§8.3空間圖形的基本關(guān)系及公理

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§8.3空間圖形的基本關(guān)系及公理雙基研習(xí)?面對高考1．空間圖形的基本關(guān)系(1)點(diǎn)和直線的位置有兩種：__________和點(diǎn)在直線外．(2)點(diǎn)和平面的位置有兩種：點(diǎn)在平面內(nèi)和____________．(3)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：_________、相交直線和____________．雙基研習(xí)?面對高考基礎(chǔ)梳理點(diǎn)在直線上點(diǎn)在平面外異面直線平行直線(4)空間直線和平面的位置關(guān)系有三種：__________________、直線和平面相交、_______________．(5)空間兩平面的位置關(guān)系有兩種：_____________________________．

直線在平面內(nèi)直線與平面平行兩平面平行和兩平面相交提示：不一定，可能存在平面γ，使aγ，bγ.思考感悟若aα，bβ，則a，b就一定是異面直線嗎？2．空間圖形的公理及等角定理兩點(diǎn)所有的點(diǎn)在平面內(nèi)有且只有A、B、C三點(diǎn)確定有且只有α∩β＝l，且A∈l有一個(gè)公共點(diǎn)平行a∥cB′O′3.異面直線所成的角(1)定義：過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的___________就是異面直線a，b所成的角．如果兩條異面直線所成的角是_______，則稱這兩條直線互相垂直．銳角或直角直角課前熱身1．(教材習(xí)題改編)如圖所示，將無蓋正方體紙盒展開，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是(

)A．平行B．垂直C．相交成60°D．異面成60°答案：D2．若三個(gè)平平面兩兩相相交，且三三條交線相相交于一點(diǎn)點(diǎn)，則這三三個(gè)平面把把空間分成成()部分．A．5B．6C．7D．8答案：D3．下列四個(gè)個(gè)命題中，，正確命題題的個(gè)數(shù)是是()①空間不同三三點(diǎn)確定一一個(gè)平面；；②垂直于同一一直線的兩兩直線平行行；③一條直線和和兩平行線線中的一條條相交，也也必和另一一條相交；；④兩組對邊相相等的四邊邊形是平行行四邊形．．A．0B．1C．2D．3答案：A4．(2010年西安調(diào)研研)已知a、b是異面直線線，下列命命題：①存在一個(gè)平平面α，使a∥α，且b∥α；②存在一個(gè)平平面α，使a⊥α且b⊥α；③存在一個(gè)平平面α，使a?α，且b與α相交；④存在一個(gè)平平面α，使a，b到平面α的距離相等等．其中正確命命題是________．答案：①③④5．如圖所示示，在正方方體ABCD-A1B1C1D1中，AB1與C1B所成的角是是________．考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一共面問題證明若干條條線(或若干個(gè)點(diǎn)點(diǎn))共面，一般般來說有兩兩種途徑：：一是首先先由題給條條件中的部部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)個(gè)平面，，然后再再證明其其余的線線(或點(diǎn))均在這個(gè)個(gè)平面內(nèi)內(nèi)；二是是將所有有元素分分為幾個(gè)個(gè)部分，，然后分分別確定定幾個(gè)平平面，再再證這些些平面重重合．例1【易錯(cuò)警示示】本題易錯(cuò)錯(cuò)點(diǎn)是不不能把證證明C、D、F、E共面轉(zhuǎn)化化為C、H、F、E共面，在在分析題題意時(shí)，，應(yīng)仔細(xì)細(xì)分析問問題中每每一句話話的含義義．考點(diǎn)二三點(diǎn)共線與三線共點(diǎn)問題利用兩平平面交線線的惟一一性，證證明諸點(diǎn)點(diǎn)在兩平平面的交交線上是是證明空空間諸點(diǎn)點(diǎn)共線的的常用方方法．證證明點(diǎn)共共線的方方法從另另一個(gè)角角度講也也就是證證明三線線共點(diǎn)的的方法．．證明線共共點(diǎn)，基基本方法法是先確確定兩條條直線的的交點(diǎn)，，再證交交點(diǎn)在第第三條直直線上，，也可將將直線歸歸結(jié)為兩兩平面的的交線，，交點(diǎn)歸歸結(jié)為兩兩平面的的公共點(diǎn)點(diǎn)，由公公理2證明點(diǎn)在在直線上上．例2【思路點(diǎn)撥撥】(1)先證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面面，再證證EF，GH交于一點(diǎn)點(diǎn)，然后后證明這這一點(diǎn)在在AC上．(2)畫出圖形形，模仿仿(1)進(jìn)行證明明．∴EF∥HG，且EF>HG.所以四邊邊形EFGH為梯形．．設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，則P∈平面ABD，P∈平面BCD，所以P在兩平面面的交線線BD上，所以EH、FG、BD三線共點(diǎn)點(diǎn)．【易錯(cuò)警示示】證明線共共點(diǎn)時(shí)，，兩條直直線相交交可能缺缺乏理論論依據(jù)．．變式訓(xùn)練練1如圖所示示，O1是正方體體ABCD－A1B1C1D1的上底面面A1B1C1D1的中心，，M是對角線線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)．．求證：O1、M、A三點(diǎn)共線線．證明：∵A1C1∩B1D1＝O1.又B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C.∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交線上，由公理3可知O1、M、A三點(diǎn)共線．考點(diǎn)三異面直線所成的角與異面直直線相交交的問題題有異面面直線的的判定，，異面直直線所成成的角，，異面直直線的公公垂線及及異面直直線間的的距離，，這其中中最重要要的是異異面直線線所成的的角．求求異面直直線所成成的角，，一般是是通過平平行線首首先找到到它們所所成的角角，然后后放到三三角形中中，通過過解三角角形求之之．對于異面面直線所所成的角角也可利利用空間間向量來來求．例3(2010年高考湖湖南卷改改編)如圖所示示，在長長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點(diǎn)．．求異面面直線A1M和C1D1所成的角角的正切切值．【思路點(diǎn)撥】【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】求異面直直線所成成的角無無論是用用幾何法法還是向向量法，，都要特特別注意意異面直直線所成成角的范范圍是(0°，90°]．變式訓(xùn)練練2(2010年高考大大綱全國國卷Ⅰ)正三棱柱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面面直線BA1與AC1所成的角角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：選C.不妨設(shè)AB＝AC＝AA1＝1，建立空空間直角角坐標(biāo)系系如圖所所示，則則B(0，－1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(－1,0,1)，方法感悟方法技巧1．主要題型的的解題方法(1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直直線或點(diǎn)確定定一個(gè)平面，，再證其余直直線或點(diǎn)也在在這個(gè)平面內(nèi)內(nèi)(即“納入法”)．(如例1)(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩兩個(gè)平面的交交線，只要證證明這些點(diǎn)都都是這兩個(gè)平平面的公共點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)公理理3可知這些點(diǎn)在在交線上，因因此共線．(如例2)2．判定空間兩兩條直線是異異面直線的方方法(1)判定定理：平平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)點(diǎn)B的連線和平面面內(nèi)不經(jīng)過該該點(diǎn)B的直線是異面面直線．(2)反證法：證明明兩線不可能能平行、相交交或證明兩線線不可能共面面，從而可得得兩線異面．．3．求兩條異面面直線夾角的的大小，一般般方法是通過過平行移動(dòng)直直線，把異面面問題轉(zhuǎn)化為為共面問題來來解決．根據(jù)據(jù)空間等角定定理及推論可可知，異面直直線夾角的大大小與頂點(diǎn)位位置無關(guān)，往往往將角的頂頂點(diǎn)取在其中中的一條直線線上，特別地地，可以取其其中一條直線線與另一條直直線所在平面面的交點(diǎn)或異異面線段的端端點(diǎn)．總之，，頂點(diǎn)的選擇擇要與已知量量有關(guān)，以便便于計(jì)算，具具體步驟如下下：(1)利用定義構(gòu)造造角，可固定定一條，平移移另一條，或或兩條同時(shí)平平移到某個(gè)特特殊的位置，，頂點(diǎn)選在特特殊的位置上上；(2)證明作出的角角即為所求角角；(3)利用三角形來來求解．(如例3)失誤防范1．異面直線是是不同在任何何一個(gè)平面內(nèi)內(nèi)的兩條直線線，而不是分分別在兩個(gè)平平面內(nèi)．一定定要理解定義義．2．求異面直線線所成的角要要特別注意異異面直線所成成角的范圍是是(0°，90°]．考情分析考向瞭望?把脈高考空間中的位置置關(guān)系是每年年高考必考的的知識(shí)點(diǎn)之一一，考查重點(diǎn)點(diǎn)是異面直線線的判定，異異面直線所成成的角．題型型既有選擇題題、填空題，，又有解答題題，難度為中中低檔；客觀觀題主要考查查異面直線所所成角的概念念及求法，主主觀題考查較較全面，考查查異面直線所所成角的概念念、求法、判判定及異面直直線的判定，，同時(shí)還考查查了學(xué)生的空空間想象能力力和運(yùn)算能力力．預(yù)測2012年高考仍將以以考查異面直直線所成的角角為主要考查查點(diǎn)，重點(diǎn)考考查學(xué)生的空空間想象能力力和運(yùn)算能力力．真題透析例(2009年高考安徽卷卷)對于四面體ABCD，下列命題正正確的是________(寫出所有正確確命題的編號(hào)號(hào))．①相對棱AB與CD所在的直線異異面；②由頂點(diǎn)A作四面體的高高，其垂足是是△BCD三條高線的交交點(diǎn)；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這這兩條高所在在的直線異面面；④分別作三組相相對棱中點(diǎn)的的連線，所得得的三條線段段相交于一點(diǎn)點(diǎn)；⑤最長棱必有某某個(gè)端點(diǎn)，由由它引出的另另兩條棱長度度之和大于最最長棱．【思路點(diǎn)撥】畫出圖形，根根據(jù)各個(gè)命題題尋找其成立立的根據(jù)，或或者尋找其不不成立的反例例．【解析】命題①中，如果AB，CD共面，則四點(diǎn)A，B，C，D共面，ABCD為平面圖形，與ABCD是四面體矛盾，故命題①正確；命題②中，如果命題題成立，即頂頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為底底面三角形的的垂心，如圖圖(1)所示，則CD⊥AH，CD⊥BE，根據(jù)線面垂垂直的判定定定理，知CD⊥平面ABH，故CD⊥AB，同理可以證證明AD⊥BC，AC⊥BD，但這些條件件在題目的已已知中是不具具備的，故命命題②不一定成立，，即命題不正正確；命題③中，如圖(2)所示，當(dāng)△ABC，△ABD的AB邊上的高的垂垂足為同一個(gè)個(gè)點(diǎn)時(shí)，命題題不成立，這這種情況是完完全可能的，，如當(dāng)CA＝CB，DA＝DB時(shí)，故命題③不正確；命題④中，如圖(3)所示，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別為BC，AD，CD，AB，AC，BD的中點(diǎn)，連接接各中點(diǎn)，容容易證明四邊邊形EHFG為平行四邊形形，故HG，EF相交于一點(diǎn)，，且該點(diǎn)平分分兩線段，即即交點(diǎn)為線段段HG的中點(diǎn)，設(shè)為為O；同理可以證證明HG，IJ也相交于一點(diǎn)點(diǎn)，且在該點(diǎn)點(diǎn)互相平分，，即線段IJ也過線段HG的中點(diǎn)O，故三組對棱棱中點(diǎn)的連線線交于一點(diǎn)，，故命題④正確；命題⑤中，如圖(2)所示，設(shè)最長長棱為AC，假設(shè)結(jié)論不不成立，即不不存在端點(diǎn)，，則由它引出出的另兩條棱棱的長度之和和大于最長棱棱，即從兩個(gè)個(gè)端點(diǎn)A，C引出的兩條棱棱的長度之和和均不大于AC，即AB＋AD≤AC，CB＋CD≤AC，兩個(gè)不等式式相加，得AB＋AD＋CB＋CD≤2AC，即(AB＋CB)＋(AD＋CD)≤2AC.在△ABC，△ADC中AB＋CB>AC，AD＋CD>AB，兩式相加得得(AB＋CB)＋(AD＋CD)>2AC，得出矛盾結(jié)結(jié)論，說明假假設(shè)不成立，，故命題⑤正確．故填①④⑤.【答案】①④⑤【名師點(diǎn)評(píng)】立體幾何中很很多命題往往往是用反證法法證明，如本本題中的命題題①、⑤.這類命題的特特點(diǎn)是沒有可可以直接利用用的定理，直直接證明非常常困難，遇到到這種情況往往往使用反證證法解決．證證明空間三線線交于一點(diǎn)(這樣的的問題題我們們稱之之為三三線共共點(diǎn))，基本本思路路是先先證明明兩條條直線線交于于一點(diǎn)點(diǎn)(這只要要證明明這兩兩條直直線共共面且且不平平行)，再證證明第第三條條直線線也過過這個(gè)個(gè)點(diǎn)即即可．．1．在四四棱臺(tái)臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上上下底底面均均為正正方形形，則則DD1與BB1所在直直線是是()A．相交交直線線B．平行行直線線C．不垂垂直的的異面面直線線D．互相相垂直直的異異面直直線解析：：選A.由于幾幾何體體是四四棱臺(tái)臺(tái)，所所以DD1與BB1延長后后相交交于一一點(diǎn)，，即DD1與BB1所在直直線是是相交交直線線．名師預(yù)測2．以下下四個(gè)個(gè)命題題中，，正確確命題題的個(gè)個(gè)數(shù)有有()①不共面面的四四點(diǎn)中中，其其中任任意三三點(diǎn)不不共線線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，，點(diǎn)A、B、C、E共面，，則A、B、C、D、E共面；；③若直線線a、b共面，，直線線a、c共面，，則直直線b、c共面；；④依次次首首尾尾相相接接的的四四條條線線段段必必共共面面．．A．0B．1C．2D．3解析析：：選B.①正確確，，可可以以用用反反證