第三章

§3.2立體幾何中的向量方法第2課時用空間向量解決立體幾何中的垂直問題問題導學知識點一向量法判斷線線垂直設直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?

?

.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b＝0知識點二向量法判斷線面垂直設直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥μ?

.a＝kμ(k∈R)

若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?μ⊥v

?μ·v＝0?

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0知識點三向量法判斷面面垂直[思考辨析判斷正誤](1)平面α的法向量是唯一的，即一個平面不可能存在兩個不同的法向量.(

)(2)兩直線的方向向量垂直，則兩條直線垂直.(

)(3)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂直.(

)(4)兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行；兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直.(

)√√√×題型探究例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，類型一線線垂直問題證明證明

設AB中點為O，作OO1∥AA1.以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.跟蹤訓練1如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.證明證明

∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Cxyz.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，證明類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1⊥平面A1BD.證明

如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為坐標原點，OB，OO1，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.證明跟蹤訓練2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點.求證：直線PB1⊥平面PAC.證明

如圖，以D為坐標原點，DC，DA，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.證明類型三證明面面垂直問題例3三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝

，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC的中點.證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明

方法一

如圖，以A為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Axyz，∵D為BC的中點，∴D點坐標為(1,1,0)，又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.設平面A1AD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2).令y1＝－1，則x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0).∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明跟蹤訓練3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點.(1)求證：平面AED⊥平面A1FD1；證明

以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，設平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1).令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.解答(2)在直線AE上求一點M，使得A1M⊥平面AED.解

由于點M在直線AE上，達標檢測答案解析123451.下列命題中，正確命題的個數(shù)為①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β

?

n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α平行，則n·a＝0；④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4√解析

①中平面α，β可能平行，也可能重合，結合平面法向量的概念，可知②③④正確.答案2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)12345√解析解析

因為a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故選B.答案解析3.若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為μ＝(－2,0，－4)，則A.l∥α

B.l⊥αC.l?α

D.l與α斜交12345√解析

∵a∥μ，∴l(xiāng)⊥α.答案解析4.平面α的一個法向量為m＝(1,2,0)，平面β的一個法向量為n＝(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關系是A.平行

B.相交但不垂直

C.垂直

D.不能確定12345√解析

∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面垂直.空間垂直關系的解決策略規(guī)律與方法

幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90°.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對于直線l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m與n相交，則l⊥α.(2)若l∥m，m⊥α