第十三章軸對(duì)稱復(fù)習(xí)課1生活中的軸對(duì)稱

軸對(duì)稱

等腰三角形用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱歸納與整理性質(zhì)軸對(duì)稱圖形兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱性質(zhì)判定等邊三角形特殊2專題一：軸對(duì)稱

一、知識(shí)要點(diǎn)1.軸對(duì)稱

(1)軸對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。(2)軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。

(3)圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。3

(4)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。(5)圖形對(duì)稱軸的做法：要作兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸，只要找到這兩個(gè)圖形的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后連接它們，得到一條直線，在作出這條線段的垂直平分線，這條垂直平分線就是這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸。

2.線段的垂直平分線

(1)經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做線段的垂直平分線。(2)線段垂直平分線的性質(zhì)：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

4正方形、長方形、等腰三角形、等腰梯形和圓都是軸對(duì)稱圖形。有的軸對(duì)稱圖形有不止一條對(duì)稱軸。5二、題目特點(diǎn)：判斷軸對(duì)稱圖形或?qū)ΨQ軸的條數(shù)根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作對(duì)稱軸用線段垂直平分線的性質(zhì)解決計(jì)算題或進(jìn)行證明說理三、解題切入點(diǎn)：熟練掌握軸對(duì)稱圖形概念、性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解決有關(guān)問題的關(guān)鍵。例1國旗是一個(gè)國家的象征，觀察下面的國旗，是軸對(duì)稱圖形的是（）A.加拿大、韓國、烏拉圭B.加拿大、瑞典、澳大利亞C.加拿大、瑞典、瑞士D.烏拉圭、瑞典、瑞士

加拿大韓國澳大利亞烏拉圭瑞典瑞士C6例2

小明照鏡子的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)T恤上的英文單詞在鏡子中呈現(xiàn)“”的樣子，請(qǐng)你判斷這個(gè)英文單詞（）ABCD例3哪一面鏡子里是他的像？A7例4

如圖，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從Ａ、B到它的距離相等？街道居民區(qū)A居民區(qū)BPNMABL8例5

如圖，△ABC中，∠BAC=120°，若DE、FG分別垂直平分AB、AC，△AEF的周長為10cm,求∠EAF的度數(shù)及BC長。ACEFGBD解：∵

∠BAC=120°∴∠B+∠C=60°又∵DE垂直平分AB∴BE=AE，∠B=∠BAE同理AF=CF，∠C=∠CAF∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=10cm∠EAF=∠BAC-∠BAE-∠CAF

=120°-∠B-∠C=60°9例6

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分線交AC于D，求∠FBC的度數(shù)。ACBD解：∵AB=AC，∠A=50°∴∠ABC=∠C=65°

又∵AC是線段AB的垂直平分線∴AF=FB

∴∠ABF=∠A=50°

從而∠

DBC=∠ABC-∠ABD

=65°-50°=15°F10專題二：軸對(duì)稱變換一、知識(shí)要點(diǎn)1.軸對(duì)稱變換

(1)有一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換。由軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)；連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分。(2)作一個(gè)平面圖形的對(duì)稱圖形，先作一些點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就可得到原圖形的軸對(duì)稱圖形。對(duì)于線段、三角形、四邊形等由直線、線段或射線組成的圖形，只要做出原圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可得到相應(yīng)的對(duì)稱圖形。(3)利用軸對(duì)稱變換設(shè)計(jì)圖案，主要是借助平移等有關(guān)知識(shí)。11ABCmA1B1C1...∴△A1B1C1為所求由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換12

2.以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱圖形

(1)點(diǎn)P（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為P1（x,-y）點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為P2（-x,y）(2)作一個(gè)圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的圖形，一般先作圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)即可。二、題型特點(diǎn)(1)作一個(gè)平面圖形關(guān)于已知直線的對(duì)稱圖形(2)求已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)(3)根據(jù)軸對(duì)稱變換設(shè)計(jì)圖案(4)根據(jù)軸對(duì)稱變換解決實(shí)際生活中問題三、解題切入點(diǎn)：作一個(gè)平面圖形的軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是確定原圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)，只要作出這些關(guān)鍵點(diǎn)之間的對(duì)稱點(diǎn)，然后按原圖形的順序連接即可；求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)稱點(diǎn)之間的坐標(biāo)特征。13例1

如圖，以直線AE為對(duì)稱軸，畫出該圖形的另一部分。BCADEFH解：作圖過程如下：

(1)分別作出點(diǎn)B、C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F、H。(2)連結(jié)AF、FD、DH、HE，得到所求的圖形。14A`（-４,-1）31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1C（-3,2）B（-1,-1）A（-４,1）···如圖，利用關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，分別作出△ABC關(guān)于X軸和y

軸對(duì)稱的圖形。B``（1,-1）C``（3,2）A``（４,1）······C`（-3,-2）B`（-1,1）xy點(diǎn)P（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，-b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，b）15例2

如圖，(1)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將△ABC向右平移6個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)觀察△A1B1C1和△A2B2C2，它們是否關(guān)于某直線對(duì)稱？若是，畫出這條對(duì)稱軸。yx

-2-1012345674321ABC(A1)B1C1X=3A2C2B216例3點(diǎn)M(3a-b,4)與點(diǎn)N(9，2a+b)關(guān)于x軸對(duì)稱，求a和b。解：由于(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y),則

點(diǎn)M(3a-b,4)與點(diǎn)N(9，2a+b)關(guān)于x軸對(duì)稱有

3a-b=94=-(2a+b)

∴a=1,b=-6若M、N關(guān)于y軸對(duì)稱又怎樣？17例4.利用軸對(duì)稱變換作圖：1.如圖：要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道什么地方，可使所用的輸氣管道線最短？ABLP182.

如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線，作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F,2.作點(diǎn)D關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,

3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGH19

3.某中學(xué)七（4）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？

作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D,2.作點(diǎn)C關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,

3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOBＣ.EDMNGH20（1）（2）例5如圖，是由三個(gè)小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在圖中補(bǔ)畫一個(gè)小正方形，使補(bǔ)畫后的圖形為軸對(duì)稱圖形．21（3）（4）例5如圖，是由三個(gè)小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在圖中補(bǔ)畫一個(gè)小正方形，使補(bǔ)畫后的圖形為軸對(duì)稱圖形．22專題三：等腰三角形一、知識(shí)要點(diǎn)：1.等腰三角形(1)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。(2)性質(zhì):①等腰三角形的兩個(gè)底角相等②等腰三角形的頂角平分線、底邊的中線、底邊上的高互相重合。(3)判別方法：①有兩條邊相等（概念）②等角對(duì)等邊23

2.等邊三角形

(1)三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，其是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸。(2)性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角都是60°(3)判定：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形③有三個(gè)邊都相等的三角形是等邊三角形直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半推論24二、題型特點(diǎn)：(1)計(jì)算題，如求等腰三角形的腰長、周長、角等(2)說理題，如證明一個(gè)三角形是等腰(或等邊)三角形(3)實(shí)際應(yīng)用題，如根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)造等腰三角形解決問題三、解題切入點(diǎn)：解決和等腰三角形有關(guān)的計(jì)算問題，要把握等腰三角形的性質(zhì)，注意分類思想在等腰三角形中的應(yīng)用，解決證明問題主要依據(jù)等腰(或等邊)三角形的性質(zhì)和判定方法，有的問題還需要做恰當(dāng)?shù)妮o助線。25例1如圖7,在△ABC中,已知AB=AC,BD、CE是兩條角平分線，BD、CE相交于點(diǎn)O，△OBC是等腰三角形嗎？為什么？

解：△OBC是等腰三角形∵在△ABC中，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）又∵BD、CE是兩條角平分

∴∠DBC=∠ABD，∠ACB=∠ECB而∠ABC=∠DBC+∠ABD∠ACB=∠ACB+∠ECB∴∠DBC=∠ECB即△OBC是等腰三角形26例2如圖，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB，且△DEF也是等邊三角形．除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的.解：圖中還有相等的線段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE，∵△ABC與△DEF都是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD，又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD，∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），∴AE=BF=CD，AF=BD=CE.27例3

如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB,BC為邊在AC同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，AE交BD于點(diǎn)Ｆ，DC交BE于點(diǎn)Ｇ，(1)求證：AE=DCDABECFG證明：∵△ABD、△BCE是等邊三角形∴AB=DB,BE=BC∠ABD=∠CBE=60°

又∵∠ABE=∠ABD+∠DBE∠DBC=∠CBE+∠DBE

∴∠ABE=∠DBC在△ABD和△BCE中

AB=DB

∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABD≌△BCE∴AE=DC28

(2)求證：ＢF＝ＢG

(△BFG是等邊三角形)(3)求證：FG∥ACDABECFG12345證明：由(1)得

△ABD≌△BCE∴∠4=∠5∵△ABD、△BCE是等邊三角形∴AB=DB，∠1=∠2=60°

從而有∠3=∠1=60°在△ABF和△DBG中

∠3=∠1∠4=∠5AB=DB∴△ABF≌△DBG∴ＢF＝ＢG29又

CE=

CD，∴∠CDE=

∠CED，證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵BD⊥AC，例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E，使CE=CD，過點(diǎn)D作DF⊥BE于F．求證：（1）BD=DE；ABCDEF∴∠DBC=∠ACB=30°．30∴∠CED=∠ACB=30°．∴∠DBC=

∠CED，∴BD=

DE．

例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E，使CE=CD，過點(diǎn)D作DF⊥BE于F．求證：（1）BD=DE；ABCDEF證明：31證明：在△BDE中，BD=DE，DF⊥BE，∴BF=EF．

例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E，使CE=CD，過點(diǎn)D作DF⊥BE于F．求