第=page99頁，共=sectionpages99頁第=page1010頁，共=sectionpages11頁人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第十三章軸對稱含輔助線證明題專題訓(xùn)練1如圖所示，等邊△ABC中，AD⊥BC于D，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．

?（1）求證：2BD＝2CF+BE；（2）若AB＝4，過F作FQ⊥AB，垂足為Q，PQ＝1，求BP的長．

如圖，等腰直角△ABC中，CA=CB，點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．

（1）求證：△CBE為等邊三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD的長．

已知等邊△ABC的邊長為4cm,點(diǎn)P,Q分別是直線AB,BC上的動點(diǎn).

(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動,點(diǎn)Q同時(shí)從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動時(shí),它們的速度都為1cm/s,到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)它們的運(yùn)動時(shí)間為t秒,連接AQ,PQ.(i)當(dāng)t=2時(shí),求∠AQP的度數(shù);(ii)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上,Q在BC上時(shí),若PQ=PC,請?zhí)骄緼P,CQ和AC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)C是y軸正半軸上一個(gè)動點(diǎn)，AD是角平分線．

(1)如圖1，若∠ACB=90°，直接寫出線段AB，CD，(2)如圖2，若AB=AC+(3)如圖2，若∠ACB=100°，求證：AB=AD+如圖,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BD,BD平分∠ABC,AE⊥BD于E,P為線段AD上一動點(diǎn)．

（1）求∠DAE；

（2）當(dāng)P到BD的距離為1,到AB的距離為2時(shí),求AE的長；

（3）當(dāng)P運(yùn)動至CE延長線上時(shí),連結(jié)BP,求證：BP⊥AD．

如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，BD＝BC，∠DBC＝60°，點(diǎn)E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．

（1）求∠ADB的度數(shù)；

（2）判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）連接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的長．

如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，DC與AB交于點(diǎn)O，且∠BDC=∠BAC．

（1）求證：∠ABD=∠ACD；

（2）作AM⊥CD于M，求證：BD+DM=CM．

如圖，△ABC是等邊三角形，D、E為AC上兩點(diǎn)，且AE=CD，延長BC至點(diǎn)F，使CF=CD，連接BD．

（1）如圖1，當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：BD=DF；

（2）延長BD與EF交于點(diǎn)G．

①如圖2，求證：∠BGE=60°；

②如圖3，連接BE，CG．若∠EBD=30°，BG=4，則△BCG的面積為______．

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BP與AC邊的垂直平分線PQ交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E，若BE=10cm，AB=6cm，求CE的長．

（12分）在ΔABC中，∠B=60°，D是BC上一點(diǎn)，且AD=AC．（1）如圖1，延長BC至E，使CE=BD，連接AE．求證：AB=AE；（2）如圖2，在AB邊上取一點(diǎn)F，使DF=DB，求證：AF=BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，P為BC延長線上一點(diǎn)，連接PA，PF，若PA=PF，猜想PC與BD的數(shù)量關(guān)系并證明．

（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖1，等邊△ABC邊長為2，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長．???????

小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個(gè)問題．???????請根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長．（2）【類比探究】老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：1)等邊△ABC邊長為2，當(dāng)P為BA的延長線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥CA的延長線于點(diǎn)E，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D．請你在圖2中補(bǔ)全圖形并求DE的長．2)已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥射線AC于點(diǎn)E，Q為___（①BC邊上；②BC的延長線上；③CB的延長線上）一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交直線AC于點(diǎn)D，能使得DE的長度保持不變．（將答案的編號填在橫線上）

如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，連結(jié)OB，OC，若△ADE的周長為6cm，△OBC的周長為16cm．

(1)求線段BC的長；

(2)連結(jié)OA，求線段OA的長；

(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度數(shù)．

已知，在等邊△ABC中，E為BC上一點(diǎn)，連接AE并延長，在AE的延長線取一點(diǎn)D，連接BD、CD，使得∠BDC=120°．

（1）如圖1，求證：DA平分∠BDC；

（2）如圖2，在AC上取點(diǎn)F，使得CE=AF，連接BF交AD于點(diǎn)G，點(diǎn)M為GD的中點(diǎn)，當(dāng)ME=FG時(shí)，BD=8，求AD的長．

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC．

（1）如圖，若α=90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA=CD，這個(gè)性質(zhì)是_______

（2）問題解決：如圖，求證AD=CD；

（3）問題拓展：如圖，在等腰ΔABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD=BC???????．

如圖,在等腰三角形△ABC中,AC=BC,D、E分別為AB、BC上一點(diǎn),∠CDE=∠A.(1)如圖,若BC=BD,求證:CD=DE;(2)如圖,過點(diǎn)C作CH⊥DE,垂足為H,若CD=BD,EH=1,求DE-BE的值.

已知，如圖AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，連接EF，∠EAF+∠BAC=180°

（1）如圖1，若∠ABE=63°，∠BAC=45°，