第二章

函數1．了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念．2．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖像法、列表法、解析法)表示函數．

3．了解簡單的分段函數，并能簡單應用．4．理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義；結合具體函數，了解函數奇偶性的含義．

5．會運用函數圖像理解和研究函數的性質．

函數概念和性質是高中數學中最重要的內容之一，它貫穿于整個高中數學的始終，是初等數學與高等數學銜接的重要平臺，函數的綜合問題在每年高考的后三題都有一道解答題，考查對函數的圖像和圖像的變換等知識的理解以及數形結合、分類討論、變量代換、轉化化歸、方程理論等數學思想與方法的運用能力，難度較大．預計2012年高考，對函數的概念與性質只會加強，不會削弱，在函數、方程、不等式、數列、三角函數、解析幾何知識交匯處命題進行考查．第1講函數與映射的概念

1．函數的概念

(1)函數的定義 設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的___________，在集合B中每一個數x都有__________的數和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為_____________.唯一確定y＝f(x)，x∈A

(2)函數的定義域、值域 在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，______________A叫做y＝f(x)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，______________________稱為函數y＝f(x)的值域．函數值的集合{f(x)|x∈A}(3)函數的三個要素，即_______________________.x的取值范圍定義域、值域和對應關系f2．映射的概念

設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的______元素，在集合B中都有__________的元素與之對應，那么這樣的對應叫做從A到B的映射，通常記為_________.任意

f：A→B唯一確定AB4．函數y＝lg(4－x)

x－3的定義域是_______________.

5．設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，給出如圖2－1－1所示四個圖像，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的是________(填序號)．{x|x<4且x≠3}[1,2)②③考點1有關映射與函數的概念

例1：若f：y＝3x＋1是從集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一個映射，則自然數a＝________，自然數k＝________；集合A＝________、B＝________.

解題思路：處理映射有關問題的關鍵是理解透概念．理解映射的概念，應注意以下幾點：①集合A、B及對應關系f是確定的，是一個整體系統；

②對應關系有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的；

③集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應的本質特征； ④集合A中不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個；⑤不要求集合合B中的每一個元元素在集合A中都有原象，集合中的的元素不能重重復、無序．【互動探究】1．已知映射：：f：A→B，其中A＝B＝R，對應關系f：x→y＝－x2＋2x，對于實數k∈B，且在集合A中沒有元素與之對應，則則k的取值范圍是是()A．k>1B．k≥1C．k<1D．k≤1解析：y＝－(x－1)2＋1≤1，若k∈B，且在集合A中沒有元素與之之對應，則k>1.A考點2判斷兩函數是是否為同一個個函數解題思路：要判斷兩個函函數是否表示示同一個函數數，就是要考查函數數的三要素．．(3)由于當n∈N*時，2n±1為奇數，

它們的定義域、值域及對應關系都相同，∴它們是同一函數．

它們的定義域不同，∴它們不是同一函數．

(5)函數的定義域、值域和對應關系都相同，∴它們是同一一函數．構成函數的三三個要素是定定義域、對應應關系和值域．由于值值域是由定義義域和對應關關系確定的，，所以，如果兩個函數的的定義域和對對應關系完全全一致，即稱稱這兩個函數為同一函數數．第(5)小題易錯判斷斷成它們是不不同的函數．．原因是對函數數的概念理解解不透，在函函數的定義域域及對應關系f不變的條件下下，自變量變變換字母對于于函數本身并并無影響，比如f(x)＝x2＋1，f(t)＝t2＋1，f(u＋1)＝(u＋1)2＋1都可視為同一函函數．【互動探究】2．若一系列函函數的解析式式相同，值域域相同，但定定義域不同，則稱稱這些函數為為“孿生函數數”．例如解解析式為y＝2x2＋1、值值域域為為{9}的孿孿生生函函數數有有三三個個：：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么么函函數數的的解解析析式式為為y＝2x2＋1、值值域域為為{1,5}的孿孿生生函數數共共有有()CA．5個B．4個C．3個D．2個錯源源：：對對復復合合函函數數定定義義域域理理解解不不透透例3：(1)若函函數數f(x)的定定義義域域為為[2,3]，則則f(x－1)的定定義域域為為________；(2)若函函數數f(x－1)的定定義義域域為為[2,3]，則則f(x)的定定義義域域為為________；(3)若函數數f(x－1)的定義義域為為[2,3]，則f(2x＋1)的定義義域為________；(4)若函函數數f(x)的值值域域為為[2,3]，則則f(x－1)的值值域域為為________；f(x)－1的值域域為________．誤解分分析：：本題是是求關關于抽抽象函函數的的定義義域和和值域域，對函數數定義義域理理解不不透，，不明明白f(x)與f[u(x)]定義域域之間間的區(qū)別別與聯聯系，，其實實在這這里只只要f(x)中x取值的的范圍圍與f[u(x)]中式子子u(x)的值域域一致致就行行了．．正解：：(1)若函數數f(x)的定義義域為為[2,3]，則f(x－1)有2≤x－1≤3，解得得3≤x≤4，即f(x－1)的定義義域為為[3,4]．(2)若函數數f(x－1)的定義義域為為[2,3]，即2≤x≤3，有1≤x－1≤2，則f(x)的定義義域為為[1,2]．(3)若函數數f(x－1)的定義義域為為[2,3]，則f(x)的定義義域為為[1,2]，(4)f(x－1)的圖像像就是是將f(x)的圖像像向右右平移移1個單位位，不改變變值域域，f(x)－1的圖像像就是是將f(x)的圖像像向下下平移移1個單位位，所所以f(x－1)的值域域為[2,3]，f(x)－1的值域域為[1,2]．糾錯反反思：：習題(3)就是習習題(1)和習題題(2)的綜合合．由由函數的的定義義域的的概念念知，，已知知f(x)的定義義域為為[a，b]，求f[u(x)]的定義義域，，只需需求不不等式式a≤u(x)≤b的解集集即可可．【互動探探究】3．若函函數y＝f(x＋1)的定義義域為為[－2,3)，則函函數y＝的定義義域為為___________________________.例4：等腰腰梯形ABCD的兩底底分別別為AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°°，作直直線MN⊥AD交AD于M，交折折線ABCD于N，記AM＝x，試將將梯形形ABCD位于直直線MN左側的的面積y表示為為x的函數數，并并寫出出函數數的定定義域域．

圖2－1－2(1)當M位于點H的左側時，N∈AB，由于AM＝x，∠BAD＝45°，∴MN＝x.(2)當M位于HG之間