第4節(jié)直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.知

識(shí)

梳

理1.直線(xiàn)與平面平行(1)直線(xiàn)與平面平行的定義直線(xiàn)l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線(xiàn)l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外_______________________________平行，則該直線(xiàn)平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的________與該直線(xiàn)平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b一條直線(xiàn)與此平交線(xiàn)面內(nèi)的一條直線(xiàn)2.平面與平面平行 (1)平面與平面平行的定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面. (2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條_____________與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β相交直線(xiàn)性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)_________于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的_________平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b平行交線(xiàn)[微點(diǎn)提醒]平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)若一條直線(xiàn)和平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.(

)(2)若直線(xiàn)a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線(xiàn)a的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條.(

)(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(

)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行或異面.(

)解析(1)若一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.(2)若a∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線(xiàn)只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.(必修2P61A1(2)改編)下列說(shuō)法中，與“直線(xiàn)a∥平面α”等價(jià)的是(

) A.直線(xiàn)a上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi) B.直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的所有直線(xiàn)平行 C.直線(xiàn)a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)不相交 D.直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都不相交

解析

因?yàn)閍∥平面α，所以直線(xiàn)a與平面α無(wú)交點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都不相交，故選D.

答案

D3.(必修2P61A1(1)改編)下列命題中正確的是(

) A.若a，b是兩條直線(xiàn)，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面 B.若直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線(xiàn)平行 C.平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行 D.若直線(xiàn)a，b和平面α滿(mǎn)足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α

解析根據(jù)線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.

答案

D4.(2018·長(zhǎng)沙模擬)已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(

) A.m∥α，n∥α，則m∥n

B.m∥n，m∥α，則n∥α C.m⊥α，m⊥β，則α∥β

D.α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

解析

A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n∥α或n?α，B不正確；根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，C正確；D中，α∥β或α與β相交，D錯(cuò).

答案

C5.(2019·成都月考)若平面α∥平面β，直線(xiàn)a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)的所有直線(xiàn)中(

) A.不一定存在與a平行的直線(xiàn) B.只有兩條與a平行的直線(xiàn) C.存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn) D.存在唯一與a平行的直線(xiàn)

解析

當(dāng)直線(xiàn)a在平面β內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線(xiàn)，故選A.

答案

A6.(2019·衡水開(kāi)學(xué)考試)如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_______.解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.答案平行四邊形考點(diǎn)一與線(xiàn)、面平行相關(guān)命題的判定【例1】(1)(2019·開(kāi)封模擬)在空間中，a，b，c是三條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是(

) A.若a⊥c，b⊥c，則a∥b B.若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b C.若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b D.若α∥β，a?α，則a∥β(2)(2018·聊城模擬)下列四個(gè)正方體中，A，B，C為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面ABC∥平面DEF的是(

)解析(1)對(duì)于A，若a⊥c，b⊥c，則a與b可能平行、異面、相交，故A是假命題；對(duì)于B，設(shè)α∩β＝m，若a，b均與m平行，則a∥b，故B是假命題；對(duì)于C，a，b可能平行、異面、相交，故C是假命題；對(duì)于D，若α∥β，a?α，則a與β沒(méi)有公共點(diǎn)，則a∥β，故D是真命題.(2)在B中，如圖，連接MN，PN，∵A，B，C為正方體所在棱的中點(diǎn)，∴AB∥MN，AC∥PN，∵M(jìn)N∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC?平面ABC，DE，EF?平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.答案(1)D

(2)B規(guī)律方法

1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線(xiàn)、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無(wú)論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng).2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過(guò)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.【訓(xùn)練1】(1)下列命題正確的是(

) A.若兩條直線(xiàn)和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線(xiàn)平行 B.若一條直線(xiàn)與兩個(gè)平面所成的角相等，則這兩個(gè)平面平行 C.若一條直線(xiàn)與兩個(gè)相交平面都平行，則這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行 D.若兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行解析(1)A選項(xiàng)中兩條直線(xiàn)可能平行也可能異面或相交；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1與B1D1所成的角相等，但這兩個(gè)平面垂直；D選項(xiàng)中兩平面也可能相交.C正確.(2)如圖，對(duì)于①，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的.對(duì)于②，由①知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC.所以C1Q∥平面APC是正確的.對(duì)于③，由①知，A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)是正確的.對(duì)于④，由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的.答案(1)C

(2)②③考點(diǎn)二直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)

多維探究角度1直線(xiàn)與平面平行的判定【例2－1】

(2019·東北三省四市模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AD，PB的中點(diǎn)，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；(2)求點(diǎn)F到平面PDC的距離.(1)證明取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF，∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設(shè)E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，角度2直線(xiàn)與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2－2】

(2018·上饒模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱DD1，C1D1的中點(diǎn).(1)求三棱錐B1－A1BE的體積；(2)試判斷直線(xiàn)B1F與平面A1BE是否平行，如果平行，請(qǐng)?jiān)谄矫鍭1BE上作出與B1F平行的直線(xiàn)，并說(shuō)明理由.(2)B1F∥平面A1BE.延長(zhǎng)A1E交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連BH交CD于點(diǎn)G，則BG就是所求直線(xiàn).證明如下：因?yàn)锽A1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E為DD1的中點(diǎn)，則G為CD的中點(diǎn).故BG∥B1F，BG就是所求直線(xiàn).規(guī)律方法

1.利用判定定理判定線(xiàn)面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn).常利用三角形的中位線(xiàn)、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線(xiàn)作一平面找其交線(xiàn).2.在解決線(xiàn)面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線(xiàn)線(xiàn)平行”到“線(xiàn)面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反.【訓(xùn)練2】

(2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C?平面ABC，∴AD⊥AC.考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)

典例遷移【例3】

(經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線(xiàn)，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【遷移探究1】

在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綉B(tài)D，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，規(guī)律方法

1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線(xiàn)平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說(shuō)明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)是相交直線(xiàn).【訓(xùn)練3】

(2019·南昌二模)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.(1)確