn)（1,0）附近的情況，在點(diǎn)（0,1）附近呢？討論：函數(shù)是x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，若對于

，變量y按照確定的法則總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù).答：方程

在點(diǎn)（1,0）附近，對于任意的x

，都有y的兩個(gè)值

與之對應(yīng)，因此，在點(diǎn)（1,0）附近該方程不能確定一個(gè)函數(shù)

．

事實(shí)上，對任意一個(gè)給定的方程，要由它確定一個(gè)隱函數(shù)是需要一些條件的，為此有隱函數(shù)存在定理.但在點(diǎn)(0,1)附近就不同了，在這點(diǎn)附近，對于任意的x

都有y的唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)．因此，在點(diǎn)（0,1）附近該方程能確定一個(gè)函數(shù)

．定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)①的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)②③滿足條件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)由定理的條件與結(jié)論來看，條件中的意義何在？在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；滿足由于及連續(xù)，因此存在的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，這個(gè)結(jié)論是由哪個(gè)條件保證的呢？關(guān)于隱函數(shù)存在性的證明省略，我們僅在隱函數(shù)存在的前提下，借助多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t來說明的正確性．

將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程中，得將方程的兩端分別對x求導(dǎo)，左端利用鏈?zhǔn)椒▌t得于是得看到定理?xiàng)l件中偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的意義了嗎？若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束并求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束增加方程中變量的個(gè)數(shù)2．三元或三元以上的方程兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法1

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)例2.設(shè)解法2利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束再對x

求導(dǎo)例3.設(shè)例4.設(shè)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即雅可比目錄上頁下頁返回結(jié)束二、方程組確定的隱函數(shù)情形定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P

的某鄰域內(nèi)公式目錄上頁下頁返回結(jié)束故得系數(shù)行列式同樣可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

設(shè)解:方程組兩邊對x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):

求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:由題設(shè)故有例6.

設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對x

求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),

求(99考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得內(nèi)容小結(jié)1.