閻良區(qū)振興初級中學(xué)高亞玲24.1.2垂徑定理

趙州橋主橋拱的半徑是多少？

問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？問題情境活動一實(shí)踐探究把一個(gè)圓形紙沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，ＡC和ＢC

重合，ＡD和ＢD重合．⌒⌒⌒⌒?思考活動二如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？·OEDABC（1）⊙O是軸對稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對稱軸．（2）線段：AE=BE．⌒⌒?。篈C＝ＢC，ＡD＝ＢD.⌒⌒·OABCED那么直徑CD平分弦AB，并且平分AB及ACB．⌒⌒即AE＝BE，AD＝BD，AC＝BC．⌒⌒⌒⌒如圖，如果直徑CD⊥弦AB，垂足為點(diǎn)E.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?思考如圖，AB是⊙O的一條（非直徑）的弦，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作直徑CD．問：直徑CD⊥弦AB嗎？為什么？你還能得出什么結(jié)論？·OABCED直徑CD⊥弦AB.

理由：連接OA和OB．∵ＯA＝ＯB，∴△AOB是等腰三角形．∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，直徑CD⊥弦AB．直徑CD平分劣弧AB、平分優(yōu)弧ACB．垂徑定理推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．幾何語言表達(dá)③AE=BE,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.④AC=BC,⌒⌒垂徑定理：推論：②CD⊥AB,由①CD是直徑③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＣＡＢＥＯD知二得三

辨別是非判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦

⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧√√√××××實(shí)踐應(yīng)用解決求趙州橋拱半徑的問題如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O

作弦AB

的垂線OC，D為垂足，OC與AB

相交于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理得，D

是AB

的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD

就是拱高．⌒⌒⌒BODACROD=OC－CD=R－7.2在圖中，AB=37.4，CD=7.2，在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+（R－7.2）2解得：R≈27.9（m）∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.反思·總結(jié)弦長a、弦心距d、半徑R以及弓形高h(yuǎn)之間的關(guān)系：⑴；⑵．活動三鞏固提高，靈活運(yùn)用

1．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．BAOE解：在Rt

△AOE

中

答：⊙O的半徑為5cm.2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.D·OABCE小結(jié)·升華（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？（2）在利用垂徑定理解決問題時(shí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)方法？（3）這些方法中你又用到了哪些數(shù)學(xué)思想？別忘記還有我喲?。∽鳂I(yè)：1、教材88頁習(xí)題24.1第8題、第9題、第10題．

2、補(bǔ)充作業(yè)如右圖，