第三章三角函數(shù)、解三角形第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練

[備考方向要明了]考

什

么能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.怎

么

考1.對解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題的考

查是高考考查的重點．2.在選擇題、填空題、解答題中都可能考查，多屬中、低

檔題.實際問題中的有關(guān)概念及常用術(shù)語(1)基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的

叫做基線．(2)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角

叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．線段(3)方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點

的方位角為α(如圖②)．(4)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖③)①北偏東α：指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．②東北方向：指北偏東45°或東偏北45°.③其他方向角類似．(6)視角觀測點與觀測目標(biāo)兩端點的連線所成的夾角叫做視

角(如圖)．1．從A處望B處的仰仰角為為α，從B處望A處的俯俯角為為β，則α，β之間的的關(guān)系系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°°D．α＋β＝180°答案：：B解析：：根據(jù)仰仰角與與俯角角的含含義，，畫圖圖即可可得知知．2．若點點A在點C的北偏偏東30°°，點B在點C的南偏偏東60°°，且AC＝BC，則點點A在點B()A．北偏偏東15°°B．北偏偏西15°°C．北偏偏東10°°D．北偏偏西10°°答案：：B解析：：如圖所所示，，∠ACB＝90°°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點A在點B的北偏西西15°.答案：A4．(2011·上海高考考)在相距2千米的A、B兩點處測測量目標(biāo)標(biāo)點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A、C兩點之間間的距離離為________千米．5．(2012·泰州模擬擬)一船向正正北航行行，看見見正東方方向有相距8海里的兩兩個燈塔塔恰好在在一條直直線上．．繼續(xù)航航行半小小時后，，看見一一燈塔在在船的南南偏東60°，另一燈燈塔在船船的南偏偏東75°，則這艘艘船每小小時航行行________海里．答案：8解三角形形應(yīng)用題題常有以以下幾種種情形(1)實際問題題經(jīng)抽象象概括后后，已知知量與未未知量全全部集中中在一個三角形形中，可可用正弦弦定理或或余弦定定理求解解．(2)實際問題題經(jīng)抽象象概括后后，已知知量與未未知量涉涉及到兩兩個或兩個以以上的三三角形，，這里需需作出這這些三角角形，先先解夠條條件的三三角形，，然后逐逐步求解解其他三三角形，，有時需需設(shè)出未未知量，，從幾個個三角形形中列出出方程(組)，解方程程(組)得出所要要求的解解．(3)實際問題題經(jīng)抽象象概括后后，涉及及到的三三角形只只有一個個，所以由已已知條件件解此三三角形需需連續(xù)使使用正弦弦定理或或余弦定定理．答：該救援船船到達(dá)D點需要1小時．[巧練模擬擬]————————(課堂突破破保分題題，分分分必保??！)1．(2012·衢州質(zhì)檢檢)如圖，為為了測量量河的寬度，在在一岸邊選選定兩點A，B望對岸的標(biāo)記記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則這條河河的寬度為為________．答案：60m解析：如圖．在△△ABC中，過C作CD⊥AB于D點，則CD為所求河的的寬度．在△△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此這條河河寬為60m.解：在△ABD中，設(shè)BD＝xm，則BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即1402＝x2＋1002－2×100×x×cos60°，整理得x2－100x－9600＝0，解得x1＝160，x2＝－60(舍去)，故BD＝160m.[沖關(guān)錦囊]求距離問題題要注意(1)選定或確定定要創(chuàng)建的的三角形，，要首先確確定所求量量所在的三角形，若若其他量已已知則直接接解；若有有未知量，，則把未知知量放在另另一確定三三角形中求求解．(2)確定用正弦弦定理還是是余弦定理理，如果都都可用，就就選擇更便于計算的的定理.[精析考題]3．(2012·臺州模擬)如圖，測量量河對岸的的旗桿高AB時，選與旗旗桿底B在同一水平面內(nèi)的兩兩個測點C與D.測得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在點C測得旗桿頂頂A的仰角為60°，則旗桿高高AB為________．4．(2012·麗水模擬)要測量底部部不能到達(dá)達(dá)的電視塔塔AB的高度，在在C點測得塔頂頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂頂A的仰角是30°，并測得水水平面上的的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔塔的高度．．[沖關(guān)錦囊]求解高度問問題首先應(yīng)應(yīng)分清(1)在測量高度度時，要理理解仰角、、俯角的概概念，仰角角和俯角都是在同一一鉛垂面內(nèi)內(nèi)，視線與與水平線的的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題題意，分清清已知條件件與所求，，畫出示意意圖；(3)運用正、余余弦定理，，有序地解解相關(guān)的三三角形，逐逐步求解問題的答案案，注意方方程思想的的運用.[例3](2012·蘇北四市聯(lián)聯(lián)考)如圖，為了解某海域域海底構(gòu)造造，在海平平面內(nèi)一條直線上的的A，B，C三點進(jìn)行測測量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測得水深A(yù)D＝80m，于B處測得水深深BE＝200m，于C處測得水深深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．．[巧練模擬]——————(課堂突破保保分題，分分分必保?。?5．(2012·無錫模擬)如圖，兩座座相距60m的建筑物AB、CD的高度分別別為20m、50m，BD為水平面，，則從建筑筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD的大小是________．答案：45°[沖關(guān)錦囊]1.測量角度，，首先應(yīng)明明確方位角角，方向角角的含義．．2.在解應(yīng)用題題時，分析析題意，分分清已知與與所求，再再根據(jù)題意正確畫畫出示意圖圖，通過這這一步可將將實際問題題轉(zhuǎn)化為可可用數(shù)學(xué)方方法解決的的問題，解解題中也要要注意體會會正、余弦弦定理綜合合使用的特特點．答題模板利利用正正、余弦定定理解實際際問題的答答題模板[考題范例](12分)(2010·福建高考)某港口O要將一件重重要物品用用小艇送到到一艘正在在航行的輪輪船上．在在小艇出發(fā)發(fā)時，輪船船位于港口口O北偏西30°且與該港口口相距20海里的A處，并正以以30海里/小時的航行行速度沿正正東方向勻勻速行駛，，假設(shè)該小小艇沿直線線方向以v海里/小時的航行行速度勻速速行駛，經(jīng)經(jīng)過t小時與輪船船相遇．(1)若希望相遇遇時小艇的的航行距離離最小，則則小艇航行行速度的大大小應(yīng)為多多少？(2)假設(shè)小艇的的最高航行行速度只能能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)設(shè)計航行方方案(即確定航行行方向和航航行速度的的大小)，使得小艇艇能以最短短時間與輪輪船相遇，，并說明理理由．[模板建構(gòu)]解斜三角形形應(yīng)用題的的一般步驟驟為：第一步：分