第十八講兩角和與差及二倍角公式回歸課本1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβS(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβT(α+β)∶tan(α+β)=(α,β,α+β≠kπ+,k∈Z)T(α-β)∶tan(α-β)=(α,β,α-β≠kπ+,k∈Z).注意:(1)注意公式的適用范圍:在T(α±β)中,α,β,α±β都不等于kπ+

(k∈Z).即保證tanα?tanβ?tan(α±β)都有意義.(2)對公式tan(α+β)=,下面的四種變式在以后的解題中經常用到:①=tan(α+β)(逆用);②1-tanαtanβ=③tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);④tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ.2.在和角公式S(α+β)?C(α+β)?T(α+β)中,當α=β時就可得到二倍角的三角函數公式S2α?C2α?T2α.sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,tan2α=3.余弦二倍角公式有三種形式,即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得變形公式sin2α=,cos2α=,它的雙向應用分別起到縮角升冪和擴角降冪的作用.4.asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,tanφ=.φ的終邊所在象限由點(a,b)來確定.注意:(1)公式成立的條件:在公式中,只有當公式的等號兩端都有意義時,公式才成立.(2)公式應用要講究一個“活”字,即正用?逆用?變形用,還要創(chuàng)造條件用公式,如拆角?配角技巧:β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.注意切化弦?通分等方法的的使用,充分利用三角角函數值的變變式,如1=tan45°,-1=tan135°,=tan60°,=cos60°或=sin30°,sinx+cosx=2sin學會靈活地運運用公式.(3)當角α,β中有一個角為為90°的整數倍時,使用誘導公式式較為簡便,誘導公式是兩兩角和與差的的三角函數公公式的特例.(4)搞清公式的來來龍去脈,C(α-β)是基礎,其他公式都是是用代換法及及誘導公式得得到的推論,即(5)二倍角公式的的正用?逆用及變形用用是公式的三三種主要使用用方法,特別是變形用用有時恰是解解題思路的關關鍵.如:2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=cos2α-sin2α=cos2α,=tan2αα,1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosαα=(sinαα±cosαα)2,1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.考點陪練1.sin15°cos75°+cos15°°sin105°等于()解析:sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°°=sin90°=1.答案:D答案:A答案:B4.下列各式中,值為的的是()A.2sin15°cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°答案:B答案:A類型一 兩角角和與差的三三角函數解題準備:利用和差公式式對三角函數數式進行化簡簡與求值,是每年高考必必考內容,縱觀近幾年的的高考試題,對本考點的內內容一是直接接考查,二是以和差公公式為角的變變換工具,與向量?函數?不等式等知識識相結合的綜綜合題.[分析]先將條件等式式展開,聯立方程組求求得sinα?cosβ與cosα?sinβ的值,再將待求式子子化簡即可.[反思感悟]已知三角函數數值,求三角函數式式的值,往往要對待求求式進行化簡簡.像本題通過化化簡發(fā)現必須須先求的的值,而已知條件為為正弦函數值值,因此由求轉轉化為求的值,從而容易想到到將兩個條件件等式展開,再聯立方程組組即可.類型二 二倍倍角的三角函函數解題準備:本考點的考查查基本上是以以二倍角公式式或變形公式式為工具,對角或函數名名稱進行恰當當變換,以化簡求值為為主,在具體問題中中,必須熟練準確確地運用公式式.[反思感悟]二倍角的余弦弦公式的正用用是化倍角為為單角,相應三角函數數式項的次數數翻倍(即升冪);其逆用則是化化二次式為一一次式(即降冪),單角變倍角,求解中注意倍倍角與單角的的相對性.類型三 輔助助角公式的應應用解題準備:1.由S(α+β),我們可以得出出輔助角公式式,即asinx+bcosx=sin(x+φ)(其中φ角的終邊所在在象限由a,b的符號確定,φ角滿足cosφ=,sinφ=,這是經常用到到的一個公式式,它可把含sinx、cosx的一次式的三三角函數式化化為Asin(x+φ)的形式,從而進一步探探索三角函數數的性質.錯源一 使用用公式時不注注意使用條件件[剖析]這是一道熱點點測試題,上述解法執(zhí)行行了“標準”答案選A.題設條件中的的m∈(0,1),事實上,如當α=2kπ+(k∈Z)時,1-2m2=0,tan2α失掉意義,若題設條件中中限制m≠,則應當選A.[答案]D錯源二 求角角時對角的范范圍討論不準準確【典例2】若tan(α-β)=,tanβ=,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.[剖析]上述解法就是是犯了對角的的討論不正確確而錯誤確定定了所求角的的取值范圍.技法一 構造造斜率【典例1】求值:[解]設A(cos40°,sin40°),B(cos20°,sin20°),于是所求是A?B兩點連線的斜斜率kAB,而A?B兩點都在單位位圓x2+y2=1上.設直線AB與x軸交于C點,作OD⊥AB垂足為D.易知∠xOB=20°,∠xOA=40°°,∠BOA=20°,∠BOD=10°,于是在Rt△COD中,∠COD=30°,∠∠DCO=60°,于是直線AB的傾斜角∠xCD=120°,所以kAB==tan120°=技法二 巧用用兩角和與差差公式解題一?巧變角1.巧湊角【典例2】若銳角α、β滿足cosα=,cos(α+ββ)=,求sinβ的值.[解]注意到β=(α+ββ)-α,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(αα+β)cosα-cos(α+ββ)sinαα∵α為銳角且cosα=,∴sinα=2.巧拆角【典例3】求的的值.[解題切入點]該題為非特殊殊角三角函數數求值,不能直接進行行,注意拆角向特特殊靠攏易求求值.二?巧變公式結構構【典例4】求tan25°°+tan35°+tan25°tan35°的值.[解]注意到25°+35°=60°°,故用兩角和正正切變形公式式.原式=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°=(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°°=三?巧引參數【典例5】已知銳角α、β滿足條件求求證證α+β=.[解題切入點]若注意到已知知條件滿足公公式sin2α+cos2α=1時,可引進參數θ,進行三角代換換.[證明]由已知可設=cosθ,=sinθ,則有sin2α=cosθθ?cosβ,①①cos2α=