第十八章

平行四邊形18.1平行四邊形第1課時(shí)

平行四邊形的

邊、角性質(zhì)1課堂講解平行四邊形的定義平行四邊形的對邊相等平行四邊形的對角相等平行線之間的距離2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)1知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的定義知1－導(dǎo)兩組對邊分別平行四邊形平行四邊形∠A與∠C，∠B與∠D叫做對角.AB與CD，AD與BC叫做對邊.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.ADCB例1

如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)P作直線EF，GH分別平

行于AB，BC，那么圖中共有______

個(gè)平行四邊形．知1－講導(dǎo)引：根據(jù)平行四邊形的定義，知AB∥CD，AD∥BC，由

已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根據(jù)平行四邊

形的定義可以判定四邊形ABFE是平行四邊形，同理

可判定四邊形EFCD、四邊形AGHD、四邊形GBCH、

四邊形AGPE、四邊形EPHD、四邊形GBFP、四邊

形PFCH都是平行四邊形，最后還要加上?ABCD，

即共有9個(gè)平行四邊形．9如圖，?ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是(

)A．13B．14C．15D．18知1－練1D(中考·泰安)如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分線交AD于E，交BA的延長線于F，則AE＋AF的值等于(

)A．2B．3C．4D．6知1－練2C【中考·廣州】如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，EF＝6，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到四邊形EFC′D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的周長為(

)A．6B．12C．18D．24知1－練3C2知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的對邊相等知2－導(dǎo)

根據(jù)定義畫一個(gè)平行四邊形，觀察它，除了“兩組對邊分別平行”外，它的邊之間還有什么關(guān)系？

通過觀察和度量，我們猜想：平行四邊形的對邊相等；下面我們對它進(jìn)行證明.探究知2－導(dǎo)如圖，連接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共邊，∴△ABC≌△CDA.∴AD=CD，AB=CD.證明：歸納知2－導(dǎo)（來自《教材》）這樣我們證明了平行四邊形具有以下性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等.知2－講邊的性質(zhì)：平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊

相等．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.知2－講例2如圖，在?ABCD

中，DE⊥AB，BF⊥CD，

垂足分別為E，F(xiàn).求證AE=CF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，AD=CB.又∠AED=∠CFB=90。，∴△ADE≌△CBF.∴

AE=CF.（來自《教材》）證明：總

結(jié)知2－講

在四邊形中證明四邊形的對邊相等，經(jīng)常證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)定理——對邊相等來得到線段相等.1

在?ABCD中，已知AB=5，BC=3，求它的周長.知2－練（來自《教材》）如圖所示，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以CD＝AB＝5，AD＝BC＝3，所以?ABCD的周長為AB＋BC＋CD＋AD＝5＋3＋5＋3＝16.解：2

如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一

起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形.轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙

條，線段AD和BC的長度有什么關(guān)系？為什么？知2－練（來自《教材》）由已知，可得AD∥BC，AB∥CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD＝BC.即線段AD和BC的長度相等．解：【中考·麗水】如圖，在?ABCD中，連接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，則BC的長是(

)A.B．2C．2D．4知2－練3C如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線把BC邊分成長度是6和8的兩部分，則平行四邊形ABCD的周長是(

)A．44B．40C．44或40D．36知2－練4C【中考·威海】如圖，在?ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)G，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，交AD的延長線于點(diǎn)H，AG與BH交于點(diǎn)O，連接BE，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．BO＝OH

B．DF＝CEC．DH＝CG

D．AB＝AE知2－練5D3知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的對角相等知3－導(dǎo)

根據(jù)定義畫一個(gè)平行四邊形，觀察它，除了“兩組對邊分別平行”外，它的角之間還有什么關(guān)系？度量一下，和你的猜想一致嗎？

通過觀察和度量，我們猜想：平行四邊形的對角相等；下面我們對它進(jìn)行證明.探究知3－導(dǎo)如圖，連接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共邊，∴△ABC≌△CDA.∴∠B=∠D.請同學(xué)們自己證明∠BAD=∠DCB.證明：結(jié)論知3－導(dǎo)（來自《教材》）這樣我們證明了平行四邊形具有以下性質(zhì)：平行四邊形的對角相等.知3－講角的性質(zhì)：平行四邊形對角相等；平行四邊形鄰角互補(bǔ)．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.知3－講例3如圖，在?ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平

行四邊形各角的度數(shù)．

由平行四邊形的對角相等，

得∠A＝∠C，結(jié)合已知條件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度數(shù)；

再根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)而求出∠B，∠D的度數(shù)．

在?ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝120°.解：

導(dǎo)引：總

結(jié)知3－講

平行四邊形中求有關(guān)角度的基本方法是利用平行四邊形對角相等，鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，并且已知一個(gè)角或已知兩鄰角的關(guān)系可求出其他三個(gè)角的度數(shù)．在?ABCD中，已知∠A=38°，求其余各內(nèi)

角的度數(shù).知3－練（來自《教材》）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，∠C＝∠A＝38°，∠B＝∠D，所以∠A＋∠D＝180°，所以∠D＝180°－∠A＝180°－38°＝142°，所以∠B＝∠D＝142°.解：【中考·衢州】如圖，在?ABCD中，M是BC延長線上的一點(diǎn)，若∠A＝135°，則∠MCD的度數(shù)是(

)A．45°B．55°C．65°D．75°知3－練2A【中考·黔西南州】已知?ABCD中，∠A＋∠C＝200°，則∠B的度數(shù)是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°知3－練3C知4－導(dǎo)4知識(shí)點(diǎn)平行線之間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另

一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間

的距離．例4

如圖所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，F(xiàn)G⊥b，點(diǎn)E，G為垂足，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的

是(

)A．AB＝CDB．CE＝FGC．A，B兩點(diǎn)間的距離就是線段AB的長D．直線a，b間的距離就是線段CD的長

根據(jù)“兩點(diǎn)間的距離”，“兩平行線間的距離”的有

關(guān)概念和定理，可以作出判斷．知4－講D導(dǎo)引：總

結(jié)知4－講

如果兩條直線平行，那么一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離相等；即：平行線間的距離處處相等．(1)“平行線間的距離處處相等”，在作平行四邊形的高

時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置；(注：平行線的這一

性質(zhì)常用來解決三角形同底等高問題)(2)平行線的位置確定后，它們間的距離是定值(是正值)，

不隨垂線段位置的改變而改變．直線a上有一點(diǎn)A，直線b上有一點(diǎn)B，且a∥b.點(diǎn)P在直線a，b之間，若PA＝3，PB＝4，則直線a，b之間的距離(

)A．等于7B．小于7C．不小于7D．不大于7知4－練1D如圖，a∥b，若要使S△ABC＝S△DEF，需增加條件(

)A．AB＝DE

B．AC＝DF

C．BC＝EF

D．BE＝AD知4－練2C1.平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形.2.平行四邊形的對角相等.3.平行四邊形的對角相等.4.平行線之間的距離：一條直線上任意一點(diǎn)到另一

條直線的垂線段的長度，叫做這兩條平行線之間

的距離．1知識(shí)小結(jié)第十八章

平行四邊形18.1平行四邊形第2課時(shí)

平行四邊形的

對角線性質(zhì)1課堂講解平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形的面積2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)平行四邊形的性質(zhì)：對邊相等；對角相等回顧舊知1知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的對角線互相平分探究

如圖，在?ABCD

中，連接AC，BD，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O,OA與OC，OB與OD有什么關(guān)系？你能證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？我們猜想，在?ABCD中，OA=OC，OB=OD.知1－導(dǎo)歸納知1－導(dǎo)（來自《教材》）由此我們又得到平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分對角線的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OA＝OC，OB＝OD.知1－講例1如圖，已知?ABCD的周長是60，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若△AOB的周長比△BOC的周

長長8，求這個(gè)平行四邊形各邊的長．知1－講由平行四邊形對邊相等知，2AB＋2BC＝60，所以AB＋BC＝30.又由△AOB的周長比△BOC的周長長8，知AB－BC＝8，聯(lián)立以上兩式，即可求出各邊長．

導(dǎo)引：知1－講∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.即這個(gè)平行四邊形各邊長分別為19，11，19，11.解：知1－講例2如圖，已知?ABCD與?EBFD的頂點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C

在一條直線上，求證：AE＝CF.平行四邊形的性質(zhì)提供了邊的平行與相等，角的相等與互補(bǔ)，對角線的平分，當(dāng)所要證明的結(jié)論中的線段在對角線上時(shí)，往往利用平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)．因此本例要證對角線上的AE＝CF，可考慮利用對角線互相平分這一性質(zhì)，先連接BD交AC于點(diǎn)O，再進(jìn)行證明．導(dǎo)引：知1－講如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)．∵四邊形EBFD是平行四邊形，∴OE＝OF(平行四邊形的對角線互相平分)，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性質(zhì))．證明：總

結(jié)知1－講

本例易受全等三角形思維定式的影響．欲證的兩線段相等且又屬于不同的三角形，習(xí)慣上就聯(lián)想到證這兩個(gè)三角形全等，這樣雖然能達(dá)到證明的目的，卻忽視了平行四邊形特有的性質(zhì)，易走彎路．因此在解決平行四邊形的有關(guān)問題中，應(yīng)注意運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)．1如圖，在?ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.

△AOD

的周長是多少?△ABC與△DBC的周長

哪個(gè)長？長多少？知1－練（來自《教材》）在?ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD.因?yàn)锳C＝8，BD＝14，所以O(shè)A＝OC＝

AC＝×8＝4，OB＝OD＝

BD＝×14＝7.解：知1－練（來自《教材》）所以△AOD的周長為OA＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21，△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝18＋AB，△DBC的周長為BC＋CD＋BD＝10＋CD＋14

＝24＋CD＝24＋AB，所以△DBC的周長>△ABC的周長，△DBC的周長－△ABC的周長＝24＋AB－(18＋AB)＝24＋AB－18－AB＝6，即△DBC的周長比△ABC的周長長，長6.2

如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF

過點(diǎn)O且與AB，CD分

別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

求證OE=OF.知1－練（來自《教材》）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以O(shè)A＝OC，AB∥CD，所以∠EAO＝∠FCO.又因?yàn)椤螦OE＝∠COF，所以△OAE≌△OCF.所以O(shè)E＝OF.解：【中考·瀘州】如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＋BD＝16，CD＝6，則△ABO的周長是(

)A．10B．14C．20D．22知1－練3B【中考·青島】如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BC，垂足為E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，則AE的長為(

)A.B.C.D.知1－練4D【中考·眉山】如圖，EF過?ABCD對角線的交點(diǎn)O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周長為18，OE＝1.5，則四邊形EFCD的周長為(

)A．14B．13C．12D．10知1－練5C如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，連接AF，CE，則下列結(jié)論：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④圖中共有四對全等三角形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．4B．3C．2D．1知1－練6B2知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的面積知2－導(dǎo)1．面積公式：平行四邊形的面積＝底×高(底為平

行四邊形的任意一條邊，高為這條邊與其對邊

間的距離)．2．等底等高的平行四邊形的面積相等．知2－講例3如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.

求BC，CD，AC，OA的長，以及?ABCD的面積.（來自《教材》）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=8，CD=AB=10.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.

根據(jù)勾股定理，

又OA=OC，∴OA=AC=3，S?ABCD=BC?AC=8×6=48.解：總

結(jié)知2－講

求平行四邊形的面積時(shí)，根據(jù)平行四邊形的面積公式，要知道平行四邊形的一邊長及這邊上的高．平行四邊形的高不一定是過頂點(diǎn)的垂線段，因?yàn)槠叫芯€間的距離處處相等．如圖，若?ABCD的周長為36cm，過點(diǎn)D分別作AB，BC邊上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，?ABCD的面積為(

)cm2.A．40B．32C．36D．50知2－練1A【中考·包頭】如圖，過?ABCD的對角線BD上一點(diǎn)M分別作平行四邊形兩邊的平行線EF與GH，那么圖中的?AEMG的面積S1與?HCFM的面積S2的大小關(guān)系是(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2C．S1＝S2

D．2S1＝S2知2－練2C如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD為對角線，BC＝6，BC邊上的高為4，則圖中陰影部分的面積為(

)A．3B．6C．12D．24知2－練3C1.平行四邊形的對角線互相平分．2.平行四邊形的面積＝底×高(底為平行四邊形的

任意一條邊，高為這條邊與其對邊間的距離)．1知識(shí)小結(jié)第十八章

平行四邊形18.1平行四邊形第3課時(shí)

平行四邊形的判定1課堂講解兩組對邊平行或相等的四邊形是平行四邊形兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊相等；平行四邊形對角相等；平行四邊形對角線互相平分；1知識(shí)點(diǎn)兩組對邊平行或相等的四邊形是平行四邊形知1－導(dǎo)一裝潢店要招聘店員，老板出了這樣一道考題：“一顧客要一張平行四邊形的玻璃，你利用工具度量哪些數(shù)據(jù)可說明這張玻璃符合顧客要求.”從邊看：

方法一：兩組對邊分別平行的四邊形是

平行四邊形；(定義法)

數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；

方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；知1－講要證四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的定義可證得DF∥BE，因此可采用判定方法一即定義法證明DE∥FB即可．例1如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE

平分∠ADC，交CB的延長線于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD的延長線于點(diǎn)F.

求證：四邊形BFDE是平行四

邊形．知1－講導(dǎo)引：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB.∴DF∥BE.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.∵AD∥BC，∴∠1＝∠E.∴∠E＝∠3.∴DE∥FB.∴四邊形BFDE是平行四邊形．(兩組對邊分別

平行的四邊形是平行四邊形)知1－講證明：總

結(jié)知1－講

平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎(chǔ)．當(dāng)題目中出現(xiàn)平行的線段時(shí)，往往借助判定方法一來幫助我們對四邊形加以判斷．知1－講例2如圖，分別以△ABC的三邊為一邊，在BC的同側(cè)

作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角

形ACF，連接DE，EF.

求證：四邊形ADEF是平行四邊形．由等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相等，進(jìn)而可以通過全等三角形證明四邊形ADEF的兩組對邊分別相等，最后根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定．導(dǎo)引：知1－講∵△ABD、△BCE、△ACF都為等邊三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC.又∵AC＝AF，∴AF＝DE.同理可證：△ABC≌△FEC，∴AB＝FE，∴FE＝AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形．證明：總

結(jié)知1－講

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到線段相等，角相等，進(jìn)而通過證明三角形全等得到四邊形ADEF的兩組對邊分別相等，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證．如圖，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF.圖中有哪些互相平行的線段？知1－練（來自《教材》）1AB∥CD，AD∥BC，CD∥EF，DE∥CF，AB∥EF.解：知1－練2四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，b為

一組對邊長，c，d為另一組對邊長且a2＋b2＋c2＋d2

＝2ab＋2cd，則這個(gè)四邊形是(

)A．任意四邊形

B．平行四邊形C．對角線相等的四邊形

D．對角線垂直的四邊形B2知識(shí)點(diǎn)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形知2－講幾何語言：∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．(如圖所示)知2－講例3如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于

點(diǎn)E，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)F，那么四邊

形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？利用平行四邊形對角相等的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C，然后再依據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證出四邊形BFDE的兩組對角分別相等，于是可得出結(jié)論．導(dǎo)引：知2－講四邊形BFDE是平行四邊形．理由：在?ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝∠ADC，∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四邊形BFDE是平行四邊形．解：總

結(jié)知2－講

當(dāng)已知條件出現(xiàn)所要說明的四邊形的角時(shí)，可選擇“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來判定．1下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD是平行

四邊形的是(

)A．AB∥CD，AD＝BC

B．AB＝AD，CB＝CDC．AB＝CD，AD＝BC

D．∠B＝∠C，∠A＝∠D知2－練C3知識(shí)點(diǎn)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形知3－導(dǎo)

過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.反過來，對邊相等，或?qū)窍嗟?，或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說，平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？

下面我們以“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”為例，通過三角形全等進(jìn)行證明.思考知3－導(dǎo)

如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.∵OA=OC，OD=OB,∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB.

∴∠OAD=∠OCB.∴AD//BC.

同理AB//DC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：知3－講從對角線看：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．知3－講（來自《教材》）∵

四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO，BO=DO.∵

AE=CF，∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又BO=DO，∴四邊形BFDE是平行四邊形.例4

如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，

E，F(xiàn)是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.

求證：四邊形BFDE是平行四邊形.證明：總

結(jié)知3－講

從對角線方面判斷四邊形的形狀要注意是對角線互相平分，即交點(diǎn)既是第一條對角線的中點(diǎn)，又是第二條對角線的中點(diǎn).如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn).求證BE＝DF.知3－練（來自《教材》）1因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BO＝DO，OA＝OC.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，所以O(shè)E＝OA＝OC＝OF.又因?yàn)椤螧OE＝∠DOF，所以△BOE≌△DOF，所以BE＝DF.解：如圖，線段AB，CD相交于點(diǎn)O，且圖上各點(diǎn)把線段AB，CD四等分，這些點(diǎn)可以構(gòu)成________個(gè)平行四邊形．知3－練144知識(shí)點(diǎn)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形知4－導(dǎo)我們知道，如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它的任意一組對邊平行且相等.反過來，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？

我們猜想這個(gè)結(jié)論正確，下面進(jìn)行證明.思考知4－導(dǎo)

如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，且AB=CD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.連接AC，

∵AB//CD,

∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA.

∴△ABC≌△CDA.

∴BC=DA.∴四邊形ABCD兩組對邊分別相等，它是平行四

邊形.

證明：歸納知4－導(dǎo)

于是我們又得到平行四邊形的一個(gè)判斷定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（來自《教材》）知4－講一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵AB

CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∥＝知4－講（來自《教材》）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，EB//FD.又EB=AB，F(xiàn)D=CD，∴

EB=FD.∴四邊形EBFD是平行四邊形.例5如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn).

求證：四邊形EBFD是平行四邊形.證明：總

結(jié)知4－講

要證四邊形是平行四邊形，已知有一組對邊平行，聯(lián)想的思路有兩種：一是證明另一組對邊平行；二是證明平行的這組對邊相等．而證明邊相等要三角形全等這條思路較常見．為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長相等就可以了.你能說出其中的道理嗎？知4－練（來自《教材》）1因?yàn)橐唤M對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以鐵軌和夾在鐵軌之間的枕木構(gòu)成了平行四邊形，因此可知兩條直鋪的鐵軌是互相平行的．解：如圖，在?ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點(diǎn)分別作AE丄BD，CF丄BD，E，F(xiàn)為垂足.求證：四邊形AFGE是平行四邊形.知4－練（來自《教材》）2知4－練（來自《教材》）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB＝CD，所以∠CDB＝∠ABD.又因?yàn)锳E⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEB＝∠CFD＝90°，所以AE∥CF.在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，所以△ABE≌△CDF，所以AE＝CF.又因?yàn)锳E∥CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形．解：3(中考·湘西州)下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是

平行四邊形知4－練D4【中考·衡陽】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，可添加的條件不正確的是(

)A．AB＝CD

B．BC＝ADC．∠A＝∠C

D．BC∥AD知4－練B5如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，若要使四邊形AFCE是平行四邊形，可以添加的條件是(

)①AF＝CF；②AE＝CE；③BF＝DE；④AF∥CE.A．①或②B．②或③C．③或④D．①或③知4－練C6下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(

)

A．AB∥CD，AD∥BC

B．∠A＝∠C，∠B＝∠DC．AB＝CD，AD＝BC

D．AB∥CD，AD＝BC知4－練D

平行四邊形的判定方法:(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．(5)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．1知識(shí)小結(jié)第十八章

平行四邊形18.1平行四邊形第4課時(shí)

三角形的中位線1課堂講解三角形的中位線性質(zhì)三角形中位線在四邊形中的應(yīng)用2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)溫故知新平行四邊形的判定邊角對角線兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形1知識(shí)點(diǎn)三角形中位線的性質(zhì)知1－導(dǎo)探究思考請同學(xué)們按要求畫圖：畫任意△ABC中，畫AB、AC邊中點(diǎn)D、E，連接DE．DE定義：像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．知1－導(dǎo)觀察猜想

在△ABC中，中位線DE和邊BC什么關(guān)系?DE和邊BC關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：ABCDEDE//BCDE＝BC知1－導(dǎo)如圖，D，E分別是△ABC的AB，AC的中點(diǎn).求證：DE//BC，DE=BC.本題既要證明兩條線段所在的直線平行，又要證明其中一條線段的長等于另一條線段長的一半.將DE延長一倍后，可以將證明DE=BC轉(zhuǎn)化為證明延長后的線段與BC相等.又由于E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明.分析：知1－導(dǎo)如圖，延長DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，DC，AF.∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，CFDA.∴CFBD.∴四邊形DBCF是平行四邊形，DF

BC.又DE=DF，∴

DE//BC，且DE=BC.∥＝∥＝∥＝證明：歸納知1－導(dǎo)（來自《教材》）

通過上述證明，我們得到三角形的中位線定理：

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的

第三邊，并且等于第三邊的一半；

數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵AD＝BD，AE＝EC，∴DE∥BC，且DE＝

BC.知1－講例1如圖所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是

．知1－講利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．11分析：知1－講∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四邊形EFGH的周長=6+5=11．解：總

結(jié)知1－講

本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．知1－講例2如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊延長線

上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC，BD

于點(diǎn)F，G，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.求證：AB＝2OF.點(diǎn)O是平行四邊形兩條對角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，要證明AB＝2OF，我們只需證明點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線．導(dǎo)引：知1－講∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E為平行四邊形ABCD中DC邊延長線上一點(diǎn)，

且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OF是△ABC的中位線，∴AB＝2OF.證明：總

結(jié)知1－講

證明線段倍分關(guān)系的方法：由于三角形的中位線等于三角形第三邊的一半，因此當(dāng)需要證明某一線段是另一線段的一半或兩倍，且題中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常考慮三角形中位線定理．1如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn).以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，在圖中，你能畫出多少個(gè)平行四邊形？為什么？知1－練（來自《教材》）可畫出3個(gè)平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線定理可得平行四邊形有：?BDFE，?DFCE，?ADEF.解：2如圖，直線l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使AD=BC，連接AB，CD.

AB和CD有什么關(guān)系？為什么？知1－練（來自《教材》）AB＝CD且AB∥CD.因?yàn)閘1∥l2，所以AD∥BC，又因?yàn)锳D＝BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．所以AB＝CD，且AB∥CD.解：3如圖，A，B兩點(diǎn)被池