變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念

在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的變化速度。如物體的運(yùn)動速度，電流強(qiáng)度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。

Newton1642—1727

英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家．他在物理學(xué)上最主要的成就是發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律.數(shù)學(xué)上，他與德國萊布尼茲創(chuàng)建了“微積分學(xué)”費(fèi)爾馬阿基米德

Archimedes

前287—前212

古希臘數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家．在數(shù)學(xué)上，他利用窮竭法解決了許多復(fù)雜的曲線或曲面圍成的平面圖形或立方體的求積問題．牛頓PierredeFermat1601—1665

法國數(shù)學(xué)家．律師．業(yè)余研究數(shù)學(xué)．解析幾何的創(chuàng)始人．有著名的“費(fèi)爾馬大定理”．1638年發(fā)現(xiàn)求極值的方法，是微積分學(xué)的先驅(qū)．引例：汽車早上9:00從距離A地10公里的B地出發(fā)，11:00到達(dá)距A地130公里的C地，求汽車的平均速度ABC定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其附近有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有改變量Dx時，函數(shù)y相應(yīng)的增量

Dy=f(x0+Dx)－f(x0)平均變化率瞬時速度

一小球做自由落體運(yùn)動，考察小球在研究其運(yùn)動方程為秒時的.引例…[1.5,2]

[1.99,2][1.9999,2]0.50.01

0.0001

…17.15019.55119.6002019.6[2,2.001]0.00119.605[2,2.01]0.0119.64922.0500.5[2,2.5]其變化情況見下表：定義：如果當(dāng)Dx0

時，的極限存在這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或瞬時變化率）作即導(dǎo)數(shù)的定義其它形式:什么叫做極限呢？男孩喜歡上了女孩，他向她表白，女孩拒絕了，她說：我整整比你大一歲。男孩說：我1個月時，你13個月。你是我的13倍。我2個月時，你14個月。你是我的7倍。我一歲時，你兩歲，你是我的兩倍。只要你愿意和我永遠(yuǎn)在一起，我們總在慢慢無限接近……如果存在，處導(dǎo)數(shù)為無窮大在處不可導(dǎo)則稱可導(dǎo)與不可導(dǎo)如果不存在，在處可導(dǎo)則稱如果則稱在求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)可分為以下三個步驟：

(1)求函數(shù)的增量:(2)算比值,(3)取極限，得y=f(x)導(dǎo)數(shù)例1:已知y=x2，求(1)函數(shù)在區(qū)間的平均變化率(2)函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)；課堂練習(xí)

導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：

是一常數(shù)。

是一函數(shù)。

聯(lián)系：

注：通常，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)．

曲線的切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點(diǎn),Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.PQoxyy=f(x)割線切線T請看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時,割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動的情況.

當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.

設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:

應(yīng)用:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:(1)利用切線斜率的定義求出切線的斜率.(2)利用點(diǎn)斜式求切線方程.1、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率；2、函數(shù)f(x)的曲線在點(diǎn)x0處有切線，而函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)。如函數(shù)在x=0處有切線，但不可導(dǎo)。注意練習(xí)鞏固1、已知曲線y=x2上一點(diǎn)A（1，1），則點(diǎn)A處的切線的斜率為

。2、過曲線y=x2上一點(diǎn)P的切線的傾斜角為45°，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是

.故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程是:在點(diǎn)P附近,曲線可以用過點(diǎn)P的切線近似代替以直代曲的思想例:在三米板跳水中某一運(yùn)動員距離水面的高度隨時間變化的函數(shù)為h(t)=-t2+2t+3,試求該函數(shù)在(1)t=0,(2)t=1,(3)t=2時的導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖象,描述,比較曲線在上述三種情況附近的變化情況30143th歸納:1、f’(x0)>0,f(x)